Huvudideal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 januari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Huvudidealet är ett ideal som genereras av ett element.

Det finns ingen allmänt accepterad notation för principiella ideal. Ibland används notationen , , för vänster, höger och tvåsidiga huvudideal för ett element i en ring . $\mathrm {lid} _{R}a$ $\mathrm {rid} _{R}a$ $\mathrm {id} _{R}a$ $a$ $R$

Definition

Vänsteridealet för en ring kallas det huvudsakliga vänsteridealet om det genereras av ett enda element . Principiella rättsideal och huvudsakliga tvåsidiga ideal definieras på liknande sätt . $R$ $a$

Om är en kommutativ ring , då är dessa tre begrepp likvärdiga. I det här fallet betecknas idealet som genereras av med . $R$ $a$ $(a)$

I fallet med en associativ ring med enhet beskrivs principiella ideal enligt följande.

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_ {n}:r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R\}$ .

Om är en associativ ring (i allmänhet utan enhet), alltså $R$

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+ \dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n} ,r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}$ .

Alla ideal är inte de viktigaste. Betrakta till exempel en kommutativ polynomring med komplexa koefficienter i två variabler och . Idealet som genereras av polynom och , (det vill säga idealet som består av polynom vars fria term är lika med noll) kommer inte att vara principiellt. För att bevisa detta, anta att detta ideal genereras av något element ; då måste det vara delbart med och . Detta är endast möjligt om det är en konstant som inte är noll. Men i bara en konstant - noll. Vi kommer till en motsägelse. $\mathbb {C} [x,y]$ $x$ $y$ $(x,y)$ $x$ $y$ $a\in \mathbb {C} [x,y]$ $x$ $y$ $a$ $(x,y)$

Relaterade definitioner

En ring vars alla ideal är huvudsakliga kallas en principiell idealring .
Den integrerade ringen av principiella ideal kallas också för domänen av huvudideal . Inom områden med principiella ideal gäller aritmetikens grundsats (vilket element som helst kan faktoriseras unikt till primfaktorer); beviset för detta faktum är detsamma som beviset för fallet med heltal .

Exempel

Alla euklidiska ringar är huvudsakliga idealdomäner; i dem kan man använda Euklids algoritm för att hitta det genererande elementet för ett givet ideal . I allmänhet har två huvudideal för en kommutativ ring en största gemensamma divisor i betydelsen ideal multiplikation ; på grund av detta är det inom huvudidealens domäner möjligt att beräkna (upp till multiplikation med ett inverterbart element ) GCD för element och som ett genererande element av idealet . $a$ $b$ $(a,b)$

Litteratur

Vinberg E.B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .