Polynom

Ett polynom (eller ett polynom från grekiskan πολυ- "många" + latinskt nomen "namn") av variabler är summan av monomer eller, strikt, en ändlig formell summa av formen $n$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n))$

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\summa _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }\cdots x_{n}^{i_{n}}

, var

$I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ - en uppsättning icke-negativa heltal , kallat multiindex , $n$
$c_{I}$ - ett tal som kallas polynomets koefficient , endast beroende på multiindexet . ${\mathit {I}}$

I synnerhet är ett polynom i en variabel en finit formell summa av formen

{\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m))

, var

$c_{i}$ — fasta koefficienter ,
$x$ - variabel .

Med hjälp av ett polynom introduceras begreppen " algebraisk ekvation ", " algebraisk funktion " och " algebraisk tal ".

Studie och tillämpning

Studiet av polynomekvationer och deras lösningar under lång tid var kanske huvudobjektet för "klassisk algebra ".

Ett antal transformationer i matematik är förknippade med studiet av polynom : införandet av noll , negativa och sedan komplexa tal , såväl som framväxten av gruppteorin som en gren av matematiken och separationen av klasser av specialfunktioner i matematisk analys .

På grund av det faktum att beräkningar som involverar polynom är enkla jämfört med mer komplexa klasser av funktioner, och det faktum att uppsättningen av polynom är tät i rymden av kontinuerliga funktioner på kompakta delmängder av euklidiska rymden (se Weierstrass approximationssats ), expansionsmetoder i serier och polynominterpolation i kalkyl .

Polynom spelar också en nyckelroll i algebraisk geometri . Dess nyckelobjekt är uppsättningar, definierade som lösningar på system av polynomekvationer .

De speciella egenskaperna för att transformera koefficienter i polynommultiplikation används i algebraisk geometri , algebra , knutteori och andra grenar av matematiken för att koda eller uttrycka egenskaper hos olika objekt med hjälp av polynom.

Relaterade definitioner

Ett vypolynom kallas monomial eller multi -index monomial . $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})$
En monom som motsvarar ett multiindex kallas en fri medlem . $I=(0,\prickar ,\,0)$
Den fulla styrkan av en monomial (ej noll) kallas ett heltal . $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $|I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$
Uppsättningen av multi-index , för vilka koefficienterna är icke-noll, kallas bärare av polynomet , och dess konvexa skrov kallas Newtons polyhedron . ${\mathit {I}}$ $c_{I}$
Graden av ett polynom är det maximala av graderna av dess monomer. Graden av den identiska nollan antas antingen vara obestämd, eller definieras ytterligare av värdeteller(se graden av nollpolynomet ). [ett] $-ett$ $-\infty$
Ett polynom som är summan av två monomer kallas binomial eller binomial ,
Ett polynom som är summan av tre monomialer kallas trinomial eller trinomial .
Koefficienterna för ett polynom tas vanligtvis från en viss kommutativ ring (oftast ett fält , som fältet av reella eller komplexa tal ). I detta fall, med avseende på operationerna addition och multiplikation, bildar polynomen en ring (desutom en associativ-kommutativ algebra över en ring utan nolldelare ) som betecknas med . $R$ $R$ $R[x_1,x_2,\dots,x_n]$
För ett polynom i en variabel kallas lösningen till ekvationen dess rot . $p(x)$ $p(x)=0$

Polynomfunktioner

Låta vara en algebra över en ring Ett godtyckligt polynom definierar en polynomfunktion $A$ $R.$ $p(x)\in R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$

p_{R}\colon A\to A.

Det vanligaste fallet $A=R.$

Om är ett fält med reella eller komplexa tal (eller något annat fält med ett oändligt antal element ), bestämmer funktionen helt polynomet p . Detta är dock inte sant i det allmänna fallet, till exempel: polynomen och från definierar identiskt lika funktioner . $R$ $f_{p}\colon R^{n}\to R$ $p_{1}(x)\ekvivalent x$ $p_{2}(x)\ekvivalent x^{2}$ $\mathbb{Z } _{2}[x]$ $\mathbb{Z } _{2}\to \mathbb{Z } _{2}$

En polynomfunktion av en reell variabel kallas en hel rationell funktion .

Typer av polynom

Ett polynom i en variabel kallas unitary , normaliserat eller reducerat om dess ledande koefficient är lika med en.
Ett polynom vars monomial alla har samma fulla grad kallas homogen .
- Till exempel - ett homogent polynom av två variabler, men är inte homogent. $x^{2}+xy+y^{2}$ $x^{2}+y+1$
Ett polynom som kan representeras som en produkt av polynom av lägre grader med koefficienter från ett givet fält kallas reducerbart (över det givna fältet), annars kallas det irreducible .

Egenskaper

En polynomring över en godtycklig integritetsdomän är i sig en integritetsdomän.
En polynomring i valfritt ändligt antal variabler över valfri faktoriell ring är själv faktoriell.
Ringen av polynom i en variabel över fältet är ringen av huvudideal , det vill säga alla dess ideal kan genereras av ett element.
- Dessutom är en polynomring i en variabel över ett fält en euklidisk ring .
Den rationella rotsatsen .

Delbarhet

Rollen för irreducerbara polynom i polynomringen liknar rollen för primtal i ringen av heltal . Till exempel är satsen sann: om produkten av polynom är delbar med ett irreducerbart polynom , då är p eller q delbart med . Varje polynom med grad större än noll sönderfaller i ett givet fält till en produkt av irreducerbara faktorer på ett unikt sätt (upp till faktorer av grad noll). $pq$ $\lambda$ $\lambda$

Till exempel kan ett polynom som är irreducerbart inom fältet rationella tal faktoriseras till tre faktorer i fältet reella tal och till fyra faktorer i fältet komplexa tal. $x^{4}-2$

I allmänhet sönderfaller varje polynom i en variabel inom området för reella tal till faktorer av första och andra graden, inom området komplexa tal - till faktorer av första graden ( algebras grundläggande sats ). $x$

För två eller flera variabler kan detta inte längre hävdas. Över alla fält, för alla , finns det polynom i variabler som är irreducerbara i någon förlängning av detta fält. Sådana polynom kallas absolut irreducerbara. $n>2$ $n$

Variationer och generaliseringar

Om negativa potenser också är tillåtna i definitionen kallas det resulterande objektet Laurent-polynomet .
kvasipolynom
Trigonometriskt polynom
Power-serien

Se även

Litteratur

Vinberg E. B. Polynomens algebra. - M . : Utbildning, 1980. - 176 sid.
Kurosh A. G. Course of Higher Algebra, 9:e upplagan. - M. , 1968.
Mishina A. P., Proskuryakov I. V. Högre algebra, 2:a uppl. - M. , 1965.
Solodovnikov A.S., Rodina M.A. Övningsbok för algebra. - M . : Utbildning, 1985. - 127 sid.
Prasolov VV polynom . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 sid. — ISBN 5-94057-077-1 .
Faddeev DK, Sominsky IS Samling av problem i högre algebra. - M. , 1977.

Anteckningar

↑ Eric W. Weisstein. Noll polynom . mathworld.wolfram.com . Hämtad 28 maj 2021. Arkiverad från originalet 1 maj 2021.

Länkar

Polynom / A. I. Markushevich // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor ryss Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	BNF : 119786822 J9U : 987007563144505171 LCCN : sh85104702 NDL : 00572625 NKC : ph135425