Noll

0
noll-
← −2 −1 0 1 2 → _ _
Binär	0
Octal	0
Hexadecimal	0
Mediafiler på Wikimedia Commons

"Det finns två former: noll och noll . I den terminologiska betydelsen (särskilt i indirekta fall) används vanligtvis den andra, till exempel: är lika med noll, temperaturen stannar vid noll " [1] .
"... ett derivatadjektiv bildas vanligtvis av formen noll , till exempel: nollmeridian, nollmarkering " [1] .

Noll ( 0 , noll från lat. nullus - ingen [2] ) är ett heltal som , när det adderas till eller subtraheras från ett tal, inte ändrar det sista [3] , det vill säga ger ett resultat som är lika med det sista. ; multiplicera valfritt tal med noll ger noll [4] .

The Big Explanatory Dictionary of Kuznetsov (2009) [5] citerar båda formerna av ordet: noll, noll - som ekvivalent, även om det finns en viss skillnad i användning. Särskilt används formen noll oftare i terminologi, särskilt i indirekta fall, den tas också som grund för bildandet av adjektivet noll - följaktligen används formen noll oftare i nominativfallet (se sidofältet) .

Noll spelar en extremt viktig roll i matematik och fysik [6] .

Noll i matematik

Siffran "noll" i matematik

Talet "noll" är ett matematiskt tecken som uttrycker frånvaron av värdet av denna bit i notationen av ett tal i positionsnummersystemet . För närvarande betecknas denna siffra nästan alltid med "0" (enligt den indo-arabiska notationen för siffror). Siffran noll, placerad till höger om en annan siffra, ökar det numeriska värdet för alla siffror till vänster med en siffra (till exempel multipliceras med tio i decimalsystem ). Jämför till exempel siffrorna 4 10 och 40 10 ; 4 16 och 40 16 (subskriptet betyder basen för nummersystemet). Begreppet noll har historiskt sett framträtt som en speciell digital symbol som krävs när man skriver siffror i ett positionsnummersystem . Denna symbol indikerade frånvaron av ett värde i motsvarande bit, vilket gjorde det möjligt att inte blanda ihop till exempel poster $7,70,700.$

Talet 0 är associerat med särskilt enkla tecken på delbarheten av heltal.

I decimaltalssystem:

Ett tal är delbart med 10 om och endast om det slutar på 0.
Ett tal är delbart med 100 om och endast om det slutar på två nollor.

Liknande tecken på delbarhet finns för talen 1000, 10000, etc.

Delbarhetstecken som är associerade med siffran 0 i decimalsystemet är särskilt lätta att kombinera med delbarhetstecken med 2 och 5, till exempel:

Ett tal är delbart med 20 om och endast om den sista siffran i talet är 0 och den näst sista siffran är jämn.
Ett tal är delbart med 50 om och endast om den sista siffran i talet är 0 och den näst sista siffran är 0 eller 5.

Liknande tecken på delbarhet finns för talen 200, 500, 2000, 5000, etc.

Tecknen på delbarhet som är förknippade med talet "0" i andra talsystem liknar de i decimal. I synnerhet i alla talsystem med bas k är ett tal delbart med kn om det slutar på n nollor.

Siffran "noll" i matematik

Tillhör naturliga tal

Det finns två tillvägagångssätt för definitionen av naturliga tal - vissa författare klassificerar noll som naturliga tal [7] , andra gör det inte. I ryska läroplaner för matematik är det inte vanligt att lägga till noll till naturliga tal, även om detta gör vissa formuleringar svåra (till exempel måste man skilja mellan division med en rest och division med heltal ). Som en kompromiss betraktar källorna ibland en "förlängd naturlig serie", inklusive noll [8] .

Mängden av alla naturliga tal betecknas vanligtvis med symbolen . Internationella standarder ISO 31-11 (1992) och ISO 80000-2 (2009) fastställer följande beteckningar [9] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - naturliga tal, inklusive noll: . $\{0,1,2,3,4\dots\}$
$\mathbb {N^{*}}$ - naturliga tal utan noll: . $\{1,2,3,4\dots\}$

Samma som i ISO, notationen för uppsättningen naturliga tal är fixerad i den ryska GOST 2011: R 54521-2011, tabell 6.1 [10] . Ändå, i ryska källor är denna standard ännu inte observerad - i dem betecknar symbolen naturliga tal utan noll, och den utökade naturliga serien betecknas till exempel, etc. [8] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0))$

Grundläggande egenskaper för noll

0 är ett heltal .
På tallinjen skiljer 0 positiva och negativa tal åt .

Noll är ett jämnt tal eftersom när det divideras med 2 blir resultatet ett heltal : . $0/2=0$
Noll är osignerad . Konventionerna för negativ och positiv infinitesimal kan användas : , , men dessa är inte siffror i vanlig mening. $-0$ $+0$
Alla tal ändras inte när de läggs till noll: Att subtrahera noll från valfritt tal resulterar i samma tal [11] : . $a+0=0+a=a.$ $a-0=a$
Att multiplicera valfritt tal med noll ger noll [11] :

a\cdot 0=0\cdot a=0.

Att dividera noll med valfritt tal som inte är noll resulterar i noll:

0/a=0

på

a\neq 0.

Division med noll

Division med noll är inte möjlig i något fält eller ring , inklusive fälten med reella och komplexa tal.

Faktum är att om vi betecknar , då, per definition, division bör formellt vara , medan uttrycket , för någon , är lika med noll. Med andra ord, det finns inget inverst element för noll i något fält.

{\frac {a}{0}}=b

b\cdot 0=a

b\cdot 0

b

Division med noll av ett komplext tal som inte är noll är möjligt på det utökade komplexa planet , och dess resultat är en punkt i oändligheten.

Betydelser av enskilda funktioner

Faktorialen noll, enligt avtalet [12] , tas lika med ett: . Med ett sådant avtal kommer identiteten att vara sann för $0!=1$ $n!=(n-1)!\cdot n$ $n=1.$
Resultatet av att höja noll till en positiv effekt är noll: vid . Att höja noll till någon negativ makt är inte vettigt. $0^{a}=0$ $a>0$
Resultatet av att höja valfritt tal (utom noll) till nollpotensen är lika med ett: . $a^{0}=1$
- Uttrycket ( noll till nollgraden ) anses vara meningslöst [13] [14] [15] , det vill säga obestämt. $0^{0}$

Detta beror på det faktum att en funktion av två variabler i en punkt har en irreducerbar diskontinuitet .

x^{y}

\{0,0\}

I själva verket längs den positiva riktningen på axeln där den är lika med ett, och längs den positiva riktningen på axeln där den är lika med noll.

x,

y=0,

Y,

x=0,

Se artikeln Zero to the power noll för mer information . Noll i geometri

En punkt kan betraktas som ett nolldimensionellt objekt .
En punkt i planet med en nollkoordinat ligger på motsvarande koordinataxel. Båda nollkoordinaterna definierar en punkt som kallas origo .
En punkt i det tredimensionella rummet med en nollkoordinat ligger på motsvarande koordinatplan. En punkt i det tredimensionella rummet kallas också origo om alla dess koordinater är noll.
Liknande påståenden gäller för ett utrymme av vilken dimension som helst .
På en cirkel sammanfaller positionerna 0° och 360°.

Noll i kalkyl

Vid beräkning av gränsen för relationen , var och , uppstår en sådan situation att direkt substitution ger ett uttryck vars värde inte är definierat. I processen för avslöjande av osäkerheter är sju sådana situationer möjliga, och i fyra av dem är noll formellt närvarande: , , , . $(a/b)$ $a\högerpil 0$ $b\högerpil 0$ $(0/0)$ $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $(0^{0})$ $(\infty ^{0})$ $(0\cdot\infty )$
En väldefinierad situation är också möjlig när en ensidig (höger eller vänster) gräns av ett oändligt litet värde beaktas:

Högergräns: _ eller _ . $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$
Vänster gräns: _ eller _ . $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$

Generaliseringar (noll i allmän algebra)

En analog till noll kan existera i vilken uppsättning som helst där additionsoperationen är definierad; i allmän algebra kallas ett sådant element ibland ett neutralt beståndsdel , ibland additiv noll , oftast noll med avseende på addition . Exempel på ett sådant element är nollvektorn och nollmatrisen . (Om operationen av multiplikation är definierad på mängden, kan den multiplikativa enheten betraktas som en analog av noll , eller enhet med avseende på multiplikation , om någon.)

Algebraiska strukturer utrustade med både addition och multiplikation kan också innehålla en analog av noll. Nollelementet innehåller valfri ring och dess specialfall - kroppen och fältet . Till exempel är den kvadratiska nollstorleksmatrisen nollelementet i kvadratmatrisringen . Ringen av polynom har också ett nollelement - ett polynom med nollkoefficienter, eller ett nollpolynom , . $n\ gånger n$ $M_{n}(R)$ $p(x)\ekvivalent 0$

Noll i datavetenskap och databehandling

Siffran "noll" inom datavetenskap och databehandling

De allra flesta datorer är baserade på det binära systemet , det vill säga deras minne innehåller bara nollor och ettor. Icke-numeriska data använder en standardkodning - till exempel är de logiska begreppen TRUE och FALSE vanligtvis kodade som 1 respektive 0, och Unicode har utvecklats för textdata på olika språk .

När man arbetar med en dator, på grund av risken att förväxla siffran 0 med den latinska eller ryska bokstaven O , vilket kan orsaka allvarliga konsekvenser, fanns det en gång i tiden en rekommendation [16] att stryka över noll : . Ibland gjorde de tvärtom: när de programmerade på Minsk-32- datorn strök de över bokstaven O och inte noll [17] . Teckengeneratorerna för många textterminaler , videoadaptrar och matrisskrivare matar också ut en nolla i en genomstruken form när de arbetar i textläge (vissa skrivare hade inbyggda omkopplare för att aktivera och inaktivera nollläget genomstruket) [18] [19] . På IBM 3270- skärmar avbildades siffran 0 med en prick i mitten. Den visuella skillnaden mellan siffran 0 och bokstaven O är fortfarande ett viktigt krav för teckensnitt med monospace . I proportionella teckensnitt är bokstaven O märkbart bredare än noll, så genomstrykning krävs vanligtvis inte. $\emptyset$

Den genomstrukna nollan har inte ett separat Unicode-tecken; det kan erhållas som ett tecken U+0030 omedelbart följt av U+FE00, men resultatet beror på både det aktuella teckensnittet och webbläsaren. Ibland används liknande symboler för den skandinaviska bokstaven (Ø), tom uppsättning (∅) eller diameter (⌀) istället. Vissa OpenType-teckensnitt inkluderar ett speciellt nollstrike-alternativ, för vilket det finns ett speciellt alternativ i CSSfont-feature-settings: zero .

Siffran "noll" inom datavetenskap och databehandling

I datorer finns begreppet " maskin noll " - detta är ett flyttal och en sådan negativ ordning som uppfattas av datorn som noll.

En annan egenskap hos datarepresentation inom datavetenskap: i många programmeringsspråk numreras elementen i en datamatris inte från den vanliga enheten, utan från noll, så beskrivningen av verklig M(n) betyder .array Microsoft .NET Framework -plattformen konsoliderade denna standard och till och med översatt Visual Basic , som ursprungligen använde numrering från en. $M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.$

I SQL -databaser kan ett fält ha specialvärdet NULL , vilket inte betyder noll, utan ett odefinierat värde. Alla uttryck som innehåller NULL resulterar i NULL.

I matematik ; det vill säga de representerar samma tal, det finns inga separata positiva och negativa nollor. I vissa datorformat (till exempel i IEEE 754 -standarden eller i framåt- och bakåtkoden ) finns det dock två olika representationer för noll: positiv (med positivt tecken) och negativ; se −0 (programmering) för detaljer . Dessa skillnader påverkar dock inte resultatet av beräkningar. $-0=+0=0$ $-0,+0$

Decimal representation	Binär representation (8 bitar)
Decimal representation	hetero	tillbaka	ytterligare
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1 000 000	1111 1111	0000 0000

Nolls historia

Historik för numret 0

Siffran 0 dök upp samtidigt med tillkomsten av positionell (lokal) numrering - decimal i Indien och sexagesimal i Babylon.

Ancient East

Babyloniska matematiker brukade ange sexagesimal noll, först ett gap och sedan ett speciellt kilskriftstecken "dubbelkil"; det antas att det sista märket användes av babylonierna från omkring 300 f.Kr. e. och deras sumeriska lärare gjorde förmodligen detta ännu tidigare. Men symbolen för de babyloniska vismännas "dubbelkil" hade aldrig en självständig betydelse och uppfattades inte som ett tal, utan som frånvaron av ett tal; dessutom placerades den aldrig i slutet av en sifferinmatning, så säg, siffrorna 2 och 120 (2×60) måste särskiljas genom sammanhang [20] [21] .

Siffran 0 saknades i de romerska, grekiska och kinesiska numreringssystemen. Denna siffra undveks genom att tilldela några symboler värdena för stora siffror. Till exempel betecknades siffran 100 i det grekiska siffersystemet med bokstaven Ρ, på romersk - med bokstaven C, på kinesiska - med hieroglyfen 百.

Maya och inka

Mayariket fanns på Yucatanhalvön från omkring 300 f.Kr. e. till 900 e.Kr e. Mayaerna använde noll i sitt vigesimala talsystem nästan ett årtusende tidigare än indianerna, men endast av präster och endast för kalenderbehov (i vardagslivet använde Maya det hieroglyfiska fem systemet) [22] . Den första överlevande stelen med Maya-kalenderdatum är daterad 7.16.3.2.13, 6 Ben 16 Shul, det vill säga 8 december 36 f.Kr. e.

Det är konstigt att oändligheten också betecknades med samma tecken i Maya-matematiken , eftersom det inte betydde noll i ordets europeiska betydelse, utan "början", "förnuft" [23] . Räkningen av månadens dagar i Mayakalendern började med nolldagen, som kallades Ahau .

I Inkariket Tahuantinsuyu användes nodal quipu-systemet, baserat på det positionella decimaltalssystemet, för att registrera numerisk information . Siffrorna från 1 till 9 betecknades med knutar av en viss typ, noll - genom att hoppa över en knut i önskat läge. I modern quechua betecknas noll med quechua -ordet ch'usaq (lett. "frånvarande", "tom"), men vilket ord som inkafolket använde för att beteckna noll vid läsning av quipu är ännu inte klart, eftersom t.ex. i några av de första quechuaspanjorna ( Diego González Holguín , 1608) och de första Aymara-spanjorna ( Ludovico Bertonio , 1612) hade inte en match för den spanska "cero" - "noll".

Indien

I Indien kallades siffran "noll" för sanskritordet śūnyaḥ ("tomhet"; "frånvaro") och användes flitigt i poesi och heliga texter. Utan noll skulle decimalpositionsbeteckningen för tal som uppfanns i Indien ha varit omöjlig . Det första tecknet för noll finns i det indiska " Bakhshali-manuskriptet " från 876 e.Kr. t.ex., det ser ut som en tjock prick eller en fylld cirkel, senare kallad śūnya-binduḥ "punkt av tomhet" [24] [25] .

Från indierna till araberna, som kallade talet 0 ṣifr (därav orden figur , chiffer och italienska noll , noll) kom den till Västeuropa [26] .

Europa

I Wien lagras handskriven aritmetik från 1400-talet, förvärvad i Konstantinopel ( Istanbul ), där grekiska siffertecken används tillsammans med beteckningen noll med en punkt [27] . I latinska översättningar av arabiska avhandlingar från 1100-talet kallas tecknet noll (0) en cirkel -cirkulus . I Sacrobosco- handboken, som hade ett stort inflytande på aritmetikundervisningen i västerländska länder , skriven 1250 och omtryckt i väldigt många länder, kallas noll " thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili " - theta , eller teka , eller cirkel , eller figur , eller tecknet på ingenting . Termen nulla figura – inget tecken – förekommer i handskrivna latinska översättningar och bearbetningar av arabiska verk från 1100-talet. Termen nulla finns i ett manuskript från 1484 av Nicolas Schuquet och i den första tryckta så kallade (enligt utgivningsort) Trevize-arithmetic (1478) [28] .

Sedan början av 1500-talet har ordet "noll" varit i utbredd användning i Tyskland och andra länder, till en början som ett främmande ord och i en latinsk grammatisk form, men så småningom antar det en form som är karakteristisk för detta nationalspråk.

Ryssland

Leonty Magnitsky kallar i sin " Aritmetik " tecknet 0 för "siffra eller ingenting" (första sidan i texten); på den andra sidan i tabellen, där varje siffra ges ett namn, kallas 0 " ingen ". I slutet av 1700-talet, i den andra ryska upplagan av " Abbreviations of the First Foundations of Mathematics " av X. Wolf ( 1791 ), kallas noll också en siffra . I matematiska manuskript från 1600-talet, med indiska siffror, kallas 0 "på " på grund av dess likhet med bokstaven o [29] .

Historiken för talet "noll"

Även om det inte finns någon siffra 0 i det egyptiska talsystemet , använde egyptiska matematiker redan från Mellanriket (början av 2:a årtusendet f.Kr.) hieroglyfen nfr ("vacker") istället för det, vilket också innebar början av nedräkningen i scheman med tempel, pyramider och gravar [30] .

I kinesiska register över siffror saknas också talet "noll", för att beteckna talet "noll" använder de tecknet 〇 - en av " hieroglyferna av kejsarinnan Wu Zetian ".

I antikens Grekland var siffran 0 inte känt. I Claudius Ptolemaios astronomiska tabeller betecknades tomma celler med symbolen ο (bokstav omicron , från annan grekisk οὐδέν - ingenting ); det är möjligt att denna beteckning påverkade utseendet på numret "noll", men de flesta historiker inser att indiska matematiker uppfann decimalen noll .

I Europa ansågs 0 under lång tid vara en konventionell symbol och kändes inte igen som en siffra; även på 1600-talet skrev Wallis : "Noll är inte ett tal." I aritmetiska skrifter tolkades ett negativt tal som en skuld och noll som en situation av fullständig ruin. Verken av Leonhard Euler bidrog särskilt till den fullständiga utjämningen av hans rättigheter med andra nummer .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 D. E. Rosenthal . En guide till stavning, uttal, litterär redigering. Kapitel X. Stavning av siffror. Arkiverad 12 januari 2015 på Wayback Machine M.: CheRo, 1999.
^ Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician, 1985 .
↑ Noll // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 1082.
↑ Noll // Stor encyklopedisk ordbok . — 2000. (ryska)
↑ Stor förklarande ordbok för det ryska språket. Ch. ed. S. A. Kuznetsov. Första upplagan: St. Petersburg: Norint, 1998.
↑
Det viktigaste talet är noll. Det var en lysande idé att göra något av ingenting, ge det ett namn och uppfinna en symbol för det.
— Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. - M .: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Philip S.; Bedient, Jack D. De historiska rötterna till elementär matematik (engelska) . - Courier Dover Publications , 1976. - P. 254-255. - ISBN 0-486-13968-9 . , Utdrag av sidorna 254—255 Arkiverad 10 maj 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra och analys av elementära funktioner. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 sid.
↑ Internationell standard 80000-2:2009. Del 2 . NCSU COE Människor . Hämtad 12 augusti 2019. Arkiverad från originalet 28 februari 2019. (obestämd)
↑ GOST R 54521-2011 Statistiska metoder. Matematiska symboler och tecken för tillämpning i standarder (återutgivning) av 24 november 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Hämtad 14 januari 2022. Arkiverad från originalet 9 juli 2021. (obestämd)
↑ 1 2 Savin A.P. Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / komp. A.P. Savin. - M . : "Pedagogik", 1989. - S. 219.
↑ Tsypkin A. G. Handbok i matematik för gymnasieskolor / Ed. S. A. Stepanova. - 3:e uppl. - M. : Nauka, 1983. - S. 415. - 480 sid.
↑ Vad är kraften i ett nummer Arkiverad 28 juli 2021 på Wayback Machine // School Mathematics, Internetresurs.
↑ Varför är ett tal i makten 0 lika med 1? Arkivexemplar daterad 2 april 2015 på Wayback Machine // Naukolandiya, Internetresurs.
↑ Power-funktion Arkiverad 2 april 2015 på Wayback Machine // Great Soviet Encyclopedia. - M .: Soviet Encyclopedia 1969-1978.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. Programmering i Assembler Language of the ES Computer. — M .: Statistik, 1976. — 296 sid. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol Computer Minsk-32. Ersättning till anställda vid datacentraler. - M . : Statistik, 1973. - 284 sid.
↑ Bryabrin V. M. Programvara för persondatorer. 3:e uppl. — M .: Nauka , 1990. — 272 sid. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. Programvara för persondatorer. - L . : Mashinostroenie, 1990. - 272 sid. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Specialnummer av andra kulturer → 116 // Anmärkningsvärda siffror. Zero, 666 och andra bestar. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 116. - 159 sid. — (Matematikens värld). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ Lamb, Evelyn (31 augusti 2014), Titta, mamma, No Zero! , Scientific American , Roots of Unity , < http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ > Arkiverad 17 oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Menninger K. Historia om siffror. Siffror, symboler, ord . - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - S. 469 -470. — 543 sid. — ISBN 9785952449787 .
↑ Laura Laurencich-Minelli. Den nyfikna föreställningen om den mesoamerikanska och andinska "Objekt noll" och logiken hos inkatalsgudarna . Arkiverad från originalet den 23 juli 2012. (obestämd)
↑ Bråk runt noll . Hämtad 19 september 2017. Arkiverad från originalet 20 september 2017. (obestämd)
↑ Mycket ståhej om ingenting : forntida indisk text innehåller den tidigaste nollsymbolen . The Guardian (14 september 2017). Hämtad 19 september 2017. Arkiverad från originalet 20 november 2017.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Specialnummer av andra kulturer → 116 // Anmärkningsvärda siffror. Zero, 666 och andra bestar. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 sid. — (Matematikens värld). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ "Zentralblatt für Mathematik", april 1957, meddelande av den tjeckiske matematikhistorikern G. Vetter.
↑ Depman, 1965 , sid. 89.
↑ Depman, 1965 , sid. 90.
↑ Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (tredje upplagan) (engelska) . — Princeton University Press , 2011. — S. 86 . - ISBN 978-0-691-13526-7 .

Litteratur

Depman I. Ya. Aritmetikens historia . - 2:a upplagan, reviderad. - M . : Utbildning, 1965. - 417 sid.
Lamberto Garcia del Cid. De första naturliga talen och deras värde → 0 är ett tvetydigt tal // Anmärkningsvärda tal. Zero, 666 och andra bestar. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 14-15. — 159 sid. — (Matematikens värld). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
Noll // Encyklopedisk ordbok för en ung matematiker / Komp. A.P. Savin. - M . : Pedagogy , 1985. - S. 219 . — 352 sid.
Säkert, Charles. Noll. Biografi om en farlig idé = Noll: Biografin om en farlig idé. - Neoclassic, AST, 2014. - 288 sid. - ISBN 978-5-17-083294-1 .
Kaplan, Robert. Inget som är. A Natural History of Zero . - Oxford: Oxford University Press, 2000. - 226 sid. — ISBN 0-19-512842-7 .
Wells, David. 0 // Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . - Penguin Books, 1986. - S. 23-26 . — 229 sid. — ISBN 0-14-008029-5 .

Länkar

Nolls historia
Varför kan du inte dividera med noll?
Symbolik för siffror (noll) /S. Curius / "Time Z" nr 2/2007
Om jämförelsen av begreppen "noll" och "ingenting" Smirnov OA - Vetenskaplig session MEPhI-2003.
Egenskaper för talet noll
JJ O'Connor, E.F. Robertson. En historia av noll . MacTutor History of Mathematics arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skottland (november 2000). (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss Britannica (online) Brockhaus
I bibliografiska kataloger	BNF : 12089393x GND : 4368215-7 J9U : 987007534242405171 LCCN : sh85149761 NKC : ph323412

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Heltal

Upp till 100
0 ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12 13 fjorton femton 16 17 arton 19 tjugo 21 22 23 24 25 26 27 28 29 trettio 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 femtio 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 87 88 89 90 91 92 95 97 98 99

100 och mer