Ensidig gräns

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 april 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Ensidig gräns i matematisk analys - gränsen för en numerisk funktion , vilket innebär "tillvägagångssätt" till gränspunkten på ena sidan. Sådana gränser kallas för den vänstra gränsen (eller den vänstra gränsen ) respektive den högra gränsen ( den högra gränsen ).

Definitioner

Låt en numerisk funktion ges på någon numerisk uppsättning och talet vara gränspunkten för definitionsdomänen . Det finns olika definitioner för de ensidiga gränserna för en funktion vid en punkt , men de är alla likvärdiga. $M\subset \mathbb {R}$ $f\colon M\to \mathbb{R}$ $a$ $M$ $f \left( x \right)$ $a$

Heines ensidiga gräns

Ett tal kallas högergränsen ( högergräns , högergräns ) för en funktion vid en punkt om för någon sekvens av punkter större än , som i sig konvergerar till , den motsvarande sekvensen av värden för funktionen konvergerar till . $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $a$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $a$ $a$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\ kolon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n \to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$
Ett tal kallas den vänstra gränsen ( vänstergräns , vänstergräns ) för en funktion vid en punkt om för någon sekvens av punkter mindre än , som i sig konvergerar till , den motsvarande sekvensen av värden för funktionen konvergerar till . [ett] $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $a$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $a$ $a$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{ n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$

Ensidig Cauchy - gräns

Ett tal kallas en högergräns ( högergräns , högergräns ) för en funktion vid en punkt om för något positivt tal ett positivt tal som motsvarar det hittas så att olikheten är sann för alla punkter från intervallet . $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $a$ $\varepsilon$ $\delta$ $x$ $\left(a,a+\delta\right)$ $\vänster| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$
Ett tal kallas en vänstergräns ( vänstergräns , vänstergräns ) för en funktion vid en punkt om ett positivt tal som motsvarar det hittas för något positivt tal, så att olikheten är sann för alla punkter från intervallet . [ett] $A\in \mathbb{R}$ $f \left( x \right)$ $a$ $\varepsilon$ $\delta$ $x$ $\left(a-\delta ,a\right)$ $\vänster| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\ kolon ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$

Ensidig gräns som en gräns längs ett filter

Den ensidiga gränsen är ett specialfall av det allmänna konceptet med gränsen för en funktion längs ett filter . Låt och sedan de inställda systemen $M\subset {\mathbb {R}),$ $en \i M'.$

{\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}

och

{\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}

är filter . Gränserna längs dessa filter är desamma som motsvarande ensidiga gränser:

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{+}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a+}}f(x);

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{-}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a-}}f(x).

Notation

Den högra gränsen betecknas vanligtvis med någon av följande metoder: $\lim \limits _{{x\to a+}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a+0}}f(x),\ \\lim _{{x\downarrow a}}f(x),\ \ \lim _{{x\searrow a}}f(x);$
På samma sätt, för vänsterhandsgränserna, accepteras följande notationer: $\lim \limits _{{x\to a-}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a-0}}f(x),\ \ \lim _{{x\ uppåtpil a}}f(x),\ \ \lim _{{x\nära a}}f(x).$
Följande förkortningar används också:
- $f\vänster(a+\höger)$ och för rätt gräns; $f\vänster(a+0\höger)$
- $f\vänster(a-\höger)$ och för vänstergränsen. $f\vänster(a-0\höger)$

När man ska minska notationen, istället för och , brukar de skriva och resp. $a=0$ $\lim \limits _{x\to 0+0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to 0-0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to +0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to -0}f(x)$

Egenskaper

Huvudegenskaperna för ensidiga gränser är identiska med de för vanliga gränser och är specialfall av egenskaperna hos gränser längs ett filter.
För att det ska finnas en (tvåsidig) gräns för en funktion är det nödvändigt och tillräckligt att båda ensidiga gränserna finns och är lika med varandra. [ett]

Exempel

Identitet numerisk funktion
- $f\vänster(x\höger)=x$
- Domän: $\mathbb {R}$
- Höger gräns: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a+0}}x=a$
- Vänster gräns: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a-0}}x=a$
- Höger och vänster gränser är desamma, så det finns den vanliga gränsen: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a}}x=a$
Styckvis definierad funktion
- $f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases} }$
- Domän: $\mathbb{R} \setminus \left\{3\right\}$
- Höger gräns: $\lim _{{x\to 3+0}}f\left(x\right)=11$
- Vänster gräns: $\lim _{{x\to 3-0}}f\left(x\right)=9$
- Höger och vänster gränser är olika, så det finns ingen vanlig gräns vid en punkt $x=3$
sgn(x) funktion
- $f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}$
- Domän: $\mathbb {R}$
- Höger gräns: $\lim _{{x\to 0+0}}\operatörsnamn{sgn} \left(x\right)=+1$
- Vänster gräns: $\lim _{{x\to 0-0}}\operatörsnamn{sgn} \left(x\right)=-1$
- Höger och vänster gränser är olika, så det finns ingen vanlig gräns vid en punkt $x=0$

Se även

Funktionsgräns

Anteckningar

↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105 - 121. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .