Olikhet

Ojämlikhet i matematik är en relation som förbinder två tal eller andra matematiska objekt med hjälp av ett av tecknen nedan [1] .

Strikta ojämlikheter

$a<b$ betyder mindre än $a$ $b.$
$a>b$ betyder mer än $a$ $b.$

Ojämlikheterna är likvärdiga . De säger att tecknen och är motsatta ; uttrycket "ojämlikhetstecknet har vänts om" betyder till exempel att det har ersatts av eller vice versa. $a>b$ $b<a$ $>$ $<$ $<$ $>$

Icke strikta ojämlikheter

$a\leqslant b$ betyder mindre än eller lika med $a$ $b.$
$a\geqslant b$ betyder större än eller lika med $a$ $b.$

Den ryskspråkiga traditionen att skriva tecknen ⩽ och ⩾ motsvarar den internationella standarden ISO 80000-2 . I utlandet används ibland tecknen ≤ och ≥ eller ≦ och ≧. Tecknen ⩽ och ⩾ sägs också vara motsatta .

Andra typer av ojämlikheter

$a\neq b$ - betyder inte lika med . $a$ $b$
$a\gg b$ betyder att värdet är mycket större än $a$ $b.$
$a\ll b$ betyder att värdet är mycket mindre än $a$ $b.$

Vidare i denna artikel, om inte annat anges, hänvisar begreppet ojämlikhet till de fyra första typerna.

I elementär matematik studeras numeriska ojämlikheter (rationella, irrationella, trigonometriska, logaritmiska, exponentiella). I allmänhet betraktas även algebra , analys , geometri , ojämlikheter mellan objekt av icke-numerisk natur.

Relaterade definitioner

Ojämlikheter med samma tecken kallas ojämlikheter med samma namn (ibland används termen "samma betydelse" eller "samma betydelse").

En dubbel eller till och med multipel ojämlikhet är tillåten, genom att kombinera flera olikheter till en. Exempel:

a<b<c

är en stenografi för ett par ojämlikheter: och

a<b

b<c.

Numeriska ojämlikheter

Numeriska olikheter innehåller reella tal ( jämförelse för mer eller mindre definieras inte för komplexa tal ) och kan också innehålla symboler för okända . Numeriska olikheter som innehåller okända storheter delas (på samma sätt som ekvationer ) i algebraiska och transcendentala. Algebraiska ojämlikheter är i sin tur uppdelade i ojämlikheter av första graden, andra graden och så vidare. Till exempel är ojämlikheten algebraisk av första graden, ojämlikheten är algebraisk av tredje graden, ojämlikheten är transcendental [2] . $(x,y,\dots ).$ $18x<414$ $2x^{3}-7x+6>0$ $2^{x}>x+4$

Egenskaper

Egenskaperna för numeriska olikheter är i vissa avseenden nära egenskaperna hos ekvationer [1] :

Du kan lägga till samma nummer på båda sidor av ojämlikheten.
Du kan subtrahera samma tal från båda sidor av ojämlikheten. Följd: som för ekvationer kan vilken term som helst av olikheten överföras till en annan del med motsatt tecken. Till exempel följer det $a+b<c$ $a<cb.$
Båda sidorna av olikheten kan multipliceras med samma positiva tal.
Olikheter med samma namn kan läggas till: om, till exempel, och sedan Olikheter med motsatta tecken kan på liknande sätt subtraheras term för term. $a<b$ $c<d,$ $a+c<b+d.$
Om alla fyra delarna av två olikheter är positiva, kan ojämlikheterna multipliceras.
Om båda delarna av ojämlikheten är positiva, kan de höjas till samma (naturliga) styrka, och även logaritmiska med vilken bas som helst (om basen för logaritmen är mindre än 1, måste olikhetens tecken vändas om) .

Övriga fastigheter

Transitivitet : om och då och på liknande sätt för andra tecken. $a<b$ $b<c,$ $a<c$
Om båda delarna av olikheten multipliceras eller divideras med samma negativa tal, kommer olikhetens tecken att ändras till det motsatta: större än mindre än , större än eller lika med mindre än eller lika med , etc.

Lösning av ojämlikheter

Om ojämlikheten innehåller symbolerna för de okända, innebär att lösa den att ta reda på frågan för vilka värden av de okända ojämlikheten är uppfylld. Exempel:

x^{2}<4

uppträdde kl

-2<x<2.

x^{2}>4

utförs om eller

x>2

x<-2.

x^{2}<-4

aldrig utförd (inga lösningar).

x^{2}>-4

gäller för alla ( identitet ).

x

Observera : om du höjer en ojämlikhet som innehåller okända till en jämn makt, kan "extra" lösningar dyka upp. Exempel: om ojämlikheten är kvadratisk: då kommer en felaktig lösning att dyka upp som inte uppfyller den ursprungliga ojämlikheten. Därför bör alla lösningar som erhålls på detta sätt verifieras genom substitution till den ursprungliga ojämlikheten. $x>3$ $x^{2}>9,$ $x<-3,$

Ojämlikheter av första graden

Ojämlikheten i den första graden har ett allmänt format: eller var (arbetar med tecken och är liknande). För att lösa det, dividera ojämlikheten med och omvänd olikhetstecknet [3] . Exempel: $ax>b$ $axe<b,$ $a\neq 0$ $\geqslant$ $\leqslant$ $a$ $a<0,$

5x-11>8x+1.

Här är liknande termer: eller

-3x>12,

x<-4.

System av ojämlikheter av första graden

Om samma okända ingår i mer än en ojämlikhet måste man lösa varje ojämlikhet för sig och sedan jämföra dessa lösningar, som måste genomföras tillsammans.

Exempel 1 . Från systemet får vi två lösningar: för den första olikheten för den andra: Genom att kombinera dem får vi svaret: ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases))$ $x<2,$ $x>{2 \over 3}.$ ${2 \över 3}<x<2.$

Exempel 2 . Lösningar: och den andra lösningen absorberar den första, så svaret är: ${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x<2$ $x<{2 \over 3}.$ $x<{2 \over 3}.$

Exempel 3 . Lösningar: och de är inkompatibla, så det ursprungliga systemet har inga lösningar. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x>2$ $x<{2 \over 3},$

Ojämlikheter i andra graden

Den allmänna formen av andra gradens ojämlikhet (även kallad kvadratisk ojämlikhet ):

x^{2}+px+q>0

eller

x^{2}+px+q<0.

Om andragradsekvationen har reella rötter , kan olikheten reduceras till formen, respektive: $x^{2}+px+q=0$ $x_{1},x_{2},$

(x-x_{1})(x-x_{2})>0

eller

(x-x_{1})(x-x_{2})<0.

I det första fallet, och måste ha samma tecken, i det andra - olika. För det slutliga svaret bör följande enkla regel tillämpas [4] . ${\displaystyle x-x_{1))$ ${\displaystyle x-x_{2))$

Ett kvadrattrinomium med olika reella rötter är negativt i intervallet mellan rötterna och positivt utanför detta intervall. $x^{2}+px+q$

Om det visade sig att ekvationen inte har några egentliga rötter, så behåller dess vänstra sida samma tecken för alla.Därför är den ursprungliga olikheten i andra graden antingen en identitet eller har inga lösningar (se exempel nedan [5] ). $x^{2}+px+q=0$ $x.$

Exempel 1 . Dividera med , bringar vi olikheten till formen: Efter att ha löst andragradsekvationen får vi rötterna , därför är den ursprungliga olikheten ekvivalent med detta: Enligt ovanstående regel, vilket är svaret. $-2x^{2}+14x-20>0.$ $-2,$ $x^{2}-7x+10<0.$ $x^{2}-7x+10=0,$ $x_{1}=2;x_{2}=5,$ $(x-2)(x-5)<0.$ $2<x<5,$

Exempel 2 . På samma sätt får vi det och har samma tecken, det vill säga enligt regeln, eller $-2x^{2}+14x-20<0.$ $x-2$ $x-5$ $x<2,$ $x>5.$

Exempel 3 . Ekvationen har inga egentliga rötter, så dess vänstra sida behåller sitt tecken för alla . För vänstersidan är positiv, så den ursprungliga ojämlikheten är en identitet (sant för alla ). $x^{2}+6x+15>0.$ $x^{2}+6x+15=0$ $x.$ $x=0$ $x$

Exempel 4 . Som i föregående exempel, här är vänstersidan alltid positiv, så ojämlikheten har inga lösningar. $x^{2}+6x+15<0.$

På liknande sätt kan man lösa ojämlikheter av högre grader genom att faktorisera. Ett annat sätt är att bygga en graf över vänster sida och bestämma vilka tecken den har i olika intervall [6] .

Andra ojämlikheter

Det finns också bråkrationella, irrationella, logaritmiska och trigonometriska ojämlikheter.

Några välkända ojämlikheter

Nedan finns praktiskt användbara ojämlikheter som är identiskt tillfredsställda om de okända faller inom de angivna gränserna [7] .

$a+{1 \over a}\geqslant 2,$ där Jämställdhet endast gäller för $a>0.$ $a=1.$
${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ där Betydelse: det geometriska medelvärdet av två tal inte överstiger deras aritmetiska medelvärde . Jämställdhet sker först när $a,b>0.$ $a=b.$
Ojämlikhet om medel
Bernoullis ojämlikhet :

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,

där är ett positivt tal större än 1.

x\geqslant -1,n

|a+b|\leqslant |a|+|b|

Se artikeln Absolut värde för konsekvenserna av denna ojämlikhet .

Ojämlikhetstecken i programmeringsspråk

Symbolen "inte lika" skrivs olika på olika programmeringsspråk .

symbol	språk
!=	C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram Language
<>	Basic , Pascal , 1C
~=	Lua
/=	Haskell , Fortran , Ada
#	Modula-2 , Oberon

Ojämlikhetsteckenkoder

symbol	bild	Unicode		ryskt namn	HTML			Latex
symbol	bild	koden	titel	ryskt namn	hexadecimal	decimal-	mnemonics	Latex
<	$<$	U+003C	Mindre än tecken	Mindre	<	<	<	<, \textlös
>	$>$	U+003E	Större än tecken	Mer	>	>	>	>, \textgreater
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Mindre än eller lutande lika med	Mindre eller lika	⩽	⩽	Nej	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Större än eller lutande lika med	Mer eller lika	⩾	⩾	Nej	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Mindre än eller lika med	Mindre eller lika	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Större än eller lika med	Mer eller lika	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Mycket mindre än	Mycket mindre	≪	≪	Nej	\ll
≫	$\gg$	U+226B	Mycket större än	Mycket mer	≫	≫	Nej	\gg

Se även

Jämförelse (programmering)

Anteckningar

↑ 1 2 Ojämlikheter // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 999.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 177.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 178.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 217-222.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 180-181.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 212-213, 219-222.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 174-176.

Litteratur

Beckenbach E.F. Ojämlikheter. — M .: Mir, 1965.
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: M.: AST , 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sid.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Hardy G. G., Littlewood D. I., Polia D. Inequalities. - M . : Utländsk litteratur, 1948.

Matematiska tecken

Plus ( + )
Minus ( - )
Multiplikationstecken ( · eller × )
Divisionsskylt ( : eller / )
Obelus ( ÷ )
Rottecken ( √ )
Faktoriell ( ! )
Heltecken ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Likhetstecken ( = , ≈ , ≡ etc. )
Ojämlikhetstecken ( ≠ , > , < etc. )
Proportionalitet ( ∝ )
Hakparenteser ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Vertikal streck ( | )
snedstreck, snedstreck ( / )
Omvänt snedstreck, omvänt snedstreck ( \ )
Oändlighetstecken ( ∞ )
Gradtecken ( ° )
Stroke ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Asterisk ( * )
Procent ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ )
Plus-minus ( ± )
Minustecken ( ∓ )
Decimalavgränsare ( , eller . )
Slut på bevistecken ( ∎ )