Jensens ojämlikhet

Jensens ojämlikhet är en ojämlikhet introducerad av Johann Jensen och nära besläktad med definitionen av en konvex funktion .

Formuleringar

Avsluta skiftläge

Låt funktionen vara konvex på något intervall och låt talen vara sådana att $f\vänster(x\höger)$ ${\mathcal X}$ $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$

\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0

och .

\ q_{{1}}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1

Sedan, oavsett siffror från intervallet , är följande olikhet sann: $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\mathcal X}$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2} f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})

eller

f\left(\summa _{{i=1}}^{{n}}q_{i}x_{i}\right)\leq \summa _{{i=1}}^{{n}}q_ {i}f(x_{i})

Anmärkningar:

Om funktionen är konkav (konvex uppåt) så är tecknet i olikheten omvänt. $\f(x)$
Johann Jensen själv utgick från en mer speciell relation, nämligen

f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2} }

, det motsvarar fallet .

q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2))

Bevis

Beviset utförs med metoden matematisk induktion .

För ojämlikheten följer av definitionen av en konvex funktion . $\n=2$
Antag att det är sant för något naturligt tal , vi kommer att bevisa att det är sant för , det vill säga $\n$ $\n+1$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}})\ leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{{n+1}}f( x_{{n+1}})

För detta ändamål ersätter vi summan av de två sista termerna till vänster med en term $\ q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}}$

(q_{n}+q_{{n+1)))\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\ frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{{n+1}}\höger)

;

detta kommer att göra det möjligt att använda ojämlikheten för och fastställa att uttrycket ovan inte överstiger summan $\n$

q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{{n+1)))f\left({\frac { q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+ 1 }}}}x_{{n+1}}\höger)

Det återstår bara att tillämpa på värdet av funktionen i sista termen ojämlikheten för . Således, genom metoden matematisk induktion, är Jensens ojämlikhet fullständigt bevisad. $\n=2$

Geometrisk tolkning

En punkt är den motsvarande konvexa kombinationen av punkter . Det är uppenbart från definitionen av en konvex funktion att det konvexa skrovet för denna uppsättning punkter kommer att sammanfalla med själva uppsättningen. Det betyder att det följer av egenskaperna hos en konvex kombination att den bildade punkten kommer att ligga inuti polygonen som är byggd på de listade punkterna i den angivna ordningen (om vi kopplar den sista med den första). $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \dots, (x_n, f(x_n))$

Det är geometriskt uppenbart att punkten i detta fall kommer att ligga ovanför en av linjerna i formen . Men för en konvex funktion ligger per definition en sådan rät linje ovanför funktionens graf. Det betyder att punkten ligger ovanför denna graf, vilket betyder att . $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))$ $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}$

Integralformulering

För en konvex funktion och en integrerbar funktion , ojämlikheten $\varphi \left(x\right)$ $f\vänster(x\höger)$

\varphi \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{ba}} \int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.

Probabilistisk formulering

Låt vara ett sannolikhetsutrymme och vara en slumpvariabel definierad på det . Låt också vara en konvex (nedåt) Borel funktion . Sedan om , då $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi ({\mathbb {E}}[X])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)]

där betyder matematisk förväntan . ${\mathbb {E}}[\cdot ]$

Jensens ojämlikhet för villkorlig förväntan

Låt, förutom de antaganden som anges ovan, vara en sub-σ-algebra av händelser . Sedan ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$

\varphi ({\mathbb {E}}[X|{\mathcal {G}}])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)|{\mathcal {G}}]

där betecknar den villkorade förväntan med avseende på σ-algebra . ${\mathbb {E}}[\cdot |{\mathcal {G}}]$ ${\mathcal {G}}$

Specialfall

Hölders ojämlikhet

Låt , där (en konvex funktion). Vi har $\f(x)=x^{k}$ $\x>0,$ $\k>1$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{{i=1}}^{ {n}}{q_{i}x_{i}^{k}}

, och

\ q_{1},\ldots ,q_{n}>0

\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1

Låt oss beteckna , var är godtyckliga positiva tal, då kommer ojämlikheten att skrivas i formen $\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ $\p_{1},\ldots ,p_{n}$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\summa _{{i=1} }^{{n}}{p_{i}}\right)^{{k-1}}\summa _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}^ {k}}

Genom att ersätta här med och med , får vi den välkända Hölder-ojämlikheten : $\pi}$ $\ b_{i}^{{{\frac {k}{k-1))))$ $\x_{i}$ ${\frac {a_{i}}{b_{i}^{{{\frac {1}{k-1}}}}}}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\summa _{{i=1}}^{{n}}{a_{ i}}^{k}\höger)^{{\frac {1}{k}}}\left(\summa _{{i=1}}^{{n}}{b_{i}}^{ {{\frac {k}{k-1}}}}\right)^{{\frac {k-1}{k}}}

Cauchys ojämlikhet

Låt (konkav funktion). Vi har $\f(x)=\ln x$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\summa _{{i=1}}^{{n} }{q_{i}x_{i}}\höger)

, eller , potentierande vi får .

\ln \prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \ln \sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}

\prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{ q_{i}x_{i}}

I synnerhet när vi får Cauchy-olikheten ( det geometriska medelvärdet överstiger inte det aritmetiska medelvärdet ) $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\sqrt[ {n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}

Olikhet mellan harmoniskt medelvärde och geometriskt medelvärde

Låt (en konvex funktion). Vi har $\ f(x)=x\ln x$

\left(\summa _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\summa _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}

. Att sätta och potentiera får vi

q_{i}={\frac {{\frac {1}{x_{i)))){\sum _{{i=1}}^{{n}}{{\frac {1}{x_{ i}}}}}}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}

( det harmoniska medelvärdet överstiger inte det geometriska medelvärdet )

Olikhet mellan harmoniskt medelvärde och aritmetiskt medelvärde

Låt (en konvex funktion). Vi har $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{ n}}{{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

I synnerhet, för vi erhåller att det harmoniska medelvärdet inte överstiger det aritmetiska medelvärdet : $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+ \ldots +x_{n}}{n}}

Se även

Litteratur

Zorich V.A. Ch. V. Differentialkalkyl // Matematisk analys. Del I. - 6:e uppl. - M. : MTSNMO , 2012. - S. 289-290. - 2000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-892-5 .
Fikhtengolts G. M. Ch. IV. Undersökning av funktioner med hjälp av derivator // Förlopp för differential- och integralkalkyl. - 8:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - S. 336-337. - 5000 exemplar. — ISBN 5-9221-0156-0 .