Villkorlig förväntan

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Den villkorliga matematiska förväntan i sannolikhetsteorin är medelvärdet av en slumpvariabel under ett visst villkor (implementering av vissa händelser). Ofta fungerar värdet på en annan slumpvariabel fixerad på någon nivå, som kan relateras till den givna, som ett villkor (om dessa slumpvariabler är oberoende, då sammanfaller den villkorliga matematiska förväntan med den (ovillkorliga) matematiska förväntan). I det här fallet betecknas den villkorliga matematiska förväntan av en slumpvariabel , förutsatt att den slumpmässiga variabeln har tagit ett värde, som , respektive kan den betraktas som en funktion av . Denna funktion kallas regressionsfunktionen för en slumpvariabel av en slumpvariabel och därför betecknas den villkorliga matematiska förväntan som , det vill säga utan att ange ett fast värde . $Y$ $X$ $x$ $E(Y|X=x)$ $x$ $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $x$

Villkorlig förväntan är en egenskap hos en villkorlig fördelning .

Definitioner

Vi antar att vi ges ett sannolikhetsutrymme . Låta vara en integrerbar slumpvariabel, dvs. Låt också vara en σ-subalgebra av σ-algebra . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $\mathbb {E} \vert X\vert <\infty$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

ULV med avseende på σ-algebra

En slumpvariabel kallas en villkorlig förväntan med avseende på σ-algebra if ${\hat {X}}$ $X$ ${\mathcal {G}}$

${\hat {X}}$ mätbar med avseende på . ${\mathcal {G}}$
$\forall A\in {\mathcal {G)),\quad \mathbb {E} \left[{\hat {X}}\mathbf {1} _{A}\right]=\mathbb {E} [X \mathbf {1} _{A}]$ ,

var är indikatorn för händelsen (med andra ord, det är den karakteristiska funktionen för set-händelsen, vars argument är en slumpvariabel eller ett elementärt utfall). Den villkorliga matematiska förväntan betecknas med . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$

Exempel. Låt oss sätta . Då är en σ-algebra, och . Låt den slumpmässiga variabeln ha formen $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ ${\mathcal {G}}=\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},\Omega \}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Sedan

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}](\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {5}{2)),&\omega =1,2 \\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{matrix}}\right.

UMO angående familjen av händelser

Låt vara en godtycklig familj av händelser. Då kallas den betingade matematiska förväntan relativt ${\mathcal {C}}=\{C_{\alpha }\}\subset {\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma ({\mathcal {C}})]

var är den minimala sigma-algebra som innehåller . $\sigma ({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

Exempel. Låt Låt också . Sedan . Låt den slumpmässiga variabeln ha formen $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ $C=\{1,2,3\}$ $\sigma (C)=\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{4\},\Omega \}\subset {\mathcal {F))$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Sedan

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}](\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {14}{3)),&\omega =1,2 ,3\\[5pt]16,&\omega =4.\end{matrix}}\right.

ULV relativt en slumpvariabel

Låt en annan slumpvariabel. Då kallas den betingade matematiska förväntan relativt $Y:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma (Y)]

var är σ-algebra som genereras av den slumpmässiga variabeln . $\sigma (Y)$ $Y$

En annan definition av ULV handlar om : $X$ $Y$

$\mathbb {E} (X\mid Y)=\mathbb {E} (X\mid Y=y)\mid _{y=Y}$

Denna definition beskriver konstruktivt algoritmen för att hitta ULV:

hitta den matematiska förväntan av en slumpvariabel , med en konstant ; $X$ $Y$ $y$
Ersätt sedan tillbaka med en slumpvariabel i det resulterande uttrycket . $y$ $Y$

Exempel : $X\ekv. N(a,\sigma ^{2})$

$\mathbb {E} \left[{\frac {X}{Y}}\mid Y\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {X}{y}}\right]\mid _{ y=Y}={\frac {1}{y}}\mathbb {E} [X]\mid _{y=Y}={\frac {a}{y}}\mid _{y=Y} ={\frac {a}{Y}}$

Villkorlig sannolikhet

Låt vara en godtycklig händelse och vara dess indikator. Då kallas den betingade sannolikheten relativt sett $B\in {\mathcal {F}}$ $\mathbf {1} _{B}$ $B$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})\equiv \mathbb {E} [\mathbf {1} _{B}\mid {\mathcal {G}}]

Anteckningar

Den betingade förväntan är en slumpvariabel, inte ett tal.
Den villkorliga matematiska förväntan definieras upp till noll sannolikhetshändelser . Således, om och - nästan överallt , då . Efter att ha identifierat slumpvariabler som endast skiljer sig åt på händelser med sannolikhet noll, får vi det unika med den villkorliga matematiska förväntan. ${\hat {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ ${\hat {X}}_{1}={\hat {X}}_{2}$ $\mathbb {P}$ ${\hat {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$
Med , får vi per definition: $A=\Omega$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]

och i synnerhet är formeln för total sannolikhet giltig :

\mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G)))]

Låt en σ-algebra genereras av en partition . Sedan ${\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots ,C_{n})$ $\{C_{i}\}_{i=1}^{\infty }$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _{C_{i}}

Speciellt tar den totala sannolikhetsformeln den klassiska formen:

\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf { 1 }_{C_{i}}

och följaktligen

\mathbb {E} [\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))]=\summa \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A \ mid C_{i})\mathbb {E} [\mathbf {1} _{C_{i}}]=\summa \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\ mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})=\mathbb {P} (A)

Grundläggande egenskaper

Om , så finns det en Borel-funktion sådan att ${\hat {X}}=\mathbb {E} [X\mid Y]$ $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

{\hat {X}}=h(Y)

Den villkorade förväntan på en händelse är per definition lika med $X$ $\{Y=y\}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)

Om a.s. , sedan a.s. $X\geq 0$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0$
Om oberoende av , då $X$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]

b.s.

I synnerhet om oberoende slumpvariabler, då $X,Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Om är två σ-algebror så att , då ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}$ ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\ mitten {\mathcal {G}}_{1}]

Om — är mätbar, och — är en slumpvariabel så att , då $X$ ${\mathcal {G}}$ $Y$ $Y,XY\i L^{1}$

\mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]

"Förväntan tar bort tillståndet." Denna regel gäller för ULV med avseende på en slumpvariabel (ULV i detta fall kommer att vara en slumpvariabel) och för den villkorade sannolikheten med avseende på en slumpvariabel

\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)

Ytterligare egenskaper

ULV för diskreta kvantiteter

Låta vara en diskret stokastisk variabel vars fördelning ges av sannolikhetsfunktionen . Då är händelsesystemet en partition , och $Y$ $\mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{Y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\ldots$ $\{Y=y_{j}\}$ $\Omega$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1} _{ \{Y=y_{j}\}}

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E} _{j}[X]

där betyder den matematiska förväntan , taget i förhållande till den villkorade sannolikheten . $\mathbb {E} _{j}$ $\mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})$

Om den slumpmässiga variabeln också är diskret, då $X$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,\mathbb {P} (X=x_{i} \mid Y=y_{j})=\summa \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})

där är den villkorade sannolikhetsfunktionen för en slumpvariabel med avseende på . $p_{X\mitt Y}$ $X$ $Y$

ULV för absolut kontinuerliga slumpvariabler

Låta vara slumpvariabler så att vektorn är absolut kontinuerlig , och dess fördelning ges av sannolikhetstätheten . Låt oss introducera den villkorade densiteten , inställning per definition $X,Y$ $(X,Y)^{\top }$ $f_{{X,Y}}(x,y)$ $f_{X\mitt Y}$

f_{X\mid Y}(x\midt y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

var är sannolikhetstätheten för den slumpmässiga variabeln . Sedan $f_{Y}$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=h(Y)

där funktionen har formen $h$

h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx

Särskilt,

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{j} )\,dx

UMO i L 2

Betrakta utrymmet för slumpvariabler med ändligt andra moment . Den definierar den skalära produkten $L^{2}$

\langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\förall X,Y\in L^{2}

och den norm som genereras av den

\|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \left[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}

Mängden av alla slumpvariabler med ändligt andra moment och mätbara med avseende på , där , är ett delrum av . Sedan operatören som ges av jämlikheten $L_{\mathcal {G}}^{2}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $L^{2}$ $\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\to L^{2}$

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]

är den ortogonala projektionsoperatorn på . Särskilt: $L_{\mathcal {G}}^{2}$

Den betingade förväntan är den bästa medelkvadratapproximationen av -mätbara slumpvariabler: $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ $X$ ${\mathcal {G}}$

\|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|XZ\ |

Den villkorade förväntningen räddar punktprodukten:

\langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2 }

Villkorliga förväntningar är idempotenta :

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}

Se även

Villkorlig distribution

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter