Kolmogorov menar

Kolmogorov- medelvärdet eller Kolmogorov- medelvärdet för reella tal är en kvantitet av formen

där är en kontinuerlig strikt monoton funktion, och är den inversa funktionen till , och argumentet för denna inversa funktion är medelsumman inom parentes.

Exempel

När vissa funktioner väljs ger Kolmogorov-medelvärdet olika klassiska medel:

• vid - aritmetiskt medelvärde ;
• vid - geometriskt medelvärde ;
• vid - harmoniskt medelvärde ;
• at - rot medelvärde kvadrat ;
• vid är maktmedelvärdet .

Egenskaper

År 1930 visade A. N. Kolmogorov [1] att varje medelvärde har formen om det har egenskaperna:

• kontinuitet ,
• monotoni för varje ,
• symmetri (medelvärdet ändras inte vid omarrangering av argument),
• medelvärdet av en uppsättning lika tal är lika med deras värde,
• att ersätta värdena för alla siffror i någon undergrupp i en uppsättning med värdet på medelvärdet för den undergruppen ändrar inte värdet på medelvärdet för hela uppsättningen.
• För konvexa eller konkava funktioner gäller Jensens ojämlikhet .

Applikationer

Kolmogorovs medel används i tillämpad statistik och ekonometri . I enlighet med mätteorin , för medelvärdesberäkning av data uppmätt på intervallskalan , kan endast det aritmetiska medelvärdet användas från alla Kolmogorov-medelvärden, och för medelvärdesberäkning av data uppmätt på kvotskalan kan endast effektmedel och geometriskt medelvärde användas från alla Kolmogorov betyder. [2] [3]

Generaliseringar

För en kontinuerligt fördelad kvantitet betyder Kolmogorov på intervallet :

Se även

• Tillämpad statistik
• Ekonometri

Litteratur

1. ↑ Kolmogorov A. N. Matematik och mekanik // Utvalda verk / ed. ed. S. M. Nikolsky, komp. V. M. Tikhomirov. - M. : Nauka, 1985. - T. 1. - S. 136-138.
2. ↑ Orlov A. I. Kapitel 2 // Ekonometri . - 3:e uppl. - M . : Examen, 2004. - 596 sid. Arkiverad 22 juni 2007 på Wayback Machine
3. ↑ Orlov A. I. Avsnitt 5.3 // Tillämpad statistik . - M . : Examen, 2006. - 671 sid. Arkiverad 4 april 2013 på Wayback Machine