Aritmetiskt-geometriskt medelvärde

Det aritmetiskt-geometriska medelvärdet ( aritmetiskt-geometriskt medelvärde , AGS ) är ett värde som bestäms för två storheter och som gränsen för sekvensen , , där: $a$ $b$ $\{en}\}$ $\{b_{N}\}$

a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b

a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}

a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}

…

a_{N}={\frac {a_{{N-1}}+b_{{N-1}}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{{N-1 }}b_{{N-1}}}}

har för samma gräns: [1] [2] $N\till +\infty$

\lim _{{N\to \infty }}a_{N}=\lim _{{N\to \infty }}b_{N}=M(a,b)

AGS kan användas för att snabbt beräkna den exakta perioden för en matematisk pendel . [3]

Det modifierade aritmetiskt-geometriska medelvärdet ( MAGS ) av två storheteroch är den (gemensamma) gränsen för den (minskande) sekvensenoch (ökande) sekvensen, där,och. $x$ $y$ $\{x_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ $x_{0}=x$ $y_{0}=y$ $z_{0}=0$

x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}

y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

MAGS kan användas för att snabbt beräkna längden på en tråd i ett linjärt parallellt fält av repulsiva krafter.

MAGS kan uttryckas i termer av AGS, en sådan indirekt beräkning av MAGS är att föredra när man beräknar längden på omkretsen av en ellips med halvaxlar och : $L$ $a$ $b$

L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b))),

var är AGS för siffrorna och , och är MAGS för siffrorna och . Således uttrycker en sådan formel Gauss-metoden, med kvadratisk konvergens, för att beräkna den fullständiga elliptiska integralen av det andra slaget. [3] $M(x;y)$ $x$ $y$ $N(x;y)$ $x$ $y$

Applikationer

Med hjälp av AGS och MAGS är det möjligt att beräkna värdena för vissa transcendentala funktioner och tal $\pi$ . Till exempel, enligt Gauss-Salaminas formel [4] :

\pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\summa _{j=1}^{\infty }2^{ j}c_{j}^{2}}},

var , , . $c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$ $a_{0}=1$ $b_{0}={\sqrt {2}}$

Samtidigt, om vi tar:

a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha

sedan

\lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )))

var är den fullständiga elliptiska integralen $K(\alfa)$

K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\ frac {1}{2}}}d\theta

Det vill säga det uttrycks med formeln: $\pi$

\pi ={\frac {M({\sqrt {2)))^{2}}{N(2)-1}}

där är AGS 1 och , och är MAGS 1 och [3] . $M(x)$ $x$ $N(x)$ $x$

Genom att använda denna egenskap, såväl som Landens transformationer [5] föreslog Brent [ 6] de första AGS-algoritmerna för snabb beräkning av de enklaste transcendentala funktionerna ( ). I framtiden fortsatte studien och användningen av AGS-algoritmer av många författare [7] $e^{x},\cos x,\sin x$

Anteckningar

↑ B.C. Carlson. Algoritmer som involverar aritmetiska och geometriska medel (engelska) // Amer. Matematik. Månatlig : dagbok. - 1971. - Vol. 78 . - S. 496-505 . - doi : 10.2307/2317754 .
↑ B.C. Carlson. En algoritm för att beräkna logaritmer och arctangenter // Math.Comp . : journal. - 1972. - Vol. 26 , nr. 118 . - s. 543-549 . - doi : 10.2307/2005182 .
↑ 1 2 3 Adlaj, Semjon (september 2012), An eloquent formula for the perimeter of an ellips , Notices of the AMS vol 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477 , doi : 10.10790 / , < i ://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf > Arkiverad 6 maj 2016 på Wayback Machine
↑ E. Salamin Beräkning av aritmetiskt-geometriskt medelvärde // Math . Comp. : tidskrift. - 1976. - Vol. 30 , nej. 135 . - s. 565-570 . - doi : 10.2307/2005327 . $\pi$
↑ Landen, J. XXVI. En undersökning av en allmän sats för att hitta längden på en båge av en konisk hyperbel, med hjälp av två elliptiska bågar med några andra nya och användbara satser härledda därifrån // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1775. - Vol. 65 . - S. 283-289 . — ISSN 0261-0523 . - doi : 10.1098/rstl.1775.0028 .
↑ R.P. Brent . Snabb multipelprecisionsutvärdering av elementära funktioner // J. Assoc. Comput. Mach. : journal. - 1976. - Vol. 23 , nr. 2 . - S. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
↑ JM Borwein och PB Borwein Pi och årsstämman . - New York: Wiley, 1987. - ISBN 0-471-83138-7 .

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter