Geometriskt vägt medelvärde

Det geometriska vägda medelvärdet är ett slags medelvärde , en generalisering av det geometriska medelvärdet . För en uppsättning icke-negativa reella tal med reella vikter så att , definieras som [1] $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0$

{\bar {x}}=\left(\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}^{{w_{i}}}\right)^{{1/\sum _{ {i=1}}^{n}w_{i}}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}} }\;\summa _{{i=1}}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)

Ovanstående formler är meningsfulla för alla värden på vikterna, utom när vissa och motsvarande vikter . Därför antas som regel att alla nummer . Icke-negativa vikter brukar också beaktas. $x_{i}=0$ $w_{i}\leq 0$ $x_{i}>0$

Om vikterna är normaliserade till en (det vill säga deras summa är lika med en), så tar det geometriska viktade medelvärdet en enklare form: $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_ {i}\ln x_{i}

Egenskaper

Det aritmetiskt vägda medelvärdet av logaritmerna för vissa tal är lika med logaritmen för det geometriskt viktade medelvärdet av dessa tal med samma vikter.
Om alla vikter ( ) är lika, så blir det vägda geometriska medelvärdet det vanliga geometriska medelvärdet . $w_{i}$ $i=1,2,...,n$

Användningsexempel

Låt en diskret sannolikhetsfördelning ges . Beteckna med det geometriskt vägda medelvärdet av värden med vikter , dvs. ${\displaystyle P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\))$ ${\overline {N))$ ${\displaystyle 1/p_{i))$ $pi}$

{\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}

Då kan fördelningens Shannon-entropi skrivas som $P$

H(P)=\log {\overline {N}}=-\summa _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}

Värdet tolkas som det effektiva antalet systemtillstånd. ${\overline {N))$

Anteckningar

↑ Repova M. L., Sazanova E. V. Allmän teori om statistik i scheman, formler, tabeller . - Archangelsk: AGTU, 2007. - 24 sid. Arkiverad 13 oktober 2017 på Wayback Machine

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter