Första medelsatsen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 maj 2018; verifiering kräver 1 redigering .

Den första medelvärdessatsen är en av de bestämda integralsatserna .

Formulering

Låt funktionen vara integrerbar på segmentet och begränsas på det av tal och så att . Sedan finns det en siffra , sådan $f(x)$ $[a;b]$ $m$ $M$ $m\leq f(x)\leq M$ $\mu$ $m\leq \mu \leq M$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\mu (ba)

Bevis

Från ojämlikheten genom monotoniegenskapen hos integralen vi har $m\leq f(x)\leq M$

m(ba)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(ba)

Med beteckningen får vi det erforderliga påståendet. Det så definierade talet kallas medelvärdet av funktionen på intervallet , därav namnet på satsen. $\mu ={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)dx$ $\mu$ $f(x)$ $[a;b]$

Notera

Om funktionen är kontinuerlig på , då som och vi kan ta dess största och minsta värden (som, enligt Weierstrass-satsen , uppnås), då, enligt mellanvärdessatsen, finns det en sådan punkt att , så påståendet om satsen kan skrivas om som $f(x)$ $[a;b]$ $m$ $M$ $c\in [a;b]$ $f(c)=\mu$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(ba)

Om vi använder Newton-Leibniz-formeln kommer denna likhet att skrivas som

F(b)-F(a)=F'(c)\;(ba)

var är antiderivatan av funktionen , som inte är något annat än Lagrangeformeln för funktionen . $F(x)$ $f(x)$ $F(x)$

Generalisering

Låt funktionerna och vara integrerbar på segmentet , dessutom som tidigare , och den andra av dem ändrar inte tecken (det vill säga, det är antingen överallt icke-negativ: , eller överallt icke-positiv ). Sedan finns det en siffra , sådan $f(x)$ $g(x)$ $[a;b]$ $m\leq f(x)\leq M$ $g(x)\geq 0$ $g(x)\leq 0$ $\mu$ $m\leq \mu \leq M$

\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)dx

Bevis

Låt det vara icke-negativt, då har vi $g(x)$

mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)

varifrån, med tanke på integralens monotonitet

m\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int \limits _{ a}^{b}g(x)dx

Om , då denna ojämlikhet innebär att , och påståendet om satsen gäller för alla . Annars sätter vi $\int _{a}^{b}g(x)dx=0$ $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$ $\mu$

\mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int \limits _{a}^{b}g(x)dx))

Generaliseringen är bevisad. Om funktionen är kontinuerlig kan vi säga att det finns en sådan punkt $f(x)$ $c\in [a;b]$

\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx

(liknar den föregående).

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - M . : Nauka, 1969. - T. II.
Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. - M . : Nauka, 1981.

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter