Mellanvärdessats

Mellanvärdessatsen (eller Bolzano-Cauchy-satsen ) säger att om en kontinuerlig funktion definierad på ett reellt intervall tar två värden, så får den valfritt värde mellan dem.

Formulering

Låt en kontinuerlig funktion ges på ett segment Låt också utan förlust av generalitet anta att Då för någon finns det så att . $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ $f(a)\neq f(b),$ $f(a)=A<B=f(b).$ $C\i [A,B]$ $c\in[a,b]$ $f(c)=C$

Bevis

Låt oss betrakta funktionen Den är )tillmindreochpå segmentetkontinuerlig . $g(x)=f(x)-C.$ $[a,b]$ $g(a)<0$ $g(b)>0.$ $c\in[a,b]$ $g(c)=0.$ $[a,b]$ $x_{0}$ $g(x_{0})=0$ ${\displaystyle c=x_{0))$ $g(x_{0})\nekv 0$ $g(x)$

Genom att beteckna det resulterande segmentet delar vi det igen i två lika långa segment, etc. Sedan, antingen efter ett ändligt antal steg, kommer vi fram till den önskade punkten eller så får vi en sekvens av kapslade segment som tenderar till noll i längd och så att $[a_{1},b_{1}]$ $c$ $[a_{n},b_{n}]$

$g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Låt - en gemensam punkt för alla segment (enligt Cantors princip existerar den och är unik) , Då och på grund av kontinuiteten i funktionen $c$ $[a_{n},b_{n}]$ $n=1,2,...$ $c=\lim a_{n}=\lim b_{n},$ $g(x):$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Eftersom det

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

det får vi $g(c)=0.$

Konsekvenser

(Satsen om nollpunkten för en kontinuerlig funktion.) Om en funktion är kontinuerlig på ett visst segment och tar på sig motsatta tecken i ändarna av detta segment, så finns det en punkt där den är lika med noll . Formellt: låt och Då sådan att $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ $\operatörsnamn {sgn} (f(a))\neq \operatörsnamn {sgn} (f(b)).$ $\exists c\in [a,b]$ $f(c)=0.$
I synnerhet har varje polynom med udda grad minst en nolla.

Notera

Ibland (i utbildningskurser) kallas påståendet för noll den första Bolzano - Cauchy-satsen , och den allmänna satsen kallas den andra satsen [1] . I själva verket är de likvärdiga. [2]

Generalisering

Bolzano-Cauchy-satsen kan generaliseras till mer allmänna topologiska utrymmen . Varje kontinuerlig funktion som definieras på ett anslutet topologiskt utrymme som tar två valfria värden tar också vilket värde som helst mellan dem. Formell notation: låt ett sammanhängande topologiskt rum och en funktion ges Let and Then $f\colon X\to \mathbb{R}$ $(X,{\mathcal {T}}),$ $f\in C(X).$ $x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ $y_{1}<y_{2}.$

\forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.

I denna formulering är satsen ett specialfall av satsen att bilden av en sammankopplad mängd under en kontinuerlig mappning är sammankopplad.

Historik

Teoremet formulerades oberoende av Bolzano 1817 och av Cauchy 1821.

Se även

Anteckningar

↑ Matematisk analys: Kontinuerliga funktioner . Datum för åtkomst: 24 januari 2010. Arkiverad från originalet den 24 november 2010. (obestämd)
↑ Shilov, 1969 , sid. 163.

Litteratur

Shilov G.E. Matematisk analys (funktioner av en variabel). - M. : Nauka, 1969. - 528 sid.