Lemma om kapslade segment

De kapslade segmentens lemma , eller Cauchy-Cantors princip om kapslade segment [1] , eller Cantors kontinuitetsprincip [2] , är ett grundläggande uttalande inom matematisk analys som är förknippat med fullständigheten av fältet av reella tal .

Formulering

För alla system av kapslade segment

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

det finns åtminstone en punkt som tillhör alla segment i det givna systemet. $c$

Om dessutom längden på segmenten i systemet tenderar att vara noll:

\lim _{{n\to \infty }}(b_{n}-a_{n})=0

då är den enda gemensamma punkten för alla segment i det givna systemet. $c$

Notera

Segmenten i formuleringen av satsen kan inte ersättas med öppna intervall. Till exempel,

\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing

Bevis

1) Förekomsten av en gemensam punkt. Uppsättningen av vänstra ändar av segment ligger på den reella linjen till vänster om uppsättningen högra ändar av segment , eftersom $\{en}\}$ $\{b_{m}\}$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant b_{m}

I kraft av kontinuitetsakxiomet finns det en punkt som skiljer dessa två uppsättningar åt, dvs. $c$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{m}

särskilt

\forall n\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}

Den sista ojämlikheten betyder att det är en gemensam punkt för alla segment i det givna systemet. $c$

2) Det unika med en gemensam punkt. Låt längden på segmenten i systemet tendera till noll. Låt oss visa att det bara finns en punkt som tillhör alla segment av systemet. Antag motsatsen: låt det finnas två olika punkter och , som tillhör alla segment av systemet: $c$ $c'$

\forall n\;\;c,c'\in [a_{n},b_{n}],\quad c\neq c'

Då gäller följande ojämlikheter för alla tal: $n$

|cc'|\leqslant b_{n}-a_{n}

På grund av villkoret att längderna på segmenten tenderar att vara noll för alla för alla siffror , med början från ett visst, olikheten $\varepsilon >0$ $n$

b_{n}-a_{n}<\varepsilon

Om vi tar in denna ojämlikhet får vi $\varepsilon ={\frac {1}{2}}|cc'|>0$

|cc'|<{\frac {1}{2}}|cc'|

Motsägelse. Lemmat är helt bevisat.

Det kapslade intervalllemmat och fullständigheten (kontinuiteten) för fältet med reella tal

Det kapslade intervalllemmat är nära relaterat till kontinuiteten (fullständigheten) av fältet för reella tal . Sålunda förlitade sig ovanstående bevis på lemma i huvudsak på kontinuitetsakxiomet . Det kan visas att om det ordnade fältet inte är kontinuerligt kanske principen om kapslade segment inte håller. Till exempel, om vi tar fältet för rationella tal , som inte är kontinuerliga, och betraktar en sekvens av kapslade segment

[1;2],[1{,}4;1{,}5],[1{,}41;1{,}42],[1{,}414;1{,}415],\ldots

vars ändar är decimala approximationer av ett irrationellt tal med en brist respektive ett överskott, med en noggrannhet på , visar det sig att detta system av kapslade segment inte har någon gemensam poäng. ${\sqrt {2}}$ $1/10^{n},\;n=0,1,2,\ldots$

Dessutom kan det visas att den kapslade intervallprincipen är en av de ekvivalenta formuleringarna av fältkontinuitet (och därför kallas Cantors princip om kontinuitet ). Mer exakt gäller följande proposition [2] . För alla ordnade arkimediska fält innebär principen med kapslade segment kontinuiteten i detta fält.

Anteckningar

↑ Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:e, rev. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ 1 2 Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.

Litteratur

Kamynin L. I. Matematisk analys. T. 1, 2. - 2001.
Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .