Antiderivat

En antiderivata för en funktion (kallas ibland en antiderivata eller primitiv funktion ) är en funktion vars derivata är . Detta är ett av de viktigaste begreppen i den matematiska analysen av en reell variabel (det finns även generaliseringar av detta begrepp för komplexa funktioner [1] ). $f(x)$ $f(x)$

Definition

En antiderivata för en given funktion kallas [2] en sådan funktion vars derivata är (över hela definitionsdomänen ), det vill säga . Att hitta antiderivatan är en operation omvänd till differentiering - den senare hittar sin derivata med avseende på en given funktion, och efter att ha hittat antiderivatan, bestämde vi tvärtom den ursprungliga funktionen med en given derivata. $f(x)$ $F(x)$ $f$ $f$ $F'(x)=f(x)$

Antiderivat är viktiga eftersom de låter dig beräkna vissa integraler . Om är antiderivatan av en integrerbar kontinuerlig funktion , då: $F$ $f$

\int\limits_a^bf(x)\, dx = F(b) - F(a).

Detta förhållande kallas Newton-Leibniz-formeln .

Tekniskt sett är att hitta antiderivatan att beräkna den obestämda integralen för , och själva processen kallas integration . För tillämpningen av denna teori på geometri, se integralkalkyl . $f(x)$

Exempel: funktionen är antiderivat för därför $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ $f(x)=x^{2},$ $F'(x)=f(x).$

Tvetydighet

Om är en antiderivata för , då är vilken funktion som helst som erhålls genom att addera konstanten : också en antiderivata för . Således, om en funktion har en antiderivata, så ingår den i hela familjen av antiderivator [2] , som kallas den obestämda integralen och skrivs som en integral utan gränser: $F$ $f$ $F$ $G(x) = F(x) + C$ $f$ $F(x)+C,$ $f(x)$

\int f(x)\, dx

Det omvända är också sant: om är antiderivatan för , och funktionen är definierad på något intervall , så skiljer sig varje antiderivata från från med en konstant: det finns alltid ett tal så att för alla . Graferna för sådana antiderivat är vertikalt förskjutna i förhållande till varandra, och deras position beror på värdet. Talet kallas integrationskonstanten . $F$ $f$ $f$ $G$ $F$ $C$ $G(x) = F(x) + C$ $x$ $C.$ $C$

Till exempel har familjen av antiderivator för en funktion formen: , där är valfritt tal. $x^{2}$ $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C$ $C$

Om domänen för en funktion inte är ett kontinuerligt intervall, behöver dess antiderivator inte skilja sig med en konstant [3] . Så till exempel existerar funktionen inte vid noll, så dess definitionsdomän består av två intervall: och följaktligen erhålls två oberoende familjer av antiderivator på dessa intervall: , där är en konstant vid och generellt sett en annan konstant kl : $f$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $x>0$ $x<0.$ $-{\frac {1}{x}}+{\hat {C}}$ ${\hat {C))$ $x>0$ $x<0$

{\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ if }}x<0\\C_{2},{\text{ om }}x>0\end{aligned}}\right.

Existens

Varje kontinuerlig funktion har en antiderivata , varav en representeras som en integral av med en variabel övre gräns: $f$ $F$ $f$

F(x) = \int\limits_a^xf(t)\,dt.

Det finns också icke-kontinuerliga (diskontinuerliga) funktioner som har ett antiderivat. Till exempel är c inte kontinuerlig vid utan har en antiderivata med . För diskontinuerliga avgränsade funktioner är det bekvämt att använda den mer allmänna Lebesgue-integralen istället för Riemann- integralen . Nödvändiga villkor för att antiderivatan finns är att funktionen tillhör den första Baire-klassen och att Darboux-egenskapen är uppfylld för den [2] . $f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ $f(0) = 0$ $x=0$ $F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}$ $F(0) = 0$ $f$

Många antiderivator, även om de finns, kan inte uttryckas i termer av elementära funktioner (dvs i termer av polynom , exponentialfunktioner , logaritmer , trigonometriska funktioner , inversa trigonometriska funktioner och kombinationer av dessa). Till exempel:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\, dx

För sådana funktioner kan integralen av dem, om den finns, beräknas ungefär med hjälp av numerisk integration .

Antiderivategenskaper

Antiderivatan av summan av funktioner är lika med summan av antiderivatorna för termerna.
Antiderivatan av produkten av en konstant och en funktion är lika med produkten av en konstant och antiderivatan av en funktion.
Alla funktioner som är kontinuerliga på ett intervall har både en antiderivata och en Riemann-integral . Men i det allmänna fallet är förekomsten av ett antiderivat och integrerbarheten av en funktion inte relaterade [4] :
- Teckenfunktionen (sgn) är Riemann-integrerbar men har ingen antiderivata (på grund av diskontinuiteten vid noll).
- Funktionen (låt oss också anta ) har en finit derivata på segmentet , alltså har funktionen en antiderivata (nämligen ), men är inte begränsad till och är därför inte Riemann-integrerbar. ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$ $f(0)=0$ $[-1,1]$ $g(x);$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $[-1,1]$

Integrationsteknik

Att hitta antiderivat är mycket svårare än att hitta derivat. Det finns flera metoder för detta:

integrationens linjäritet gör det möjligt att bryta komplexa integraler i delar,
substitutionsintegration , ofta tillämpad i samband med trigonometriska identiteter eller den naturliga logaritmen ,
integrering av delar för operationer med produkter av funktioner,
omvänd kedjemetod , ett specialfall av integrering av delar,
metoden för att integrera rationella bråk låter dig integrera alla rationella funktioner (bråk med polynom i täljaren och nämnaren),
Risch-algoritm - en algoritm för att integrera alla elementära funktioner,
vissa integraler finns i tabeller, se Kategori:Listor över integraler .
när man integrerar flera gånger kan en ytterligare teknik användas, till exempel se dubbelintegral och polära koordinater , Jacobian och Stokes sats .
Datoralgebrasystem hjälper till att automatisera några av ovanstående symboliska operationer (särskilt Risch-algoritmen), vilket är mycket bekvämt när algebraiska beräkningar blir för besvärliga.

Anteckningar

↑ Antiderivata av funktioner av komplexa variabler . Hämtad 7 maj 2019. Arkiverad från originalet 7 maj 2019. (obestämd)
↑ 1 2 3 Antiderivat // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 237.
↑ Shibinsky, 2007 , sid. 139-140.
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 57, 51. - 258 sid. — ISBN 978-5-382-00046-6 .

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok för högre matematik. - 12:e upplagan - M . : Nauka, 1977. - 872 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl i tre volymer. - Ed. 6:a. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 sid.
Shibinsky VM Exempel och motexempel i matematisk analys. Handledning. - M . : Högre skola, 2007. - 543 sid. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Länkar

Wolfram Integrator - beräkna integraler online med Mathematica
Mathematical Assistant on Web - Symbolic Computing Online Arkiverad 1 december 2008 på Wayback Machine
Online Integrals Calculator Arkiverad 6 januari 2010 på Wayback Machine