Integrationskonstant

I kalkyl definieras den obestämda integralen för en given funktion (det vill säga uppsättningen av alla antiderivator av funktionen) i den associerade domänen endast upp till en additiv integrationskonstant. Denna konstant uttrycker tvetydigheten som är inneboende i att ta antiderivat. definieras på intervallet, och är en antiderivata , då ges mängden av alla antiderivator från av funktionerna , där C är en godtycklig konstant (detta betyder att vilket värde som helst för C gör antiderivatan verklig). För enkelhetens skull utelämnas ibland integrationskonstanten i listor över integraler. ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ ${\displaystyle F(x)))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ $F(x)+C$

Ursprung

Derivatan av en konstant funktion är lika med noll. Om en antiderivata hittas för en funktion , då addera eller subtrahera någon konstant C kommer att ge oss ytterligare en antiderivata, eftersom . En konstant är ett sätt att uttrycka att varje funktion med minst en antiderivata har ett oändligt antal av dem. ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ $F(x)$ $(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$

Låt , och vara två universellt differentierbara funktioner. Antag att för varje reellt tal x. Sedan finns det ett reellt tal C så att för varje reellt tal x. För att bevisa detta, notera att . Således kan F ersättas av FG och G med en konstant funktion 0 för att bevisa att en differentierbar funktion vars derivata alltid är lika med noll överallt måste vara konstant: . För varje x betyder grundsatsen i Calculus, tillsammans med antagandet att derivatan av F försvinner, att ${\displaystyle {\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ))$ $G:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ $F\,'(x)=G\,'(x)$ $F(x)-G(x)=C$ $[F(x)-G(x)]'=0$ $C=F(a)$

${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F( x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$

därför är F en konstant funktion.

Två fakta är avgörande i detta bevis. Först kopplas den riktiga linjen. Om den verkliga linjen inte var ansluten skulle vi kanske inte alltid kunna integrera från vårt fasta a till ett givet x. Till exempel, om vi skulle ta de definierade funktionerna för att kombinera intervallen [0,1] och [2,3], och om a var 0, så skulle det vara omöjligt att integrera från 0 till 3 eftersom funktionen inte är definierad mellan 1 och 2 Det kommer att finnas två konstanter här, en för varje ansluten domänkomponent. I det allmänna fallet, genom att ersätta konstanter med lokalt konstanta funktioner, kan vi utöka denna sats till frånkopplade domäner. Till exempel finns det två integrationskonstanter för och oändligt många för , så till exempel är den allmänna formen för 1/x-integralen: $\textstyle \int dx/x$ $\textstyle \int \tan x\,dx,$

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right| +C^{+}&x>0\end{cases}}$

För det andra antogs det att F och G är differentierbara överallt. Om F och G inte är differentierbara åtminstone vid en punkt, då misslyckas satsen. Som ett exempel, låt oss vara Heaviside-funktionen, som är noll för negativa x-värden och en för icke-negativa x-värden, och låt sedan derivatan av F vara noll där den definieras, och derivatan av G alltid vara noll. Det är dock tydligt att F och G inte skiljer sig åt med ett konstant värde. Även om vi antar att F och G är överallt kontinuerliga och differentierbara nästan överallt, misslyckas ändå satsen. Som ett exempel, ta F som Cantor-funktionen och låt återigen G = 0. $F(x)$ $G(x)=0.$

Anta till exempel att man vill hitta antiderivat . En sådan primitiv är detta . En annan - Tredje - . Var och en av dem har en derivata , så de är alla antiderivator av Det visar sig att att addera och subtrahera konstanter är den enda flexibiliteten vi har för att hitta olika antiderivator med samma funktion. Det vill säga att alla antiderivat är lika upp till en konstant. För att uttrycka detta faktum för cos(x), skriver vi: $\cos(x)$ ${\displaystyle {\displaystyle \sin(x)))$ $\sin(x)+1.$ ${\displaystyle {\displaystyle \sin(x)-\pi ))$ $\cos(x)$ ${\displaystyle \cos(x)}\$ $\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

Om du ersätter C med ett tal kommer det att producera en antiderivata. Men att skriva C istället för ett nummer ger en kompakt beskrivning av alla möjliga antiderivator cos(x). C kallas integrationskonstanten. Det är lätt att fastställa att alla dessa funktioner verkligen är derivator av $\cos(x):$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\ frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

Nödvändighet

Vid första anblicken kan det tyckas att konstanten inte behövs, eftersom den kan återställas till noll. Dessutom, när man utvärderar bestämda integraler med hjälp av kalkylens grundsats, kommer konstanten alltid att eliminera sig själv. Men att försöka sätta en konstant till noll är inte alltid vettigt. Till exempel kan den integreras på minst tre olika sätt: $2\sin(x)\cos(x)$

${\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x) +1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2 }(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x )\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2 }(x)+C\end{aligned}}$

Så att nollställa C kan fortfarande lämna en konstant. Det betyder att det inte finns någon "Simple Antiderivative" för denna funktion.

Ett annat problem med att sätta C till noll är att vi ibland vill hitta antiderivator som har ett givet värde vid en given punkt (som i initialvärdesproblemet). Till exempel, för att få en antiderivata som har ett värde på 100 när x = π, då fungerar bara ett värde på C (i det här fallet, C = 100). ${\displaystyle {\displaystyle \cos(x)))$

Denna begränsning kan omformuleras på språket för differentialekvationer. Att hitta den obestämda integralen för en funktion är detsamma som att lösa en differentialekvation. Varje differentialekvation kommer att ha många lösningar, och varje konstant är den enda lösningen på ett väl ställt initialvärdeproblem. Att införa villkoret att vårt antiderivata värde antar värdet 100 vid x = π är det initiala villkoret. Varje initialtillstånd motsvarar ett och endast ett värde på C, så utan C skulle det vara omöjligt att lösa problemet. $f(x)$ ${\frac {dy}{dx}}=f(x).$

Det finns en annan motivering, baserad på abstrakt algebra. Utrymmet för alla (lämpliga) reella funktioner på de reella talen är ett vektorrum, och en differentialoperator är en linjär operator. Operatören visar en funktion lika med noll om och endast om denna funktion är konstant. Därför är kärnan utrymmet för alla konstanta funktioner. Processen med obestämd integration reduceras till att hitta prototypen för en given funktion. Det finns ingen kanonisk förbild för en given funktion, men uppsättningen av alla sådana förbilder bildar en coset. Att välja en konstant liknar att välja ett element i en coset. I detta sammanhang tolkas lösningen på initialvärdeproblemet som att den ligger i hyperplanet som ges av initialförhållandena. ${\frac {d}{dx))$ ${\frac {d}{dx))$ ${\frac {d}{dx))$

Fysisk betydelse

Låt oss titta på några exempel.

Kroppen faller från husets femte våning till marken och flyger en bit. Sedan faller samma kropp från nionde våningen till balkongen på den femte och flyger samma sträcka, trots skillnaden i utgångsläget. Vi försummar tyngdkraftsförändringen i höjd med huset. I det här exemplet anger integrationskonstanten kroppens initiala position (våningsnummer).

En bil färdas längs en rak väg med någon variabel hastighet. Om bilen i början av rörelsen flyttas till en annan plats på rutten, kommer den att åka samma väg.

En häst drar en släde över ett plant fält. Oavsett var hästen befinner sig i fältet kommer den att göra samma arbete som att dra släden (sträckan som hästen tillryggalägger måste vara densamma).

Vatten rinner ut ur ett cylindriskt kärl genom ett hål i botten. Nivån i kärlet sänks med 10 cm. Oavsett vilken nivå kärlet från början fylldes till sänker samma volym vatten som förflutit nivån med 10 cm.

Spänningen över kondensatorn ändras från 1 volt till 0 volt. Då ändras spänningen på samma kondensator från 1000 volt till 999 volt. I båda fallen är laddningen som passerar genom kondensatorn densamma.

Kroppen kyls ner från 1°C till 0°C. Samma kropp kyls ner från 1000°C till 999°C. Om vi försummar värmekapacitetens beroende av temperatur, förlorar kroppen i båda fallen samma mängd värme.

Litteratur

Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6:e upplagan). Brooks/Cole. ISBN0-495-01166-5.
Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9:e upplagan). Brooks/Cole. ISBN0-547-16702-4.
Läsarundersökning: log| x | + C ”, Tom Leinster, The n -category Café , 19 mars 2012
Banner, Adrian (2007). Kalkylens livräddare: alla verktyg du behöver för att briljera med kalkyl . Princeton [ua]: Princeton University Press. sid. 380. ISBN978-0-691-1308