Geometriskt medelvärde

Det geometriska medelvärdet av flera positiva reella tal är ett tal som kan ersätta vart och ett av dessa tal så att deras produkt inte förändras. Mer formellt:

G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}=\left( \prod _{{i=1}}^{n}x_{i}\right)^{{1/n}}

Det geometriska medelvärdet av två tal kallas också deras proportionella medelvärde [1] , eftersom det geometriska medelvärdet av två tal och har följande egenskap: , det vill säga det geometriska medelvärdet är relaterat till det första talet på samma sätt som det andra talet är till det geometriska medelvärdet. $g$ $a_{1}$ $a_{2}$ ${\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}$

Egenskaper

Precis som alla andra medelvärden ligger det geometriska medelvärdet mellan minimum och maximum av alla tal:

\operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\ leqslant \operatörsnamn {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Det geometriska medelvärdet av två tal är det aritmetiska-harmoniska medelvärdet av dessa tal, det vill säga det är lika med gränsen för två sekvenser: $a=A_{0},b=G_{0}$

A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2)),\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{ i-1}}}.

Det geometriska medelvärdet av två tal är lika med det geometriska medelvärdet av deras aritmetiska medelvärde och harmoniska medelvärde [2] .

Geometriskt vägt medelvärde

Det geometriska vägda medelvärdet av en uppsättning reella tal med reella vikter definieras som $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\summa _{ i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).

I händelse av att alla vikter är lika, är det vägda geometriska medelvärdet lika med det geometriska medelvärdet.

I geometri

Höjden på en rätvinklig triangel som faller till hypotenusan är den genomsnittliga proportionella mellan projektionerna av benen på hypotenusan, och varje ben är den genomsnittliga proportionella mellan hypotenusan och dess projektion på hypotenusan.

Detta ger ett geometriskt sätt att konstruera det geometriska medelvärdet av två (längder) segment: du måste bygga en cirkel på summan av dessa två segment som på en diameter, och sedan höjden återställd från punkten för deras anslutning till skärningspunkten med cirkeln ger önskat värde.

Avståndet till en sfärs horisont är det geometriska medelvärdet mellan avståndet till sfärens närmaste punkt och avståndet till sfärens längsta punkt.

Generaliseringar

Det geometriska medelvärdet kan betraktas som gränsen för medelexponenterna för . $A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[ {g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g }}{n}}}$ $g\till 0$
Det geometriska medelvärdet är Kolmogorovs medelvärde vid . $\phi (x)=\ln x$

Anteckningar

↑ "Medelproportionell". - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
↑ Rowe S. Geometriska övningar med ett papper . - 2:a uppl. - Odessa: Matesis, 1923. Arkiverad kopia av 13 augusti 2020 på Wayback Machine

Se även

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter