Förhållande

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Förhållande i matematik (kvot, proportion) är förhållandet mellan två homogena numeriska värden [1] . Vanligtvis uttryckt som " a till b " eller ibland aritmetiskt som resultatet (inte nödvändigtvis ett heltal ) av att dividera två numeriska värden [2] , som direkt representerar hur många gånger det första talet innehåller det andra [3] .

Enkelt uttryckt visar förhållandet att för varje mängd av en sak finns det hur mycket av något annat. Anta till exempel att någon har 8 apelsiner och 6 citroner i en fruktskål, förhållandet mellan apelsiner och citroner är 8:6 (eller motsvarande 4:3), och förhållandet mellan citroner och apelsiner är 3:4. Dessutom kommer antalet apelsiner i förhållande till det totala antalet frukter att vara 4:7 (motsvarande 8:14). Ett förhållande på 4:7 kan omvandlas till en bråkdel av 4/7, vilket visar hur stor andel av det totala antalet frukter som är apelsiner.

Beteckningar och termer

Förhållandet mellan talen A och B kan representeras som: [2]

dessutom skrivs kvoterna som regel som förhållanden mellan heltal, och i detta fall är kvoten mellan talen A och B också

Siffrorna A och B i det här sammanhanget kallas ibland termer (termer), där A  är antecedenten och B  är följden .

Proportionen som uttrycker likheten mellan förhållandena A  : B och C  : D skrivs som A  : B = C  : D eller A  : B ∷ C  : D . Läser:

A är till B som C är till D.

Och i det här fallet kallas A , B , C , D medlemmar av proportionen. A och D  är de extrema termerna för proportionen, och B och C  är mellantermerna .

Ibland kan tre eller fler termer skrivas i förhållanden. Till exempel kommer dimensionerna på ett föremål med en sektion på två till fyra och en längd på tio centimeter att vara 2: 4: 10. Likheten mellan tre eller flera förhållanden kallas en kontinuerlig proportion ( engelska  fortsatte proportion - en serie förhållanden ). [2]

Historia och etymologi

Det är omöjligt att spåra ursprunget till begreppet förhållande, eftersom idéerna från vilka det utvecklades måste ha varit kända för pre-litterära kulturer. Till exempel är tanken att en by är dubbelt så stor som en annan så grundläggande att även ett förhistoriskt samhälle skulle ha förstått det. [fyra]

För att beteckna förhållandet använde grekerna termen annan grek. λόγος , som latinerna återgav som ratio ("rimligt skäl"; som i ordet "rationell") eller som proportion . (Ett rationellt tal kan ses som ett resultat av förhållandet mellan två heltal.) En modernare tolkning av den antika betydelsen ligger närmare "beräkning" eller "beräkning". [3] Boethius ("Fundamentals of Arithmetic", "Fundamentals of Music", tidigt 600-tal) använde ordet proportio (tillsammans med ratio , comparatio och habitudo ) för att beteckna ratio och proportionalitas (översättning av andra grekiska. ἀναλογία ) för att beteckna proportion . ( relationsrelationer) [5] . Denna terminologi (på grund av den utbredda användningen av aritmetik och musik av Boethius) praktiserades också under medeltiden.

Euklid kombinerat i Elements resultat från tidigare källor. Pythagoranerna utvecklade teorin om förhållande och proportion som tillämpas på siffror [6] . Det pythagoreiska talbegreppet inkluderade endast rationella siffror , vilket väckte tvivel om teorins tillämplighet i geometri, där, som pytagoreerna också upptäckte, det finns inkommensurabla dimensioner som motsvarar irrationella tal . Upptäckten av teorin om relationer, som inte antog jämförbarhet, tillhör förmodligen Eudoxus av Cnidus . I bok VII av "början" ges en tidigare teori om förhållandena mellan jämförbara kvantiteter [7] .

Förekomsten av flera teorier ser ut som en onödig komplikation för den moderna uppfattningen, eftersom förhållandena till stor del bestäms av resultatet av division. Detta är dock en ganska ny upptäckt, vilket framgår av det faktum att moderna geometriläroböcker fortfarande använder olika terminologi för kvoter (kvot) och divisionsresultat (kvot, kvot). Det finns två skäl till detta. För det första fanns den tidigare nämnda oviljan att känna igen irrationella tal som sanna tal. För det andra, bristen på allmänt använda symboler (notationer) för att ersätta den redan etablerade terminologin för kvoter försenade det fulla accepterandet av bråk som ett alternativ till 1500-talet. [åtta]

Euklids definitioner

Bok V av Euklids element innehåller 18 definitioner som rör relationer [9] . Dessutom använder Euklids idéer som var i så stor användning att han inte definierar dem. De två första definitionerna säger att en del av en kvantitet är en annan storhet som "mäter" den, och vice versa, en multipel av en kvantitet är en annan storhet som mäts av den. I moderna termer betyder detta att en multipel av en kvantitet är den kvantiteten multiplicerad med ett heltal större än ett, och bråkdelen av kvantiteten (dvs. divisorn ) när den multipliceras med ett tal större än ett ger den kvantiteten.

Euklid definierar inte ordet "mått". Det kan dock antas att om en kvantitet tas som en måttenhet, och en annan kvantitet representeras som det totala antalet sådana måttenheter, så mäter den första kvantiteten den andra. Observera att dessa definitioner upprepas nästan ord för ord som definitionerna 3 och 5 i bok VII.

Definition 3 förklarar vad en relation är i generell mening. Det är inte matematiskt noggrant och vissa forskare tillskriver det till redaktörer snarare än Euklid själv. [10] Euklid definierar förhållandet mellan två kvantiteter av samma sort , såsom två segment eller två områden, men inte förhållandet mellan längd och area. Definition 4 gör detta ännu mer rigoröst. Den säger att ett förhållande mellan två kvantiteter existerar om det finns en multipel av var och en som är större än den andra. I moderna termer: en relation mellan storheterna p och q existerar om det finns heltal m och n så att mp > q och nq > p . Detta tillstånd är känt som Arkimedes axiom .

Definition 5 är den mest komplexa och svåra att förstå. Den förklarar vad jämlikhet betyder för två förhållanden. Idag kan man helt enkelt konstatera att kvoterna är lika om resultaten av delningstermer är lika, men Euklid erkände inte existensen av delningsresultat för inkommensurabla storheter, så för honom skulle en sådan definition vara meningslös. Därför krävdes en mer subtil definition för fallet med kvantiteter som inte direkt mäter varandra. Även om det kanske inte är möjligt att tilldela ett rationellt värde till ett förhållande, är det möjligt att jämföra förhållandet med ett rationellt tal. Givet två kvantiteter p och q och ett rationellt tal m / n kan vi säga att förhållandet mellan p och q är mindre än, lika med eller större än m / n när np är mindre än, lika med eller större än mq respektive. Den euklidiska definitionen av jämlikhet kan anges på följande sätt: två förhållanden är lika när de beter sig på samma sätt samtidigt som de är mindre än, lika med eller större än något rationellt tal. I modern notation ser det ut så här: givna kvantiteter p , q , r och s , p : q :: r : s gäller om för några positiva heltal m och n relationen np < mq , np = mq , np > mq i enligt nr < ms , nr = ms , nr > ms . Det finns en anmärkningsvärd likhet mellan denna definition och teorin om Dedekind-snittet som används i den moderna teorin om irrationella tal [11] .

Definition 6 anger att kvantiteter med samma förhållande är proportionella eller proportionella . Euklid använder det grekiska ordet ἀναλόγον (analogon), med samma rot som λόγος, från vilket ordet "analog" härstammar.

Definition 7 förklarar vad det betyder att ett förhållande är mindre än eller större än ett annat, och bygger på idéer från Definition 5. I modern notation: givna kvantiteter p , q , r och s , p : q > r : s om det finns positiva heltal m och n så att np > mq och nr ≤ ms .

Precis som med definition 3, ses definition 8 av vissa forskare som en sen inkludering av redaktörer. Det står att de tre termerna p , q och r är i proportion om p : q :: q : r . Detta expanderar till 4 termer p , q , r och s som p : q :: q : r :: r : s etc. Sekvenser som har egenskapen att förhållandena mellan på varandra följande termer är lika kallas geometriska progressioner . Definitionerna 9 och 10 tillämpar detta genom att säga att om p , q och r är i proportion så är p : r dubblettförhållandet av p : q , och om p , q , r och s är i proportion så är p : s triplikatförhållandet för p : q . Om p , q och r är i proportion, sägs q vara det proportionella medelvärdet (eller geometriskt medelvärde ) av p och r . På liknande sätt, om p , q , r och s är i proportion, så sägs q och r vara medelproportionella för p och s .

Procent

Om du multiplicerar alla kvantiteter i ett förhållande med samma tal kommer förhållandet inte att ändras. Till exempel är ett förhållande på 3:2 detsamma som 12:8. Vanligtvis reduceras andelens termer till den minsta gemensamma nämnaren eller uttrycks i bråkdelar av hundra ( procent ). Ibland, för att underlätta jämförelsen, presenteras kvoterna som n :1 eller 1: n .

Om blandningen innehåller ämnena A , B , C och D i förhållandet 5:9:4:2, så innehåller den 5 delar A för varje 9 delar B , 4 delar C och 2 delar D. Eftersom 5+9+4+2=20 innehåller den totala blandningen 5/20 A (5 delar av 20), 9/20 B , 4/20  C och 2/20 D. Om dessa siffror, dividerat med det totala beloppet, multipliceras med 100, får vi procenttalen: 25% A, 45% B, 20% C och 10% D (motsvarande att skriva förhållandet som 25:45:20:10 ).

Proportioner

Om, i en given situation, övervägs två eller flera kvantiteter som står i proportion - säg om det finns två äpplen och tre apelsiner i en korg, och bara dessa - så kan vi säga att "hela" innehåller fem delar, bestående av av två delar äpplen och tre bitar apelsiner. I det här fallet är , eller 40 % av det hela, äpplen och , eller 60 % av det hela, är apelsiner. Denna jämförelse av en given kvantitet med en "helhet" kallas ibland för en proportion. Proportioner uttrycks ibland som procentsatser enligt ovan.

Andra användningsområden

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Wentworth, sid. 55
  2. ↑ 1 2 3 New International Encyclopedia
  3. ↑ 1 2 Penny Cyclopedia, sid. 307
  4. ↑ Smith, sid. 477
  5. ↑ A. M. S. Boethius. Fundamentals of Music / Förberedelse av texten, översättning från latin och kommentarer av S. N. Lebedev. M.: Vetenskaps- och förlagscentrum "Moscow Conservatory", 2012, s. xxxiv-xxxv, 276.
  6. ↑ Heath, 1908 , sid. 112.
  7. ↑ Heath, 1908 , sid. 113.
  8. ↑ Smith, sid. 480
  9. ↑ Heath, 1908 , referens för avsnitt.
  10. ↑ "Geometry, Euclidean" Encyclopædia Britannica Elfte upplagan p682.
  11. ↑ Heath, 1908 , sid. 125.

Litteratur