Början (Euklid)

Början
annan grekisk Στοιχεῖα
Venetiansk upplaga, 1505
Författare	Euklid
Originalspråk	antika grekiska
Original publicerat	3:e århundradet f.Kr e.
Text i Wikisource
Text på en webbplats från tredje part ​(  engelska  ) Text på en webbplats från tredje part ​(  engelska) Text  på en webbplats från tredje part
Mediafiler på Wikimedia Commons

"Begynnelser" ( grekiska Στοιχεῖα , lat.  Elementa ) är Euklids huvudverk , skrivet omkring 300 f.Kr. e. och tillägnad den systematiska konstruktionen av geometri och talteori . Det anses vara toppen av antik matematik , resultatet av dess tre hundra år av utveckling och grunden för efterföljande forskning. Elementen, tillsammans med de två verken av Autolycus av Pitana  , är det äldsta av de antika matematiska verk som har kommit ner till nutiden; alla verk av Euklids föregångare är kända endast från referenser och citat från senare kommentatorer.

"Begynnelser" hade en enorm inverkan på matematikens utveckling fram till modern tid , den höga intellektuella nivån på arbetet och dess grundläggande betydelse för vetenskapen som helhet noteras av nyckelforskare i vår tid [2] . Boken har översatts till många språk i världen, när det gäller antalet nytryck av "Början" har de ingen motsvarighet bland sekulära böcker.

Historik

Proclus rapporterar (med hänvisning till Eudemus ) att liknande skrifter skrevs före Euklid: Elementen skrevs av Hippokrates från Chios , såväl som av platonisterna Leontes och Theeudius . Men dessa skrifter gick tydligen förlorade under antiken.

Texten till "Begynnelsen" har varit föremål för diskussion i århundraden, och många kommentarer har skrivits om dem. Från antika kommentarer har texten till Proclus [3] bevarats , som är den viktigaste källan om den grekiska matematikens historia och metodik. I den ger Proclus en kort sammanfattning av den grekiska matematikens historia (den så kallade "Eudemic katalogen av geometrar"), diskuterar förhållandet mellan Euklides metod och Aristoteles logik , och fantasins roll i bevis. Forntida kommentatorer inkluderar Theon av Alexandria , Pappus av Alexandria ; de främsta renässanskommentatorerna  är Pierre de la Ramais [4] , Federigo Commandino [5] , Christoph Schlussel (Clavius) [6] och Henry Saville .

Innehåll

Planimetri , solid geometri , aritmetik , talteori , Eudoxus relationer förklaras i Elementen . I Heibergs klassiska rekonstruktion består hela verket av 13 böcker. Dessa förenas traditionellt av två böcker om fem vanliga polyedrar som tillskrivs Hypsicles of Alexandria och Isidore of Miletus skola .

Presentationen i Elements är strikt deduktiv . Varje bok börjar med definitioner. I den första boken följs definitioner av axiom och postulat. Sedan följer meningar som är uppdelade i problem (där något måste byggas) och satser (där något behöver bevisas). Definitioner, axiom, postulat och propositioner är numrerade, till exempel är referensen " I, Definitions, 2 " den andra definitionen av den första boken. Det finns 130 definitioner, 5 postulat, 5 (i termer av upplagor - 9) axiom, 16 lemman och 465 satser (inklusive konstruktionsproblem) i 13 böcker av "Beginnings" [7] .

Första boken

Den första boken börjar med definitioner, av vilka de första sju ( I, Definitioner, 1-7 ) lyder:

1. En poäng är det som inte har några delar. ( Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν  - lit. "En punkt är det där en del är ingenting")
2. En linje är längd utan bredd.
3. Kanterna på linjen är prickar.
4. En rät linje är en som ligger lika på alla sina punkter. ( Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ ' ἑαυτῆοιτμεῆοι τ
5. En yta är den som bara har längd och bredd.
6. Ytans kanter är linjer.
7. En plan yta är en som ligger lika på alla sina linjer.

Renässanskommentatorer föredrog att säga att en punkt är en plats utan förlängning. Moderna författare, tvärtom, erkänner omöjligheten av att definiera de grundläggande begreppen, i synnerhet är detta tillvägagångssättet i Hilberts Foundations of Geometry [8] .

För definitioner citerar Euclid postulat ( I, Postulat, 1-5 ):

1. En linje kan dras från vilken punkt som helst till vilken punkt som helst.
2. En avgränsad linje kan förlängas kontinuerligt längs en rät linje.
3. En cirkel kan beskrivas från vilket centrum som helst med vilken radie som helst.
4. Alla räta vinklar är lika med varandra.
5. Om en linje som skär två linjer bildar inre ensidiga vinklar som är mindre än två linjer, kommer dessa två linjer att mötas på den sida där vinklarna är mindre än två linjer.

Det sista postulatet av Euklids axiomatik – det berömda femte postulatet – bland andra intuitivt uppenbara postulat, ser främmande ut. Dess krångliga formulering väcker en viss känsla av protest, en önskan att hitta ett bevis för det och utesluta det från listan över axiom. Sådana bevis försöktes redan i antiken av Ptolemaios och Proclus ; och i modern tid utvecklades icke-euklidisk geometri från dessa försök . De första 28 satserna i bok I hänvisar till absolut geometri , det vill säga de förlitar sig inte på V-postulatet.

Postulaten följs av axiomen ( I, Axioms, 1-9 ), som har karaktären av allmänna påståenden som gäller lika för både tal och kontinuerliga storheter:

1. Lika med en och samma är lika med varandra.
2. Och om lika läggs till lika, så blir helheten lika.
3. Och om lika subtraheras från lika, då blir resten lika.
4. (Och om lika läggs till ojämlika, kommer heltal inte att vara lika.)
5. (Och dubblar av samma är lika.)
6. (Och halvorna av densamma är lika.)
7. Och de som kombineras med varandra är lika med varandra.
8. Och helheten är större än delen.
9. (Och de två raderna innehåller inte mellanslag.)

Axiom tas inom parentes, vilkas tillhörighet till Euklid Geiberg, författaren till den klassiska rekonstruktionen av texten till "Begynnelsen", anses vara tveksam. Postulat 4-5 ( I, Postulat, 4-5 ) fungerar som axiom i ett antal listor ( I, Axiom, 10-11 ).

Axiomen följs av tre satser, som är konstruktionsproblem som länge varit kontroversiella. Så den andra av dem ( I, Propositions, 2 ) föreslås "från en given punkt att skjuta upp en rät linje lika med en given rät linje." Otrivialiteten i detta problem ligger i det faktum att Euklid inte överför segmentet till en rät linje med motsvarande lösning av kompassen, eftersom en sådan operation anses vara olaglig, och använder det tredje postulatet ( I, Postulates, 3 ) i oväntat snäv bemärkelse.

När man bevisar den fjärde satsen ( I, Proposals, 4 ), som uttrycker kriteriet för trianglars likhet, använder Euklids superpositionsmetoden, som inte beskrivs på något sätt i postulat och axiom. Alla kommentatorer noterade denna lucka, Hilbert fann inget bättre än att göra tecknet på trianglars likhet på tre sidor ( I, Propositioner, 8 ) till ett axiom III-5 i sitt system. Å andra sidan är det fjärde postulatet ( I, Postulates, 4 ) nu brukligt bevisat, eftersom Christian Wolff gjorde det för första gången [9] , Hilbert härleder detta uttalande från kongruensaxiomen [10] .

Sedan övervägs olika fall av trianglars likhet och olikhet; satser om parallella linjer och parallellogram; de så kallade "lokala" satserna om likheten mellan arean av trianglar och parallellogram på samma bas och under samma höjd. Bok I avslutas med Pythagoras sats .

Böcker II–XIII

Bok II  - satser av den så kallade "geometriska algebra".

III  bokförslag om cirklar , deras tangenter och ackord , centrala och inskrivna vinklar .

Bok IV  - förslag om inskrivna och omskrivna polygoner , om konstruktion av reguljära polygoner .

Bok V  är en allmän teori om relationer utvecklad av Eudoxus av Cnidus .

VI bok  - läran om likheten mellan geometriska figurer. Den här boken kompletterar Euklidisk planimetri .

Böckerna VII, VIII och IX ägnas åt teoretisk aritmetik. Euklid betraktar uteslutande naturliga tal som tal ; för honom "Antal är en samling enheter." Här anges teorin om delbarhet och proportioner , oändligheten av mängden primtal bevisas , Euklides algoritm ges för att hitta den största gemensamma delaren av två tal, även perfekta tal är byggda . Euklid bevisar också formeln för summan av en geometrisk progression .

Bok X  är en klassificering av inkommensurabla storheter. Detta är den mest omfattande av "Beginnings"-böckerna.

XI bok  - början av stereometri: satser om det ömsesidiga arrangemanget av linjer och plan; satser om rymdvinklar , volym av en parallellepiped och prisma , satser om likhet och likhet mellan parallellepipederna.

XII  boksatser om pyramider och bevisade med utmattningsmetoden . Här bevisas till exempel satsen att en kons volym är en tredjedel av volymen av en cylinder med samma bas och höjd.

XIII bok  - konstruktion av vanliga polyedrar ; bevis på att det finns exakt fem vanliga polyedrar.

Euklids hänvisar ingenstans i boken till andra grekiska matematiker, även om han utan tvekan förlitar sig på deras resultat. Vetenskapshistoriker [11] [12] har visat att prototypen för Euklids arbete var gamla matematikers tidigare skrifter:

• Böckerna I-IV och XI - "Början" av Hippokrates från Chios .
• Böckerna V-VI och XII är verk av Eudoxus av Cnidus .
• Böcker VII-IX - skrifter av Archytas från Tarentum och andra pythagoraner . Enligt van der Waerden är detta den äldsta delen av "början", som går tillbaka till 500-talet f.Kr. e.
• Böckerna X och XIII är verk av Theaetetus från Aten .

Frågan om "Elementen" innehåller några resultat av Euklid själv, eller om författaren bara sysslade med systematisering och förening av den ackumulerade kunskapen, är föremål för diskussion. Det finns ett antagande att algoritmen för att konstruera en vanlig 15-gon utvecklades av Euclid; förmodligen gjorde han också urvalet och den slutliga formuleringen av axiomen och postulaten [13] .

På det hela taget täcker innehållet i "Principerna" en betydande del av den antika teoretiska matematiken. Men en del av det material som var känt för antika grekiska matematiker förblev utanför detta arbete - till exempel koniska sektioner (Euklid tillägnade dem ett separat verk, som inte har överlevt), omkrets , teorin om ungefärliga beräkningar .

Böckers ömsesidiga beroenden

Kritik

För sin tid och fram till (ungefär) 1800-talet ansågs Elementen vara en modell för den logiska utläggningen av matematisk teori. Strukturen av verken av Descartes , Newton och även Spinoza var modellerad efter "principerna". Men redan i antiken noterades vissa brister i Euklids arbete kritiskt - till exempel motiverade Arkimedes behovet av att lägga till " Axiom of Archimedes " (som formulerades av Eudox , som levde före Euklid). Med tiden ökade antalet erkända brister gradvis. Moderna uppfattningar om berättigande, innehåll och metoder för både geometri och aritmetik skiljer sig väsentligt från forntida [14] .

Först och främst, nu förstås en rak linje som en linje med oändlig längd. Forntida vetenskapsmän undvek helt begreppet faktisk oändlighet , Euclid använder endast finita linjesegment överallt [15] . Tydligen, av denna anledning , är Euklids postulat om parallellism formulerat ganska krångligt - men det har en lokal karaktär, det vill säga det beskriver en händelse på en begränsad sektion av planet, medan till exempel Procluss axiom ("endast en linje parallell till den givna passerar man genom en punkt utanför en rät linje" ) hävdar faktumet av parallellism, vilket kräver övervägande av hela den oändliga linjen [16] . Ett annat arkaiskt särdrag hos elementen är begränsningen till endast två typer av kurvor - raka linjer och cirklar, som grekerna ansåg vara den enda perfekta [17] , samt ett alltför snävt talbegrepp, som inte inkluderade irrationella tal och därför tvingade forntida matematiker att i onödan införa en parallell med aritmetik, kalkylen för "geometriska storheter" ("geometrisk algebra", bok II i "Begynnelsen") [18] .

Många kommentatorer av Euclid noterade att definitionerna av geometriska begrepp som ges av dem är tomma och inte skapar något mer än en visuell bild - till exempel "en linje är längd utan bredd." Faktum är att sådana "definitioner" inte används någon annanstans i texten, inte en enda teorem är baserad på dem [14] . Som nämnts ovan visade sig Euklids IV-postulat om likheten mellan alla räta vinklar vara överflödig , det kan bevisas som ett teorem [19] [20] .

Vidare måste alla bevis för satser följa av explicit formulerade axiom. Faktum är att många av Euklids fakta förlitar sig på underförstådda eller visuella bevis. Först och främst handlar det om begreppet rörelse , som implicit används på många ställen - till exempel när trianglar överlagras för att bevisa tecken på deras likhet. Proclus noterade redan detta faktum som en betydande metodologisk lucka. Euklid gav inte rörelsens axiom, kanske för att inte förväxla hög geometri med "låg" mekanik. Moderna författare av axiomatik tillhandahåller en speciell grupp av " kongruensaxiom " [21] [22] .

Redan i beviset för det allra första påståendet (“en liksidig triangel kan byggas på vilket segment som helst”) antyder Euklid att två cirklar med radien R , vars centrum är på avstånd R , skär varandra i två punkter. Detta följer inte av några axiom [23] ; för logisk fullständighet bör man lägga till kontinuitetsakxiomet . Liknande utelämnanden sker för skärningen av en linje och en cirkel [24] , i användningen av det odefinierade begreppet "att vara mellan" (för punkter) och på ett antal andra platser. Euklids axiomatik tillåter till exempel inte att bevisa att det inte finns någon linje som går genom alla tre sidorna av en triangel.

Många kommentatorer av Euklid gjorde upprepade försök att rätta till de noterade bristerna - antalet axiom ökades, formuleringarna och bevisen förfinades [14] . Vissa kommentatorer (till exempel Theon av Alexandria och Christopher Clavius ) gjorde sina korrigeringar direkt i den euklidiska texten när de trycktes om. Den reviderade och avsevärt utökade versionen av axiomatiken som Pierre Erigon föreslog 1632 misslyckades [25] . Den första stora bedriften i denna riktning var monografin Lectures on New Geometry av den tyske matematikern Moritz Pasch (1882) [26] . Avslutningen var Hilberts moderna axiomatik för geometri (1899). Den, liksom dess olika varianter, är logiskt fullständig och ingenstans baserad på intuitiva bevis [27] .

En av de viktigaste upptäckterna på 1800-talet var upptäckten och studien av konsekventa icke-euklidiska geometrier ; den visade att den övervägande användningen i praktiken av euklidisk geometri inte betyder att denna geometri är den enda möjliga.

Manuskript och upplagor

Grekisk text för "Början"

Under utgrävningarna av antika städer hittades flera papyrus som innehöll små fragment av Euklids "början". Den mest kända hittades i "papyristaden" Oxyrhynchus 1896 - 1897 och innehåller formuleringen av ett av uttalandena i den andra boken med en teckning ( II, Proposals, 5 ) [28] .

Den grekiska texten av Euklids element är känd från bysantinska manuskript, varav de två mest kända förvaras i Bodleian Library [29] och Vatikanens apostoliska bibliotek (två bindiga Vatikanens manuskript) [30] .

Baserat på dem, och även med hänsyn till de arabiska översättningarna av "Begynnelsen" (daterad till 800-talet och senare), rekonstruerades originaltexten av den danske vetenskapshistorikern Geiberg i slutet av 1800-talet, hans metoder är beskrivs i detalj av Thomas Heath [31] . Geiberg använde i sin rekonstruktion av 8 grekiska manuskript daterade av moderna forskare från 900-1100-talen. Av dessa manuskript är sju i sina titlar märkta "från Theons upplaga " eller "från Theons föreläsningar" och kallas därför Theons. Vatikanens manuskript har inget sådant märke och anses vara oredigerat av Theon. Teoniska manuskript skiljer sig från varandra, och det finns få gemensamma drag som skiljer dem från Vatikanens manuskript (det mest betydelsefulla är slutet på bok IV). Det finns många kommentarer i marginalen till manuskripten, delvis hämtade från Proclus, som passar in i elementen i den grekiska kulturens sammanhang, till exempel rapporteras det att Pythagoras, efter att ha upptäckt sin teorem, offrade tjurar.

Historien om förvärvet av bysantinska manuskript är oklar. De kom troligen till Europa redan på 1500-talet, men publicerades inte. Den första upplagan av den grekiska texten, utförd av Johann Herwagen mellan 1533 och 1558, redigerad av Simon Gryner (alias Grynaeus, professor i grekiska vid universitetet i Basel ), använder manuskript som, enligt Heiberg, dåliga kopior av 1500-talet . Först 1808, under de Napoleonska expropriationerna, hittade Peyrard tre manuskript i Rom, och bland dem det viktigaste, Vatikanmanuskriptet i två volymer.

Latinsk text "Början"

I Europa var "början" av Euklid på latin välkänd både under medeltiden och under renässansen , men långt ifrån i sin vanliga form. Medeltida latinska avhandlingar innehållande fragment av Euklids element katalogiserades av München-forskaren Volkerts [32] , som delade in manuskripten i följande grupper:

1. Den så kallade " Boethius geometri " (i själva verket hör Boethius avhandling inte hemma). Avhandlingarna i denna grupp börjar med orden "Incipit Geometriae Boetii", har ett antal gemensamma drag, även om deras texter skiljer sig markant. Texten tar upp fem eller sex handskrivna ark. Det finns inga bevis på förslagen, men det finns illustrationer med tilläggskonstruktioner. Ibland är bara de tre första satserna försedda med bevis. Den första definitionen föregås av påståendet att grunden för geometri är mätning av längder, höjder och bredder, varefter de euklidiska definitionerna får en annan betydelse, till exempel är en linje ett objekt vars längd mäts, men bredden är inte, etc. Språket var inte influerat av arabiska, därför anses Boethius geometri vara en direkt översättning från grekiska till latin. Ett manuskript från Lüniburg har publicerats [33] .
2. Adelards "Geometri" är en stor klass av manuskript skrivna av olika författare vid olika tidpunkter. Den största undergruppen, kallad "Adelard II", innehåller alla 15 böckerna av Euklids "Begynnelser", dock är säkerheten för manuskripten sådan att man måste vara försiktig med detta. Ett karakteristiskt drag är förekomsten av bevis, och i de bästa manuskripten föregår bevisen expositionen (enunciatio); vissa bevis ges i detalj, andra är bara skisserade. Vissa av utläggningarna ( enunciatio ) i Adelard II återger bokstavligen Boethius, andra är annorlunda formulerade, ofta med arabiska motsvarigheter istället för latinska termer. Texten varierar avsevärt från handskrift till handskrift (i böckerna VII-IX och XI-XIII skiljer sig särskilt bevisen åt), så att det på medeltiden inte fanns någon kanonisk text för Adelard II, som ständigt kompletterades och förbättrades. Det är värt att understryka att bevisen skiljer sig åt i uttryckssättet, men inte i den matematiska essensen. Under hela 1100-talet pågick arbete för att förbättra bevisen.
3. "Geometrin" i Campanus  är ett komplex av manuskript från 1200-1400-talen. I denna version är "Elementen" mycket lika de bysantinska manuskripten och kan mycket väl betraktas som en ganska korrekt översättning, som dock innehåller arabiska termer (till exempel kallas parallellepipeden "belmaui"). Denna upplaga består av 15 böcker, meningarnas ordalydelse ligger nära Adelard II, men beviset följer framställningen. I titeln på manuskripten identifieras vanligtvis Euclid, författaren till elementen, och filosofen Euclid av Megara , en student till Sokrates .

Tryckta upplagor av Euclid's Elements är katalogiserade av Thomas-Stanford [34] . Den första tryckta upplagan av Principia [35] gjordes av Erhard Ratdolt i Venedig 1482 och återgav Principia i Campanos behandling. Nästa upplaga kopierade inte den första, utfördes av Bartolomeo Zamberti [ de 1505 . Från förordet är det känt att Zamberti översatte det grekiska manuskriptet, som förmedlar "början" i bearbetningen av Theon, dock kunde Heiberg inte identifiera honom.

På 1500-talet trodde man att Euklid endast tillhörde formuleringen av satser, medan bevisen uppfanns senare; upplagor av Principia utan bevis och upplagor som jämförde bevisen från Campana och Zamberti [36] cirkulerade . Denna uppfattning hade en helt solid grund: i början av 1500-talet publicerades Boethius geometri [37] , som också var en översättning av Euklids element, men denna utgåva innehöll inga bevis. Man trodde också att användningen av bokstavlig notation i bevis antydde förtrogenhet med bokstavlig algebra. Denna uppfattning förkastades på 1600-talet.

Ryska översättningar

Den första upplagan av "Begynnelser" på ryska utkom 1739; boken publicerades i St Petersburg under titeln "Euklidiska element från tolv neftoniska böcker utvalda och till åtta böcker genom professorn i matematik Andrei Farkhvarson, förkortat, översatt från latin till ryska av kirurgen Ivan Satarov" [38] . Översättningen utfördes av Ivan Satarov under ledning av den skotske matematikern Henry Farvarson , som vid den tiden tjänstgjorde i den ryska marinkåren [39] . Namnet på Newton ("Nefton") i titeln nämns antingen genom missförstånd, eller i reklamsyfte, han har ingenting att göra med bokens innehåll. Översättningen gjordes från en förkortad och moderniserad fransk utgåva av "Beginnings" av Andre Taque , där översättarna lade till ett antal numeriska exempel och kritiska kommentarer [38] [40] .

Lite senare kom ytterligare 2 översättningar ut, också reducerade till 8 böcker:

• (1769) Översättning av N. G. Kurganov , lärare för sjökadettkåren: "Euklidiska element i geometri, det vill säga de första grunderna för vetenskapen om att mäta förlängning";
• (1784) Översättning av Prokhor Suvorov och Vasily Nikitin "Euklidiska element åtta böcker, nämligen: den första, andra, tredje, fjärde, femte, sjätte, elfte och tolfte; Till dessa fogas böcker tretton och fjorton. Översatt från grekiska och rättad. I S:t Petersburg, i tryckeriet för Naval gentry Cadet Corps ”(omtryckt 1789).

Nästan helt (förutom bok X) "Begynnelser" på ryska publicerades i översättningen av Foma Petrushevsky [41] : böckerna 1-6 och 11-13 1819, böckerna 7-9 1835 [42] . År 1880 publicerades en översättning av Vashchenko-Zakharchenko [43] . En annan förkortad översättning publicerades i Kremenchug (1877) under titeln "Eight Books of Euclid's Geometry"; översättning under ledning av A. A. Sokovich (1840-1886), direktören för den lokala realskolan, utfördes av två elever från denna skola [44] .

Den sista fullständiga akademiska upplagan publicerades 1949-1951, översatt från grekiska och kommentarer av Dmitrij Mordukhai-Boltovsky .

Världsdistribution

Under 900-1000-talen översatte forskare från Visdomens hus i Bagdad "början" till arabiska; denna bok blev känd i islams länder, trycktes upprepade gånger med kommentarer av stora matematiker, inklusive Yehuda Alkharisi och ibn Malik .

På 1000-talet översatte Grigor Magistros "början" från grekiska till armeniska [45] .

Under 1000-1100-talen dök de första latinska översättningarna av Euklids upp i Europa. Den första tryckta upplagan av Principia publicerades kort efter uppfinningen av tryckning , 1482.

På kinesiska publicerades de första 6 böckerna i "Beginings" av Matteo Ricci under hans uppdrag i Kina (1583-1610). En fullständig översättning av den brittiske missionären Wiley kom ut med ett lovordande förord ​​av Zeng Guofan , skrivet 1865.

Se även

• Axiom
• Euklids algoritm
• Euklidisk geometri
• Femte postulatet
• Elementär geometri (Kiselyov)

Publikationer av texten "Började"

• Euklids början . Översättning från grekiska och kommentarer av D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionellt deltagande av I. N. Veselovsky och M. Ya. Vygodsky . M.-L.: GTTI, 1949-1951.

• böcker I-VI på www.math.ru eller på mccme.ru ;
• böcker VII-X på www.math.ru eller på mccme.ru ;
• Böcker XI—XIV på www.math.ru eller på mccme.ru .

• Papyrus av Oxyrhynchus ;
• Bysantinskt manuskript D'Orville 301, Bodleian Library, Oxford på www.rarebookroom.org och www.claymath.org (med engelsk översättning);
• Geometria Boetii  (lat.) av M. Folkerts. Einneuer Text des Euclides Latinus. Faksimiledruck der Handschrift Lüneburg D 4o 48, f.13-17v Hildesheim: Dr. H.A. Gerstenberg, 1970;
• första tryckta upplagan av Euklids element. E. Ratdolt, 1482  (lat.) ;
• 1558 års upplaga  (lat.) , som jämför upplagorna av Ratdold och Zamberti;
• Elementi Euklid. Traduzione di Niccolò Tartaglia  (italienska) , 1543;
• Euklid. Element . Upplagor och översättningar: grekiska (red. JL Heiberg) , engelska (red. Th. L. Heath) ;
• Euklid började åtta böcker översatta av F. Petrushevsky . Böckerna 1-6, 11-12. (1819);
• Thomas L. Heath. De tretton böckerna av Euklids element, översatta från Heibergs text, med inledning och kommentarer.
• Euklids element i medeltiden, av M. Folkerts . Katalog över medeltida latinska manuskript.
• Tidiga upplagor av Euclid's Elements , av Charles Thomas-Stanford. Katalog över tidiga upplagor av Euclid.
• Oliver Byrne . De första sex böckerna i The Beginnings of Euclid, som använder färgscheman och tecken istället för bokstäver för större bekvämlighet för studenter / översatt från engelska av Sergey Slyusarev. - 2018. - 278 sid.

Anteckningar

1. ↑ Russell, Bertrand. History of Western Philosophy: Collectors Edition . - Routledge, 2013. - P. 177. - ISBN 978-1-135-69284-1 . Arkiverad 6 maj 2021 på Wayback Machine
2. ↑ "Detta mest fantastiska tankearbete gav det mänskliga sinnet det självförtroende som var nödvändigt för dess efterföljande aktivitet. Han är inte född för teoretisk forskning som i sin ungdom inte beundrade denna skapelse. Einstein A. Fysik och verklighet. M.: 1965, sid. 62.
3. ↑ Proclus Diadochus. Com. till Euklid I. Inledning. Översättning av Yu. A. Shichalin Arkiverad den 6 januari 2007.
4. ↑ "R. Rami Scholarum mathematicarum libri unus et triginta" ( Frankfurt , 1559 ; Basel , 1569)
5. ↑ Euclidis Elementorum libri XV una cum scholiis antiquis ( 1572 )
6. ↑ Euclidis elementorum libri XVI cum scholiis ( 1574 )
7. ↑ 1 2 Carrera, 2015 , sid. 47-49.
8. ↑ Hilbert D. Geometrins grunder. M.-L.: OGIZ, 1948. Uppsatsen börjar med orden: "Vi tänker på tre olika system av ting: vi kallar sakerna i det första systemet för punkter och betecknar A , B , C  ..."
9. ↑ Kap. wolfius . Compedium elementaris Matheseos. Venetiis, 1713; se även D. D. Mordukhai-Boltovskys kommentarer om "Beginnings" of Euclid, Vol. 1-6 (M.-L., 1950, s. 242)
10. ↑ D. Gilbert . Geometrins grunder, sats 21.
11. ↑ Van der Waerden. Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. Arkiverad 27 mars 2009 på Wayback Machine Översatt från holländska av I. N. Veselovsky. Moskva: Fizmatgiz, 1959, 456 s.
12. ↑ Sabo L. Om matematikens omvandling till en deduktiv vetenskap och början på dess motivering // Historisk och matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1959. - Nr 12 . - S. 321-392 .
13. ↑ Rozhansky I.D. Antik vetenskap. - M . : Nauka, 1980. - S. 132-134. — 198 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia).
14. ↑ 1 2 3 Rashevsky, 1948 , sid. 13-15.
15. ↑ Carrera, 2015 , sid. 65, 80.
16. ↑ Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet . - M . : Mir, 1984. - S.  169 .
17. ↑ Kommentarer, 1948 , sid. 233-234.
18. ↑ Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
19. ↑ Kommentarer, 1948 , sid. 242.
20. ↑ Vygodsky, 1948 , sid. 226-248.
21. ↑ Vygodsky, 1948 , sid. 257-264.
22. ↑ Kommentarer, 1948 , sid. 251-252.
23. ↑ Vygodsky, 1948 , sid. 256.
24. ↑ Carrera, 2015 , sid. 68.
25. ↑ Kommentarer, 1948 , sid. 249.
26. ↑ Rashevsky, 1948 , sid. tjugo.
27. ↑ Rashevsky, 1948 , sid. 23.
28. ↑ Papyrus från Oxyrhynchus . Hämtad 23 maj 2013. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd)
29. ↑ MS D'Orville 301 Arkiverad 20 februari 2016 på Wayback Machine , Bodleian Library, Oxford
30. ↑ MS Vaticano, numerato 190, 4to
31. ↑ Thomas L. Heath The Thirteen Books of Euclid's Elements, översatt från Heibergs text, med inledning och kommentarer . Vol. 1 . Hämtad 29 april 2011. Arkiverad från originalet 1 maj 2008. (obestämd)
32. ↑ Euklids element under medeltiden, av M. Folkerts . Hämtad 24 juli 2007. Arkiverad från originalet 2 april 2021. (obestämd)
33. ↑ Ein neuer Text des Euclides Latinus . Hämtad 18 mars 2014. Arkiverad från originalet 19 mars 2014. (obestämd)
34. ↑ Tidiga upplagor av Euclid's Elements , av Charles Thomas-Stanford
35. ↑ "Beginnings", första tryckta upplagan, 1482 . Hämtad 24 juli 2007. Arkiverad från originalet 30 september 2013. (obestämd)
36. ↑ Den första sådan upplagan var den av Lefebvre 1516. "Början" publicerad 1558 är tillgänglig online Arkivexemplar daterad 15 maj 2013 på Wayback Machine .
37. ↑ Denna utgåva beskrivs i andra volymen " Geschichte der Mathematik  (otillgänglig länk) " av A. Kestner
38. ↑ 1 2 Rybnikov K. Ryska upplagor av Euklids "Beginnings". Uspekhi matematicheskikh nauk, 1941, nr 9, s. 318-321.
39. ↑ Farvarson // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
40. ↑ Yushkevich A.P. På den första ryska upplagan av verken av Euclid och Archimedes // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science and Technology. - M . : Sovjetunionens vetenskapsakademi, 1948. - Utgåva. 2 . - S. 567-572 .
41. ↑ Petrushevsky, Foma Ivanovich // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
42. ↑ Vygodsky, 1948 , sid. 218.
43. ↑ "Principles of Euclid" i Wikisource , översatt av M. E. Vashchenko-Zakharchenko
44. ↑ Depman I. Ya. Glömt upplaga av Euclids "Beginnings" på ryska // Historisk och matematisk forskning . - M. - L .: GITTL, 1950. - Nr 3 . - S. 474-485 .
45. ↑ A.P. Jusjkevitj . Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet. - M . : Nauka, 1970. - T. 1. - S. 251.

Litteratur

• Bashmakova I. G. Aritmetiska böcker av Euklids "Beginings" // Historisk och matematisk forskning . - M. - L. : GITTL, 1948. - Nummer. 1 . - S. 296-328 .
• Bashmakova I. G. Föreläsningar om matematikens historia i antikens Grekland // Historisk och matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr 11 . - S. 351-363 .
• Vygodsky M. Ya. "Beginings" of Euclid // Historisk och matematisk forskning . - M. - L. : GITTL, 1948. - Nummer. 1 . - S. 217-295 .
• Matematikens historia / Redigerad av A. P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
• Mordukhai-Boltovskoy D. D. Kommentarer // Beginnings of Euclid. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. I. - (Klassiker inom naturvetenskap).
• Rashevsky P.K. Hilberts "Foundations of Geometry" och deras plats i den historiska utvecklingen av frågan // Hilbert D. Foundations of Geometry. - L . : GITTL, 1948. - S. 7-54 .
• Rybnikov K. A. Ryska utgåvor av Euklids "Beginings". Uspekhi matematicheskikh nauk, 1941, nr 9, s. 318-321.
• Josep Play och Carrera. Tredimensionell värld. Euklid. Geometri // Vetenskap. De största teorierna. - M . : De Agostini, 2015. - Utgåva. 14 . — ISSN 2409-0069 .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Larussa Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger BNE : XX2160040 , XX5832522 BNF : 12008440q GND : 4266253-9 J9U : 987007587898705171 LCCN : n82211109 NLA : 35785030 SUDOC : 027773426 , 028201221 VcBA : 492/6792 VIAF : 308285754 , 276194618 , 176708206 , 186956609 WorldCat VIAF : 308285754 , 276194618 , 176708206 , 186956609