Beräkningsmatematik

Beräkningsmatematik är en gren av matematiken som inkluderar en rad frågor relaterade till produktionen av olika beräkningar. I en snävare mening är beräkningsmatematik teorin om numeriska metoder för att lösa typiska matematiska problem. Modern beräkningsmatematik inkluderar i sitt problemområde studiet av funktionerna i datoranvändning .

Beräkningsmatematik har ett brett utbud av tillämpningar för vetenskapliga och tekniska beräkningar. På grundval av detta, under det senaste decenniet, har sådana nya områden inom naturvetenskap som beräkningsfysik , beräkningskemi , beräkningsbiologi och så vidare bildats.

Historik

Beräkningsmatematik har funnits länge. Även i det antika Mesopotamien utvecklades metoder för att få en kvadratrot . Under den vetenskapliga revolutionens era utvecklades beräkningsmatematiken i snabb takt från praktiska tillämpningar parallellt med kalkyl . Dessutom användes sådana beräkningar i stor utsträckning inom himlamekaniken för att förutsäga banan för himlakropparnas rörelse. Detta ledde till uppkomsten av så viktiga komponenter i fysiken som teorin om det heliocentriska systemet för världsstrukturen , Keplers lagar och Newtons lagar . 1600- och 1700-talen blev tiden för utvecklingen av ett betydande antal numeriska metoder och algoritmer.

Användningen av ett stort antal tekniska beräkningar under 1800- och 1900-talen krävde skapandet av lämpliga instrument. En av dessa enheter var skjutregel , tabeller med funktionsvärden dök också upp med en noggrannhet på upp till 16 decimaler, vilket hjälpte till att utföra beräkningar. Det fanns också mekaniska anordningar för att utföra matematiska operationer, kallade aritmometrar . Under första hälften av 1900-talet började analoga datorer användas aktivt för att lösa differentialekvationer .

Uppfinningen av datorn i mitten av 1900-talet innebar skapandet av ett universellt verktyg för matematiska beräkningar. Tillsammans med stordatorer stod endast räknare till ingenjörers och forskares förfogande för att utföra manuella operationer , som aktivt användes fram till starten av massproduktion av persondatorer.

Huvudriktningar

Inom beräkningsmatematiken urskiljs följande områden: analys av matematiska modeller , utveckling av metoder och algoritmer för att lösa matematiska standardproblem, automatisering av programmering [2] .

Analysen av de utvalda matematiska modellerna för uppgiften i fråga börjar med analys och bearbetning av ingångsinformation, vilket är mycket viktigt för mer exakta indata. För sådan bearbetning används ofta metoder för matematisk statistik . Nästa steg är den numeriska lösningen av matematiska problem och analys av resultaten av beräkningar. Graden av tillförlitlighet hos resultaten av analysen bör motsvara noggrannheten hos indata. Uppkomsten av mer exakta indata kan kräva att den konstruerade modellen förbättras eller till och med ersätts [2] .

Metoder och algoritmer för att lösa typiska matematiska problem med hjälp av datorteknik kallas numeriska metoder. Typiska uppgifter inkluderar [2] :

Algebra : lösa system av linjära ekvationer , matrisinversion , hitta egenvärden och matrisvektorer (begränsat och komplett egenvärdeproblem), hitta singulära värden och matrisvektorer, lösa icke-linjära algebraiska ekvationer, lösa system av icke-linjära algebraiska ekvationer ;
Differentialekvationer : differentiering och integration av funktioner för en eller flera variabler, lösa vanliga differentialekvationer , lösa partiella differentialekvationer , lösa system av differentialekvationer, lösa integralekvationer;
Optimering: studie av minimi- och maximivärdena för funktionaliteter på set;
Operationsforskning och spelteori : minimaxproblem (särskilt för flerstegsspel);
matematisk programmering : approximationsproblem , interpolationsproblem , extrapolationsproblem .

Studien och jämförande analys av metoder för att lösa typiska problem genomförs. En viktig del av analysen är sökandet efter ekonomiska modeller som låter dig få resultatet med minsta antal operationer, optimering av lösningsmetoder. För storskaliga problem är det särskilt viktigt att studera stabiliteten hos metoder och algoritmer, inklusive avrundningsfel. Exempel på instabila problem är omvända problem (särskilt sökandet efter en invers matris), samt automatisering av bearbetning av resultat från experiment [2] .

Det ständigt ökande utbudet av typiska uppgifter och ökningen av antalet användare har avgjort ökningen av kraven på automatisering. I förhållanden där kunskap om specifika numeriska metoder inte är väsentligt för användaren ökar kraven på standardlösningsprogram. Med deras användning krävs inte programmering av lösningsmetoder, men det räcker med att ställa in den initiala informationen [2] .

Funktioner i representationen av tal i en dator

Den största skillnaden mellan beräkningsmatematik är att när man löser beräkningsproblem, arbetar en person med maskintal, som är en diskret projektion av reella tal på en specifik datorarkitektur. Så, till exempel, om vi tar ett maskinnummer med en längd på 8 byte (64 bitar), kan bara 2 64 olika nummer lagras i det, därför spelas en viktig roll i beräkningsmatematik av uppskattningar av noggrannheten av algoritmer och deras motstånd mot representationer av maskinnummer i en dator. Det är därför, till exempel, för att lösa ett linjärt system av algebraiska ekvationer, används beräkningen av den inversa matrisen mycket sällan , eftersom denna metod kan leda till en felaktig lösning i fallet med en singular matris , och en mycket vanlig metod i linjär algebra baserad på beräkning av determinanten för en matris och dess komplement, kräver många fler aritmetiska operationer än någon stabil metod för att lösa ett linjärt ekvationssystem.

Programvara

Algoritmer för att lösa många standardproblem inom beräkningsmatematik är implementerade i olika programmeringsspråk. De mest använda språken för dessa ändamål är Julia , Fortran och C , bibliotek för vilka finns i Netlib- förvaret . . Dessutom är kommersiella bibliotek IMSL och NAG mycket populära., såväl som det kostnadsfria GNU Scientific Library .

MATLAB , Mathematica , Maple , S-PLUS mjukvarupaket, LabVIEW och IDL, såväl som deras gratisalternativ FreeMat , Scilab , GNU Octave (liknande Matlab), IT++( C++ library ), R (liknar S-PLUS) har olika numeriska metoder, samt verktyg för att visualisera och visa resultat.

Många datoralgebrasystem , som Mathematica , har förmågan att specificera den aritmetiska precisionen som krävs, vilket möjliggör högre precisionsresultat. De flesta kalkylblad kan också användas för att lösa enkla beräkningsmatematiska problem.

Beräkningsmetoder

Beräkningsmetoder (numeriska) är metoder för att lösa matematiska problem i numerisk form [3]

Representation av både initialdata i problemet och dess lösning - i form av ett tal eller en uppsättning siffror . I systemet för utbildning av ingenjörer av tekniska specialiteter är en viktig komponent.

Grunderna för beräkningsmetoder är:

lösning av linjära ekvationssystem ;
interpolation och ungefärlig beräkning av funktioner ;
numerisk integration ;
numerisk lösning av ett system av icke-linjära ekvationer ;
numerisk lösning av vanliga differentialekvationer ;
numerisk lösning av partiella differentialekvationer (ekvationer av matematisk fysik );
lösa optimeringsproblem .

System av linjära algebraiska ekvationer

Ett system av m linjära algebraiska ekvationer med n okända (eller, linjärt system , används också förkortningen SLAU) i linjär algebra är ett ekvationssystem av formen

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(ett)

Här är antalet ekvationer och är antalet okända. x 1 , x 2 , …, x n är okända som måste bestämmas. a 11 , a 12 , …, a mn — koefficienter för systemet — och b 1 , b 2 , … b m — fria medlemmar — antas vara kända [4] . Index för systemets koefficienter ( a ij ) anger talen för ekvationen ( i ) respektive den okända ( j ) som denna koefficient står vid [5] . $m$ $n$

System (1) kallas homogent om alla dess fria medlemmar är lika med noll ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), annars - inhomogena .

System (1) kallas kvadratiskt om antalet m ekvationer är lika med antalet n okända.

Lösningen av system (1) är en uppsättning av n tal c 1 , c 2 , …, c n , så att substitution av varje c i istället för x i till system (1) gör alla dess ekvationer till identiteter .

System (1) kallas kompatibelt om det har minst en lösning och inkonsekvent om det inte har någon lösning.

Ett gemensamt system av formen (1) kan ha en eller flera lösningar.

Lösningar c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) och c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) av ett gemensamt system av formen (1) kallas distinkta om de bryter mot minst en av likheterna:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Ett gemensamt system av formen (1) kallas definitivt om det har en unik lösning; om den har minst två olika lösningar, kallas den obestämd . Om det finns fler ekvationer än okända kallas det överbestämt .

Det finns direkta och iterativa metoder för att lösa linjära algebraiska ekvationer. Direkta (eller exakta) metoder låter dig hitta en lösning i ett visst antal steg. Iterativa metoder är baserade på användningen av en iterativ process och gör det möjligt att erhålla en lösning som ett resultat av successiva approximationer.

Direkta metoder

Gauss metod
Gauss-Jordan-metoden
Cramer metod
Matrismetod
Svepmetod (för tridiagonala matriser )
Cholesky sönderdelning eller kvadratrotmetod (för positiv-definitiv symmetriska och hermitiska matriser)
Rotationsmetod [6]

Iterativa metoder

Jacobi metod
Gauss-Seidel-metoden
Avslappningsmetod
Multigrid-metod
Montante metoden
Abramovs metod (lämplig för att lösa små SLAE)
Metod för generaliserade miniminivåer
Bikonjugerad gradientmetod
Stabiliserad bikonjugatgradientmetod
Kvadratkonjugat
Metod för kvasiminimumrester ( QMR )

Interpolation

Interpolation , interpolation - i beräkningsmatematik, ett sätt att hitta mellanliggande värden för en kvantitet från en befintlig diskret uppsättning kända värden.

Många av dem som sysslar med vetenskapliga och tekniska beräkningar måste ofta arbeta på uppsättningar av värden som erhållits genom erfarenhet eller slumpmässigt urval . Som regel, på grundval av dessa uppsättningar, är det nödvändigt att konstruera en funktion , på vilken andra erhållna värden kan falla med hög noggrannhet. En sådan uppgift kallas approximation . Interpolation är en typ av approximation där kurvan för den konstruerade funktionen passerar exakt genom de tillgängliga datapunkterna.

Det finns också ett problem nära interpolation, som består i att approximera någon komplex funktion med en annan, enklare funktion. Om en viss funktion är för komplex för produktiva beräkningar kan du försöka beräkna dess värde vid flera punkter, och bygga, det vill säga interpolera, en enklare funktion från dem. Att använda en förenklad funktion tillåter dig naturligtvis inte att få samma exakta resultat som den ursprungliga funktionen skulle ge. Men i vissa klasser av problem kan vinsten i enkelhet och hastighet av beräkningar uppväga det resulterande felet i resultaten.

Vi bör också nämna en helt annan typ av matematisk interpolation, känd som "operatorinterpolation". Klassiska verk om operatorinterpolation inkluderar Riesz-Thorin- satsen och Marcinkiewicz-satsen , som är grunden för många andra verk.

Interpolationsmetoder

Interpolation med närmaste grannemetod .
Linjär interpolation
Newtons interpolationsformel
Ändlig skillnadsmetod
IMN-1 och IMN-2
Lagrangepolynom (interpolationspolynom)
Aitkens plan
spline funktion
kubisk spline
Lagrangepolynom
Invers interpolation med Newtons formel
Invers Gauss-interpolation
Bilinjär interpolation
Bikubisk interpolation
Rationell interpolation
Trigonometrisk interpolation
Approximation - metoder för att konstruera ungefärliga kurvor
Extrapolation - metoder för att hitta punkter utanför ett givet intervall (kurvförlängning)

Approximation

Approximation , eller approximation - en vetenskaplig metod , som består i att ersätta vissa objekt med andra, i en eller annan mening nära originalet, men enklare.

Approximation låter dig utforska de numeriska egenskaperna och kvalitativa egenskaperna hos ett objekt, vilket minskar problemet till studiet av enklare eller mer bekväma objekt (till exempel de vars egenskaper är lätta att beräkna eller vars egenskaper redan är kända). Inom talteorin studeras diofantiska approximationer , i synnerhet approximationerna av irrationella tal med rationella . Inom geometrin beaktas approximationer av kurvor med streckade linjer . Vissa grenar av matematik är i huvudsak helt ägnade åt approximation, till exempel teorin om approximation av funktioner , numeriska analysmetoder .

Extrapolering

Extrapolation , extrapolation (från lat. extrā - utanför, utanför, bortom, utom och lat. poler - jämna ut, räta ut, ändra, ändra [7] ) - en speciell typ av approximation , där funktionen approximeras utanför ett givet intervall, och inte mellan givna värden .

Med andra ord är extrapolering en ungefärlig bestämning av värdena för en funktion vid punkter som ligger utanför segmentet , genom dess värden vid punkter . $f(x)$ $x$ $[x_{0},x_{n}]$ $x_{0}<x_{1}<...<x_{n}$

Extrapolationsmetoder liknar i många fall interpolationsmetoder. Den vanligaste extrapolationsmetoden är polynomextrapolering , där värdet vid punkten tas som värdet på gradpolynomet , som tar de givna värdena vid punkten . För polynomextrapolering används interpolationsformler. $f(x)$ $x$ $P_n(x)$ $n$ $n+1$ $x_{n}$ $y_{i}=f(x_{i})$

Numerisk integration

Numerisk integration - beräkning av värdet av en bestämd integral (vanligtvis ungefärlig). Numerisk integration förstås som en uppsättning numeriska metoder för att hitta värdet av en viss integral.

Numerisk integration tillämpas när:

Integranden i sig definieras inte analytiskt. Till exempel presenteras den som en tabell (matris) av värden vid noderna i något beräkningsnät.
Den analytiska representationen av integranden är känd, men dess antiderivata uttrycks inte i termer av analytiska funktioner. Till exempel . $f(x)=\exp(-x^{2})$

I dessa två fall är det omöjligt att beräkna integralen med hjälp av Newton-Leibniz formel . Det är också möjligt att formen av antiderivatan är så komplex att det går snabbare att beräkna värdet på integralen numeriskt.

Endimensionell låda

Huvudidén med de flesta metoder för numerisk integration är att ersätta integranden med en enklare, vars integral lätt kan beräknas analytiskt. I det här fallet, för att uppskatta värdet av integralen, formler av formen

I\approx \summa _{{i=1}}^{{n}}w_{i}\,f(x_{i}),

där är antalet poäng vid vilka integrandens värde beräknas. Punkterna kallas för metodens noder, siffrorna är nodernas vikter. När integranden ersätts av ett polynom av noll, första och andra graden, erhålls metoderna för rektanglar , trapetser och paraboler (Simpson) respektive. Ofta kallas formler för att uppskatta integralens värde kvadraturformler. $n$ $x_{i}$ $w_{i}$

Ett specialfall är metoden för att konstruera integrala kvadraturformler för enhetliga rutnät, kända som Cotes-formlerna . Metoden är uppkallad efter Roger Coates . Huvudidén med metoden är att ersätta integranden med någon form av interpolationspolynom . Efter att ha tagit integralen kan vi skriva

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\summa _{{i=0}}^{{n}}H_{i}\,f(x_{i})+ r_{n}(f),

där talen kallas Cotes-koefficienter och beräknas som integraler av motsvarande polynom i det ursprungliga interpolationspolynomet för integranden vid värdet av funktionen vid noden ( är rutsteget; är antalet rutnätsnoder och nodindexet är ). Termen är metodens fel, som kan hittas på olika sätt. För udda kan felet hittas genom att integrera felet för integrandens interpolationspolynom. $Hej$ $x_{i}=a+ih$ $h=(ba)/n$ $n$ $i=0\ldots n$ $r_{n}(f)$ $n\geqslant 1$

Specialfall av Cotes-formler är: rektangelformler (n=0), trapetsformler (n=1), Simpson-formel (n=2), Newtonformel (n=3), etc.

Partiell differentialekvation

En partiell differentialekvation (speciella fall är också kända som ekvationer av matematisk fysik , UMF ) är en differentialekvation som innehåller okända funktioner av flera variabler och deras partiella derivator .

Historiker upptäckte den första partiella differentialekvationen i Eulers artiklar om teorin om ytor som går tillbaka till 1734-1735 (publicerad 1740). I modern notation såg det ut så här:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

Med början 1743 anslöt sig d'Alembert till Eulers arbete och upptäckte en allmän lösning på vågekvationen för vibrationerna i en sträng. Under de följande åren publicerade Euler och d'Alembert ett antal metoder och tekniker för att undersöka och lösa vissa partiella differentialekvationer. Dessa verk har ännu inte skapat någon fullständig teori.

Det andra steget i utvecklingen av detta tema kan dateras till 1770-1830. De djupgående studierna av Lagrange , Cauchy och Jacobi hör till denna period . De första systematiska studierna av partiella differentialekvationer började utföras av Fourier . Han tillämpade en ny metod för lösningen av strängekvationen - metoden för separation av variabler , som senare fick hans namn.

Ett nytt allmänt förhållningssätt till ämnet, baserat på teorin om kontinuerliga omvandlingsgrupper , föreslogs på 1870-talet av Sophus Lie .

Det finns två typer av metoder för att lösa denna typ av ekvationer:

analytisk, där resultatet härleds genom olika matematiska transformationer;
numerisk, där det erhållna resultatet motsvarar det verkliga med en given noggrannhet, men som kräver en hel del rutinmässiga beräkningar och därför endast kan utföras med hjälp av datorteknik (dator).

Matematisk statistik

Matematisk statistik är en gren av matematiken som utvecklar metoder för att registrera, beskriva och analysera observations- och experimentdata för att kunna bygga probabilistiska modeller av slumpmässiga massfenomen [8] . Beroende på den matematiska karaktären hos de specifika resultaten av observationer delas matematisk statistik in i statistik över siffror, multivariat statistisk analys, analys av funktioner (processer) och tidsserier och statistik över icke-numeriska objekt.

Det finns beskrivande statistik , skattningsteori och hypotestestningsteori .

En stor del av modern matematisk statistik är statistisk sekventiell analys , ett grundläggande bidrag till skapandet och utvecklingen som gjordes av A. Wald under andra världskriget . Till skillnad från traditionella (inkonsekventa) metoder för statistisk analys baserade på ett slumpmässigt urval av en fast storlek, tillåter sekventiell analys bildandet av en rad observationer en i taget (eller, mer generellt, i grupper), medan beslutet att genomföra nästa observation (grupp av observationer) görs på baserat på den redan ackumulerade samlingen av observationer. Mot bakgrund av detta är teorin om sekventiell statistisk analys nära relaterad till teorin om optimalt stopp .

Inom matematisk statistik finns det en allmän teori om hypotestestning och ett stort antal metoder dedikerade till att testa specifika hypoteser. Hypoteser övervägs om värdena på parametrar och egenskaper, om kontroll av homogenitet (det vill säga om sammanfallande av egenskaper eller fördelningsfunktioner i två urval), om överensstämmelsen mellan den empiriska fördelningsfunktionen med en given fördelningsfunktion eller med en parametrisk familj av sådana funktioner, om fördelningens symmetri osv.

Av stor betydelse är den del av matematisk statistik som är kopplad till att utföra urvalsundersökningar , med egenskaperna hos olika urvalsscheman och konstruktionen av adekvata metoder för att uppskatta och testa hypoteser.

Olika metoder för att konstruera (klusteranalys), analys och användning (diskriminerande analys) av klassificeringar (typologier) kallas också metoder för mönsterigenkänning (med och utan lärare), automatisk klassificering , etc.

Se även

Anteckningar

↑ Duncan J. Melville, fotografi, illustration och beskrivning av tabletten från Yale Babylonian Collection, Mesopotamian Mathematics, St. Lawrence University, 18 september 2006. ${\sqrt {2}}$ . Hämtad 18 mars 2012. Arkiverad från originalet 13 augusti 2012. (obestämd)
↑ 1 2 3 4 5 Beräkningsmatematik / A. N. Tikhonov // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Mucha V.S. Beräkningsmetoder och datoralgebra: lärobok-metod. ersättning. — 2:a uppl., rättad. och ytterligare - Minsk: BSUIR, 2010.- 148 s.: silt, ISBN 978-985-488-522-3 , UDC 519.6 (075.8), BBK 22.19ya73, M92
↑ För ändamålen med denna artikel anses systemkoefficienter, fria termer och okända tal som reella tal, även om de kan vara komplexa eller till och med komplexa matematiska objekt, förutsatt att de har multiplikations- och additionsoperationer definierade för dem.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linjär algebra: Lärobok för universitet. - 6:e uppl., raderad. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 sid.
↑ Verzhbitsky V. M. Grunderna för numeriska metoder. - M . : Högre skola , 2009. - S. 80-84. — 840 sid. — ISBN 9785060061239 .
↑ Extrapolering: etymologi Arkiverad 17 juni 2013 på Wayback Machine
Interpolera: etymologi
↑ Probabilistiska delar av matematiken / Ed. Yu. D. Maksimova. - St Petersburg. : "Ivan Fedorov", 2001. - S. 400 . — 592 sid. — ISBN 5-81940-050-X .

Litteratur

Beräkningsmatematik / N. S. Bakhvalov // Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Beräkningsmatematik / A. N. Tikhonov // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Methods of computational mathematics]. - Novosibirsk: Nauka, 1973.
Babenko K. I. Grunderna för numerisk analys. — M .: Nauka, 1986.
Bakhvalov N. S. Numeriska metoder. 3:e uppl. - M. , 2003.
Voevodin VV Matematiska grunder för parallell beräkning. - M. : Publishing House of Moscow State University, 1991. - 345 s.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Parallell beräkning. - St Petersburg. : BHV-Petersburg, 2002. - 608 sid.
B. P. Demidovich , I. A. Maron, Grunderna för beräkningsmatematik. - 2:a uppl. - M . : Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1963.
Dyachenko VF Grundläggande begrepp inom beräkningsmatematik. — M .: Nauka, 1972.
Beräkningsmetoder för analys av modeller av komplexa dynamiska system: Proc. t.ex. ersättning för universitetsstuderande. "Tillämpad matematik och fysik" / A. I. Lobanov , I. B. Petrov ; Utbildningsministeriet Ros. Federation. Moskvas institut för fysik och teknik (State University). - M .: MIPT, 2000. - 21 cm.
- Del 1. - 2000. - 168 sid. : ill., tab.; ISBN 5-7417-0149-3
- Del 2. - 2002. - 154 sid. : sjuk.; ISBN 5-7417-0199-X
Beräkningsmatematik: en kurs med föreläsningar / A. I. Lobanov, I. B. Petrov . - Moskva: Fizmatkniga, 2021. - 475 sid. : sjuk.; 22 se - (Phystech kurser).; ISBN 978-5-89155-341-5 : 300 exemplar
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. Ungefärliga metoder för högre analys. - M. - L .: GIITL, 1949.

Länkar

Matematisk programvara
Symboliska beräkningar	Axiom glipa lönn Mathcad Mathematica Maxima Minska Salvia SMath Studio Yacas
Numeriska beräkningar	Fityk FreeMat GAUSS GNU Octave gnuplot gretl Julia Labplot LabVIEW MagicPlot MATLAB Ursprung QtiPlot R SciDAVis Scilab Sigma plot Tala lätt VisSim