Experimentell matematik

Experimentell matematik  är en gren av matematiken som kännetecknas av användningen av olika tekniker, inklusive metoder för substitution, förskjutning, bevis från motsatsen, inklusive användning av elektroniska beräkningsverktyg för att verifiera, bekräfta gamla och få nya fakta ( satser ) i matematik . Alla resultat som erhållits i experimentell matematik är noggrant bevisade påståenden om matematik. Strängt taget är alla bevis , beräkningar, beräkningar etc. experiment för att få nya lagar (satser). Men i experimentell matematik används modern datorteknik för att genomföra experiment , vilket gör det möjligt att utföra experiment som är otillgängliga med manuell räkning. Den huvudsakliga metoden för experimentell matematik är bevisberäkningar , under vilka resultaten av beräkningar används för att noggrant bevisa matematiska fakta .

Paul Richard Halmos skrev: ”Matematik är inte en deduktiv vetenskap  – det är en klyscha. Om du försöker bevisa ett teorem räcker det inte att du listar premisserna och sedan börjar resonera. Det du gör är att prova och missa , experimentera och gissa. Du måste ta reda på vad faktum är, och vad du gör är som en experimenterares arbete i ett laboratorium" [1] .

Historik

Matematiker har alltid utövat experimentell matematik. Det finns rekord av tidiga matematiker som de av Babylon , vanligtvis bestående av en lista med numeriska exempel som illustrerar en algebraisk identitet. Men moderna matematiker har sedan 1600-talet utvecklat en tradition av att trycka resultat i en slutlig, formell representation. Sifferexempel som skulle kunna leda matematiken till formuleringen av satsen publicerades inte och glöms i regel bort.

Experimentell matematik som ett separat studieområde återupplivades under 1900-talet, när uppfinningen av elektroniska datorer kraftigt ökade området för genomförbara beräkningar med en hastighet och noggrannhet som var otillgänglig för tidigare generationer av matematiker. En betydande milstolpe och prestation inom experimentell matematik var upptäckten 1995 av Bailey-Borwain-Pluff-formeln för de binära siffrorna i talet π. Formeln upptäcktes inte av formella skäl, utan efter en datorsökning. Först efter det hittades ett rigoröst bevis [2] .

Ändamål och användningsområden

Syftet med experimentell matematik är "att få förståelse och insikt i begreppens väsen, att bekräfta eller motbevisa hypoteser, att göra matematiken mer påtaglig, levande och intressant för både professionella matematiker och amatörer" [3] .

Använda experimentell matematik [4] :

  1. Penetration in i ämnets väsen och känsla.
  2. Upptäckt av nya modeller och anslutningar.
  3. Använda grafiska displayer för att försöka gissa de bakomliggande principerna.
  4. Testning och vederläggning av hypoteser.
  5. Undersöka möjliga resultat för att bedöma om de är värda formella bevis.
  6. Förslag på tillvägagångssätt för formellt bevis.
  7. Ersätt långa manuella ledningar med datorbaserade ledningar.
  8. Bekräftelse av erhållna analysresultat.

Apparater och teknik

Experimentell matematik använder beräkningsmetoder för att beräkna ungefärliga värden av integraler och summor av oändliga serier. Aritmetik med godtycklig precision används ofta för beräkningar,  vanligtvis 100 signifikanta siffror eller mer. Heltalsförhållandealgoritmen [ används sedan för att hitta samband mellan dessa värden och matematiska konstanter. Att arbeta med hög precision minskar möjligheten att missta en matematisk matchning för en sann relation. Den letar sedan efter formella bevis för det påstådda förhållandet - det är ofta lättare att hitta bevis om det hypotetiska förhållandet är känt.

Om du letar efter ett motexempel eller behöver ta fram ett bevis som kräver en stor mängd uppräkning, kan en distribuerad beräkningsteknik användas för att fördela beräkningen mellan datorer.

Vanliga datoralgebrasystem som Mathematica används ofta , även om domänspecifika program också är skrivna för att attackera problem som kräver hög effektivitet. Experimentell matematikprogramvara inkluderar vanligtvis feldetekterings- och korrigeringsmekanismer , integritetskontroll och redundanta beräkningar för att minimera risken för felaktiga resultat från programvarubuggar eller processorkrascher.

Tillämpningar och exempel

Trovärdiga men felaktiga exempel

Vissa rimliga anslutningar görs med en hög grad av noggrannhet, men förblir felaktiga. Ett sådant exempel:

Båda sidorna av detta uttryck skiljer sig endast i det 42:a tecknet [8] .

Ett annat exempel är att den maximala höjden (det maximala absoluta värdet av koefficienterna) för alla faktorer x n − 1 visar sig vara samma som höjden på det cirkulära polynomet av n :e graden. Datorberäkningar har visat att detta är sant för n < 10 000 och förväntat sig att detta är sant för alla n . En mer omfattande sökning visade dock att likheten inte är sann för n = 14235, när höjden på det n:te gradens cirkulära polynomet är 2, och den maximala höjden av x n − 1 faktorer är 3 [9] .

Utforskare

Följande matematiker och datavetare har gjort betydande bidrag till området experimentell matematik:

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Halmos, 1985 , sid. 321.
  2. ↑ The Quest for Pi Arkiverad 27 september 2011 på Wayback Machine av David G. Bailey , Jonathan Borwein , Peter J. Borwein och Simon Plouff .
  3. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , sid. VII .
  4. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , sid. 2.
  5. ↑ Lam, 1991 , sid. 305–318.
  6. ↑ Bailey, 1997 .
  7. ↑ Mumford, Series, Wright, 2002 , sid. VIII.
  8. ↑ Bailey, Borwein, 2005 .
  9. ↑ Höjden på Φ 4745 är 3 och 14235 = 3 x 4745. Se Sloan-sekvenserna A137979 och A160338 .

Litteratur

Länkar