Lorentz attraktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 mars 2017; kontroller kräver 17 redigeringar .

Lorentz-atttraktorn (från engelskan att attrahera - att locka) är en märklig attraktion , som först hittades av E. N. Lorentz i ett olinjärt system av vanliga differentialekvationer

${\begin{cases}{\dot x}=\sigma (yx)\\{\dot y}=x(rz)-y\\{\dot z}=xy-bz\end{cases))$

med följande parametervärden: σ=10, r =28, b =8/3. Detta system introducerades först som den första icke-triviala Galerkin -approximationen för problemet med havsvattenkonvektion i ett platt lager, vilket motiverade valet av värdena för σ, r och b , men det uppstår också i andra fysiska frågor och modeller :

konvektion i en sluten slinga;
rotation av vattenhjulet;
singelmodslasermodell ; _
dissipativ harmonisk oscillator med tröghets olinjäritet.

Initialt hydrodynamiskt ekvationssystem:

${\begin{cases}{\frac {\partial {\vec v}}{\partial t}}+\left({\vec v}\nabla \right){\vec v}=-{\frac {\ nabla p}{\rho ))+\nu \nabla ^{2}{\vec v}+{\vec g}\\{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \left(\rho {\vec v}\right)=0\\{\frac {\partial T}{\partial t))+\nabla \cdot \left(T{\vec v}\right)=\ chi \nabla ^{2}T\\\rho =\rho _{0}\left(1-\gamma \left(T-T_{0}\right)\right)\end{cases}},$

var är flödeshastigheten, är vätskans temperatur, är temperaturen på den övre gränsen (på den nedre hålls ), är densiteten, är trycket, är tyngdkraften, är termisk expansionskoefficient , termisk diffusivitetskoefficient respektive kinematisk viskositet . ${\vec {v}}$ $T$ $T_{0}$ $T_{0}+\Delta T$ $\rho$ $sid$ ${\vec g}$ $\gamma ,\ \chi ,\ \nu$

I problemet med konvektion uppstår modellen när flödeshastigheten och temperaturen expanderas till tvådimensionella Fourierserier och deras efterföljande "skärning" med en noggrannhet av den första och andra övertonen. Dessutom är det reducerade kompletta systemet av hydrodynamiska ekvationer skrivet i Boussinesq-approximationen . Trimningen av serien är motiverad till viss del, eftersom Soltsman i sina verk visade frånvaron av några intressanta egenskaper i beteendet hos de flesta övertoner [1] .

Tillämpbarhet och relevans för verkligheten

Låt oss beteckna den fysiska betydelsen av variablerna och parametrarna i ekvationssystemet i relation till de nämnda problemen.

Konvektion i ett plant lager. Här är x ansvarig för rotationshastigheten för vattenrullarna, y och z är för den horisontella och vertikala temperaturfördelningen, r är det normaliserade Rayleigh-talet , σ är Prandtl-talet (förhållandet mellan den kinematiska viskositeten och den termiska diffusiviteten ), b innehåller information om konvektionscellens geometri.
Konvektion i sluten slinga. Här är x flödeshastigheten, y är temperaturavvikelsen från medelvärdet vid punkten 90° bort från slingans bottenpunkt, z är densamma, men vid bottenpunkten. Värme tillförs vid den lägsta punkten.
Rotation av vattenhjulet. Problemet med ett hjul på fälgen vars korgar med hål i botten är fixerade övervägs. En kontinuerlig ström av vatten strömmar uppifrån på hjulet symmetriskt i förhållande till rotationsaxeln. Uppgiften är likvärdig med den föregående, vänd "upp och ner", med ersättning av temperatur med tätheten för distribution av vattenmassan i korgarna längs kanten.
singelmodslaser. Här är x vågamplituden i laserkaviteten , y är polarisationen , z är populationsinversionen av energinivåerna , b och σ är förhållandena mellan inversions- och fältrelaxationskoefficienterna och polarisationsrelaxationskoefficienten, och r är pumpen intensitet .

Det är värt att påpeka att Lorentz-modellen, applicerad på problemet med konvektion, är en mycket grov approximation, mycket långt ifrån verkligheten. En mer eller mindre adekvat överensstämmelse finns i regionen med vanliga regimer, där stabila lösningar kvalitativt återspeglar den experimentellt observerade bilden av likformigt roterande konvektiva rullar ( Bénard-celler ). Den kaotiska regimen som är inneboende i modellen beskriver inte turbulent konvektion på grund av den betydande trimningen av den ursprungliga trigonometriska serien.

Av intresse är den betydligt högre noggrannheten hos modellen med en del av dess modifiering, som i synnerhet används för att beskriva konvektion i ett lager som utsätts för vibrationer i vertikal riktning eller variabla termiska effekter. Sådana förändringar i yttre förhållanden leder till modulering av koefficienterna i ekvationerna. I det här fallet undertrycks de högfrekventa Fourierkomponenterna av temperatur och hastighet avsevärt, vilket förbättrar överensstämmelsen mellan Lorentz-modellen och det verkliga systemet.

Lorentz tur med att välja värdet på parametern är anmärkningsvärd , eftersom systemet kommer till en konstig attraktion endast för värden större än 24,74, för mindre värden visar sig beteendet vara helt annorlunda. $r$

Beteende för systemets lösning

Låt oss överväga förändringar i beteendet hos lösningen till Lorentz-systemet för olika värden på parametern r. Illustrationerna till artikeln visar resultaten av numerisk simulering för punkter med initiala koordinater (10,10,10) och (-10,-10,10). Modellering utfördes med hjälp av programmet nedan, skrivet på Fortran- språket , plottning enligt de resulterande tabellerna - på grund av Fortrans svaga grafiska kapacitet med Compaq Array Viewer.

r <1 — atttraktorn är ursprunget, det finns inga andra stabila punkter.

1< r <13.927 - banorna närmar sig spiralformigt (detta motsvarar närvaron av dämpade svängningar) till två punkter, vars position bestäms av formlerna:

${\begin{cases}x=\pm {\sqrt {b(r-1)}}\\y=\pm {\sqrt {b(r-1)))\\z=r-1\end{ fall}}$

Dessa punkter bestämmer tillstånden för den stationära konvektionsregimen, när en struktur av roterande vätskerullar bildas i skiktet.

r ≈13.927 - om banan lämnar origo, då, efter att ha gjort ett fullständigt varv runt en av de stabila punkterna, kommer den att återvända tillbaka till startpunkten - två homokliniska slingor visas. Begreppet en homoklinisk bana innebär att den lämnar och kommer till samma jämviktsposition.

r >13.927 - beroende på riktning kommer banan till en av de två stabila punkterna. Homokliniska slingor återföds till instabila gränscykler, och en familj av komplext arrangerade banor uppstår också, som inte är en attraherande, utan snarare tvärtom stöter bort banor från sig själv. Ibland, i analogi, kallas denna struktur för en "konstig repeller" (engelska för att repellera - repellera).

r ≈24,06 - banorna leder inte längre till stabila punkter, utan närmar sig asymptotiskt instabila gränscykler - den faktiska Lorentz-attraktorn dyker upp. Båda stabila punkterna kvarstår dock upp till r ≈ 24,74.

r ≈28 är det klassiska värdet för parametern som betraktas i Lorenz' artikel. Alla tre jämvikter är instabila och banor från deras grannskap attraheras av en kaotisk (lokal) attraktionsfaktor (som alltså är självspännande med avseende på alla jämvikter). En kaotisk atttraktor har en fraktionerad Lyapunov-dimension , för vilken en övre analytisk uppskattning kan erhållas analytiskt genom formen av den globala atttraktorns Lyapunov-dimension, och en lägre uppskattning kan erhållas analytiskt-numeriskt genom Lyapunov-dimensionen av instabila periodiska banor på atttraktorn [2] [3] [4] . Approximationer till sådana banor kan hittas med hög noggrannhet med harmonisk balansmetoden [5] . För numerisk simulering med hög precision av Lorentz-systemets dynamik används vanligtvis effektseriemetoden [6] .

För stora värden av parametern genomgår banan allvarliga förändringar. Shilnikov och Kaplan visade att vid mycket stor r går systemet in i självsvängningsläge, och om parametern reduceras kommer en övergång till kaos att observeras genom en sekvens av svängningsperiodfördubblingar.

Betydelsen av modellen

Lorentz-modellen är ett verkligt fysiskt exempel på dynamiska system med kaotiskt beteende, i motsats till olika artificiellt konstruerade kartläggningar ( "sågtand" , "markis" , bagartransformation , Feigenbaum-kartläggning , etc.).

På grund av sin karaktäristiska form kallades attraktionen "Lorenz-fjärilen", vilket gav upphov till begreppet " fjärilseffekt " i kaosteorin , som därefter felaktigt förknippades i massmedvetandet med den berömda historien om Ray Bradbury .

Program som simulerar beteendet hos Lorenz-systemet

Borland C #include <graphics.h> #include <conio.h> void main () { dubbel x = 3,051522 , y = 1,582542 , z = 15,62388 , xl , yl , zl ; dubbel dt = 0,0001 ; int a = 5 , b = 15 , c = 1 ; int gd = DETECT , gm ; initgraph ( & gd , & gm , "C: \\ BORLANDC \\ BGI" ); gör { xl = x + a * ( - x + y ) * dt ; yl = y + ( b * x - y - z * x ) * dt ; zl = z + ( - c * z + x * y ) * dt ; x = xl ; y = yl ; z = zl ; putpixel (( int )( 19,3 * ( y - x * 0,292893 ) + 320 ), ( int )( - 11 * ( z + x * 0,292893 ) +392 ) , 9 ); } while ( ! kbhit ()); closegraph (); } Mathematica data = tabell [ Med [{ N = 1000 , dt = 0,01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 }, NestList [ Modul [{ x , y , z , x1 , y1 , z1 }, { x , y , z } = # ; xl = x + a ( -x + y ) dt ; _ yl = y + ( b x - y - z x ) dt ; zl = z + ( -cz + x y ) dt ; _ _ { x1 , y1 , z1 }] & , { 3,051522 , 1,582542 , 15,62388 }, N ] ], { j , 0 , 5 }]; Graphics3D @ MapIndexed [{ Hue [ 0.1 First [ # 2 ]], Point [ # 1 ]} & , data ] JavaScript och HTML5 < html > < body > < canvas height = '500' width = '500' id = 'cnv' ></ canvas > < script > var cnv = document . getElementById ( "cnv" ); var cx = cnv . getContext ( '2d' ); var x = 3,051522 , y = 1,582542 , z = 15,62388 , x1 , yl , z1 ; vardt = 0,0001 ; _ var a = 5 , b = 15 , c = 1 ; var h = parseInt ( cnv . getAttribute ( "höjd" )); var w = parseInt ( cnv . getAttribute ( "width" )); var id = cx . createImageData ( w , h ); varrd = matematik . _ rund ; var idx = 0 ; i = 1000000 ; medan ( i -- ) { x1 = x + a * ( - x + y ) * dt ; yl = y + ( b * x - y - z * x ) * dt ; zl = z + ( - c * z + x * y ) * dt ; x = xl ; y = yl ; z = zl ; idx = 4 * ( rd ( 19,3 * ( y - x * 0,292893 ) + 320 ) + rd ( -11 * ( z + x * 0,292893 ) + 392 ) * w ) ; id . data [ idx + 3 ] = 255 ; } cx . putImageData ( id , 0 , 0 ); </ script > </ body > </ html > MATLAB %Lösning för Lorenz-ekvationerna i tidsintervallet [0,100] med initiala villkor [1,1,1]. rensa allt clc sigma = 10 ; beta = 8/3 ; _ _ rho = 28 ; f = @( t , a ) [ -sigma * a ( 1 ) + sigma * a ( 2 ) ; rho * a ( 1 ) -a ( 2 ) -a ( 1 ) * a ( 3 ) ; _ - beta * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )]; %'f' är uppsättningen differentialekvationer och 'a' är en array som innehåller värden på x, y och z variabler. %'t' är tidsvariabeln [ t , a ] = ode45 ( f ,[ 0100 ] ,[ 111 ] ) ; %'ode45' använder adaptiv Runge-Kutta-metod av 4:e och 5:e ordningen för att lösa differentialekvationer plot3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 )) %'plot3' är kommandot för att göra 3D-plot Maxima --> ladda ( dynamik ) $ [sigma, r,b]: [10,28,8/3]$ ekv: [sigma* ( yx ) , x* ( rz ) -y, x*yb*z]$ init: [1.0,0,0]$ t_range: [t,0,50,0.01]$ sol: rk ( eq, [x, y,z], init, t_range ) $ len: length ( sol ) $ t: makelist ( sol[k][1], k,1,len ) $ x: makelist ( sol[k][2], k,1,len ) $ y: makelist ( sol[k][3], k, 1,len ) $ z: makelist ( sol[k][4], k,1,len ) $ plot2d ( [diskret, t , x] ) $ --> ladda ( rita ) $ draw3d ( point_size=0.01, points_joined=true, point_type=filled_circle, points ( x,y,z ) ) $

Pytonorm

""" ================= Lorenz Attractor ================ """ importera numpy som np importera matplotlib.pyplot som plt def lorenz ( x , y , z , s = 10 , r = 28 , b = 2,667 ): ''' Givet: x, y, z: en intressant plats i tredimensionellt utrymme s, r, b: parametrar som definierar lorenzattraktion Returnerar: x_dot, y_dot, z_dot: värden på lorenzatttraktorns partiella derivator vid punkten x, y, z ''' x_dot = s * ( y - x ) y_dot = r * x - y - x * z z_dot = x * y - b * z returnerar x_dot , y_dot , z_dot dt = 0,01 antal_steg = 10 000 # Behöver en till för de initiala värdena xs = np . tomt ( antal_steg + 1 ) ys = np . tomt ( antal_steg + 1 ) zs = np . tomt ( num_steg + 1 ) # Ställ in initiala värden xs [ 0 ], ys [ 0 ], zs [ 0 ] = ( 0. , 1. , 1.05 ) # Stega genom "tid", beräkna de partiella derivatorna vid den aktuella punkten # och använd dem för att uppskatta nästa punkt för i i intervallet ( num_steg ): x_dot , y_dot , z_dot = lorenz ( xs [ i ], ys [ i ], zs [ i ]) xs [ i + 1 ] = xs [ i ] + ( x_dot * dt ) ys [ i + 1 ] = ys [ i ] + ( y_dot * dt ) zs [ i + 1 ] = zs [ i ] + ( z_dot * dt ) # Plot fig = plt . figur () yxa = fig . gca ( projektion = '3d' ) yxa . plot ( xs , ys , zs , lw = 0,5 ) ax . set_xlabel ( "X-axel" ) ax . set_ylabel ( "Y-axel" ) ax . set_zlabel ( "Z-axel" ) ax . set_title ( "Lorenz Attraktion" ) plt . savefig ( 'Lorenz Attractor' ) plt . visa ()

Anteckningar

↑ Saltzman, Barry (1962). "Fri konvektion med ändlig amplitud som ett initialt värdeproblem—I". Journal of the Atmospheric Sciences 19(4): 329-341.
↑ Kuznetsov, NV; Mokaev, T.N.; Kuznetsova, OA; Kudryashova, EV (2020). "Lorenz-systemet: dold gräns för praktisk stabilitet och Lyapunov-dimensionen" . Icke-linjär dynamik . DOI : 10.1007/s11071-020-05856-4 . Arkiverad från originalet 2021-06-28 . Hämtad 2020-09-20 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Leonov, G.A.; Kuznetsov, NV; Korzhmanova, N.A.; Kusakin, DV (2016). "Lyapunov dimensionsformel för Lorenz-systemets globala attraktionskraft". Kommunikation i icke-linjär vetenskap och numerisk simulering . 41 :84-103. arXiv : 1508.07498 . Bibcode : 2016CNSNS..41...84L . DOI : 10.1016/j.cnsns.2016.04.032 .
↑ Kuznetsov, Nikolay. Attraktionsdimensionsuppskattningar för dynamiska system: teori och beräkning / Nikolay Kuznetsov, Volker Reitmann. - Cham : Springer, 2021. Arkiverad 3 juni 2020 på Wayback Machine
↑ Pchelintsev, AN (2020). "En numerisk-analytisk metod för att konstruera periodiska lösningar av Lorenz-systemet" . Differentialekvationer och styrprocesser (4): 59-75. arXiv : 2102.04794 .
↑ Pchelintsev, AN (2014). "Numerisk och fysisk modellering av dynamiken i Lorenz-systemet". Numerisk analys och tillämpningar . 7 (2): 159-167. DOI : 10.1134/S1995423914020098 . S2CID 123023929 .

Litteratur

Kuznetsov S.P. , Föreläsning 3. Lorentz-systemet; Föreläsning 4. Lorentz-systemets dynamik. // Dynamiskt kaos (föreläsningskurs). — M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B. Finit amplitudfri konvektion som ett initialt värdeproblem. // Journal of the atmospheric science, nr 7, 1962 - sid. 329-341.
Lorenz E. Deterministisk icke-periodisk rörelse // Konstiga atttraktorer. - M., 1981. - S. 88-116.