Benard-celler

Benard- eller Rayleigh-Benard-celler - utseendet av ordning i form av konvektiva celler i form av cylindriska axlar eller regelbundna hexagonala strukturer i ett lager av viskös vätska med en vertikal temperaturgradient , det vill säga likformigt uppvärmd underifrån.

Benard-celler kan förklara ursprunget till vulkaniska formationer i form av en stråle av vertikala kolumner - sådana är naturmonumenten " Devil's Tower " (USA) och " The Bridge of the Giants " (Nordirland).

Kontrollparametern för självorganisering är temperaturgradienten. Som ett resultat av uppvärmning börjar diffusion i det initialt homogena vätskeskiktet på grund av den resulterande densitetsinhomogeniteten. När man övervinner ett visst kritiskt värde på gradienten hinner inte diffusionen leda till en jämn temperaturfördelning över volymen. Cylindriska axlar dyker upp som roterar mot varandra (som kopplade växlar) [1] . När temperaturgradienten ökar sker en andra kritisk övergång. För att påskynda spridningen delas varje rulle i två mindre rullar. Med en ytterligare ökning av kontrollparametern bryts rullarna upp och turbulent kaos uppstår i gränsen , vilket tydligt syns i bifurkationsdiagrammet eller Feigenbaum- trädet .

I ett tunt lager , när det värms upp underifrån, bildas celler av en regelbunden sexkantig form, inuti vilka vätskan stiger i mitten och sjunker längs cellens kanter [2] . Ett sådant experiment var historiskt sett det första, men här observeras faktiskt Marangoni-konvektion , som uppstår på grund av verkan av ytspänningskrafter och deras beroende av vätskans temperatur.

Analytisk lösning av problemet (Rayleigh-problemet)

Viktigt i problemet med konvektion i ett platt lager är det faktum att för att skriva det i Boussinesq-approximationen är det möjligt att få en exakt analytisk lösning av hydrodynamikens ekvationer. Det är sant att en enkel exakt lösning bara kan hittas i en abstrakt miljö med två fria icke-deformerbara lagergränser (både ovanför och under), mer realistiska versioner av sådana lösningar har inte (men ungefärliga analytiska metoder fungerar bra för dem, till exempel , Galerkinmetoden ).

Vi presenterar här lösningen på problemet [3] [4] . Låt oss anta att z-axeln är riktad uppåt, vinkelrätt mot skiktet, och att x- och y-axlarna är parallella med gränsen. Det är bekvämt att välja ursprunget för koordinater på den nedre gränsen av lagret. Inledande konvektionsekvationer :

${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec v}\cdot \nabla ){\vec v}=-{\frac {1}{\rho _{ 0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec v}-\beta T{\vec g},$

${\frac {\partial T}{\partial t))+{\vec v}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatörsnamn {div}{\vec v}=0.$

Den dimensionslösa formen av konvektionsekvationerna för små störningar av jämvikt, med antagande av en exponentiell tillväxt av störningar i tid (de så kallade "normala" störningarna ) - : ${\vec v},\theta \sim e^{{\lambda t))$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +{\vec v}\cdot {\vec e}_{z},$

$\operatörsnamn {div}{\vec v}=0,$

där är enhetsvektorn för z-axeln, är Prandtl- talet och Rayleigh-talet , respektive , och är ökningen (tillväxthastigheten) av störningar. Efter icke-dimensionalisering ändras variabeln z från 0 till 1. T. n. "Normala" störningar är särskilda lösningar av ett linjärt system av differentialekvationer , och används därför i stor utsträckning i studien av problem inom olika områden. ${\vec e}_{z}$ $Pr,Ra$ $\lambda$

Gränsvillkoren sätts under antagandet att båda gränserna är icke-deformerbara, men fria, och att det inte finns några skjuvspänningar i vätskan. Gränsförhållanden:

${\vec v}\cdot {\vec e}_{z}=0$ , är gränsernas icke-deformerbarhet.

$\sigma _{{xz}}=\sigma _{{yz}}=0$ , är frånvaron av skjuvspänningar. Eftersom vi tror att vi arbetar med en vätska för vilken Navier-Stokes ekvation är giltig , kan vi uttryckligen skriva ner formen av den viskösa spänningstensorn och erhålla randvillkor för hastighetskomponenterna.

$\sigma _{{ij}}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_ {i}}}\right)$ - Naviers lag ,

Med notationen för hastighetskomponenterna: , vi skriver om gränsvillkoret för skjuvspänningar i termer av hastighet: ${\vec v}=\left\{u,v,w\right\}$

${\frac {\partial u}{\partial z}}=0,$

${\frac {\partial v}{\partial z}}=0$ .

För temperaturstörningar vid gränsen tas ett nollvärde. Som ett resultat är systemet med gränsvillkor för problemet som följer:

$z=0,1:$

$w=0;{\frac {\partial u}{\partial z))={\frac {\partial v}{\partial z))=0;\theta =0$

Om vi nu antar att störningarna är normala i rymden - (här - vågvektorn för störningen parallellt med planet ) och ersätter differentieringsoperatorerna - kan vi skriva om systemet med konvektionsekvationer i form av ett system av ODE : ${\vec v},p,\theta \sim e^{{\lambda t}}e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}$ ${\vec k}$ $xy$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-k^{2},\nabla =\left\{i{\vec k};{\frac {\ partiell }{\partial z}}\right\}$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w,$

$\operatörsnamn {div}{\vec v}=0.$

Genom att ta dubbelrotorn från den första ekvationen och projicera den på z-axeln, får vi det slutliga ekvationssystemet för störningar:

${\frac {\lambda }{Pr))\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta ,$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w.$

Baserat på randvillkoren, såväl som det faktum att alla derivator i systemet är av jämn ordning, är det bekvämt att representera lösningen i form av trigonometriska funktioner:

$w=a\sin n\pi z,$

$\theta=b\sin n\pi z,$

där n är ett heltal. Lösningen i form av sinus uppfyller alla randvillkor på en gång.

Vidare, genom att beteckna och ersätta den förväntade formen av lösningen i ekvationerna, får vi ett linjärt homogent algebraiskt system för a, b. Beroende kan uttryckas från dess determinant : $D=n^{2}\pi ^{2}+k^{2}$ $Ra(\lambda )$

$Ra(\lambda )={\frac {1}{Prk^{2}}}\left(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\ höger)$

Om vi här antar - gränsen för monoton stabilitet, icke-ökning av normala störningar - får vi en formel för att bestämma det kritiska Rayleigh-talet för det n:te störningsläget: $\lambda=0$

$Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.$

Det minsta Rayleigh-talet erhålls vid . Det minsta beroendet, som du lätt kan se, faller på , och det minsta Rayleigh-talet i sig är lika med . I enlighet med det kritiska vågtalet uppträder strukturer i lagret i form av rullar av bredd (i dimensionslösa enheter). $n=1$ $k={\frac {\pi }{{\sqrt {2))))$ $Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\approx 657$ ${\sqrt {2}}$

För problem med andra varianter av gränser visar sig det kritiska Rayleigh-talet vara högre. Till exempel, för ett lager med två solida gränser är det 1708 [5] , för ett lager med en solid övre och fria nedre gränser är det 1156, och de kritiska vågtalen ändras också. Bilden av konvektiva rullar förändras dock inte kvalitativt.

Se även

Anteckningar

↑ Van Dyke M. Album av vätske- och gasflöden, M .: Mir, 1986 - sid. 84, fig. 139-140
↑ Van Dyke M. Album av vätske- och gasflöden, M .: Mir, 1986 - sid. 85, fig. 140-141
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Konvektiv stabilitet hos en inkompressibel vätska. // M.: Nauka, 1972 - § 5
↑ Frick P. G. Turbulens: metoder och tillvägagångssätt. Föreläsningskurs, del 1 // Perm: Perm State. tech. un-t., 1998 - sid. 33-37
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M., ibid., § 6

Litteratur

LEScriven & CVSternling "Marangoni Effects"

Benard-celler

Analytisk lösning av problemet (Rayleigh-problemet)

Se även

Anteckningar

Litteratur

Länkar