Initial- och randvillkor

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

I teorin om differentialekvationer är initiala och randvillkor  ett tillägg till den grundläggande differentialekvationen ( vanlig eller partiell differential ), som specificerar dess beteende vid det inledande ögonblicket eller vid gränsen för den aktuella regionen.

Vanligtvis har en differentialekvation inte en lösning, utan en hel familj av dem. De initiala och randvillkoren gör att du kan välja en som motsvarar en verklig fysisk process eller ett fenomen. I teorin om vanliga differentialekvationer bevisas en sats om existensen och unikheten av en lösning på ett problem med ett initialtillstånd (det så kallade Cauchy-problemet ). För partiella differentialekvationer erhålls vissa existens- och unikhetssatser för lösningar för vissa klasser av initial- och gränsvärdesproblem.

Terminologi

Ibland kallas de initiala villkoren i icke-stationära problem, såsom lösningen av hyperboliska eller paraboliska ekvationer , också som randvillkor .

För stationära problem finns en uppdelning av randvillkor i huvudsakliga och naturliga .

De huvudsakliga förhållandena har vanligtvis formen , var  är gränsen för regionen .

De naturliga förhållandena innehåller också lösningens derivat med avseende på normalen till gränsen.

Exempel

Ekvationen beskriver en kropps rörelse i jordens gravitationsfält . Den uppfylls av alla andragradsfunktioner av formen där  är godtyckliga tal. För att isolera en specifik rörelselag är det nödvändigt att indikera den initiala koordinaten för kroppen och dess hastighet, det vill säga de initiala förhållandena .

Korrekthet att ställa in gränsvillkor

Problem med matematisk fysik beskriver verkliga fysiska processer, och därför måste deras uttalande uppfylla följande naturliga krav:

  1. Lösningen måste finnas i någon funktionsklass;
  2. Lösningen måste vara unik i alla typer av funktioner;
  3. Lösningen måste kontinuerligt bero på data (initial- och randvillkor, intercept, koefficienter etc.).

Kravet på ett kontinuerligt beroende av lösningen beror på att fysiska data som regel bestäms ungefär från experimentet och därför måste man vara säker på att lösningen av problemet inom ramen för den valda matematiska modellen kommer att inte nämnvärt beroende av mätfelet. Matematiskt kan detta krav skrivas till exempel på följande sätt (för oberoende från den fria termen):

Låt två differentialekvationer ges: med samma differentialoperatorer och samma randvillkor, kommer deras lösningar kontinuerligt att bero på den fria termen om:

, där , - lösningar av motsvarande ekvationer.

Uppsättningen funktioner för vilka de angivna kraven är uppfyllda kallas korrekthetsklassen . Den felaktiga inställningen av gränsvillkor illustreras väl av Hadamards exempel .

Se även

Litteratur