Diffusionsekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 juli 2017; kontroller kräver 4 redigeringar .

Diffusionsekvationen är en speciell form av en partiell differentialekvation . Den är icke-stationär och stationär.

I betydelsen tolkning, när man löser diffusionsekvationen, talar vi om att hitta beroendet av koncentrationen av ett ämne (eller andra objekt) av rumsliga koordinater och tid, och en koefficient ges (i det allmänna fallet, även beroende på rumsliga koordinater och tid), som karakteriserar mediets permeabilitet för diffusion. När man löser värmeekvationen talar vi om att hitta mediets temperaturberoende av rumsliga koordinater och tid, och mediets värmekapacitet och värmeledningsförmåga (också generellt inhomogena) anges.

Fysiskt, i båda fallen, antas frånvaron eller försummelsen av makroskopiska flöden av materia. Detta är den fysiska ramen för tillämpligheten av dessa ekvationer. Dessutom, som representerar den kontinuerliga gränsen för dessa problem (det vill säga inte mer än en viss approximation), beskriver diffusions- och värmeledningsekvationerna i allmänhet inte statistiska fluktuationer och processer som i skala är nära längden och den genomsnittliga fria vägen, som också avviker mycket starkt från den förmodade exakta lösningen av problemet när det gäller korrelationer på avstånd som är jämförbara (och stora) med de avstånd som ljud (eller av partiklar fria från medelmotstånd vid sina karakteristiska hastigheter) tillryggalagt i ett givet medium under den betraktade tiden.

I de allra flesta fall innebär detta omedelbart att diffusions- och värmeledningsekvationerna är långt ifrån de områden där kvanteffekter eller ljushastighetens ändlighet blir betydande, det vill säga i de allra flesta fall, inte bara i deras slutsats, men också i princip begränsad till den klassiska newtonska fysikens område.

Vid problem med diffusion eller värmeledning i vätskor och gaser i rörelse, istället för diffusionsekvationen , används överföringsekvationen , vilket utökar diffusionsekvationen för det fall då det är oacceptabelt att försumma makroskopisk rörelse.

Den närmaste formella, och på många sätt meningsfulla, analogen till diffusionsekvationen är Schrödinger-ekvationen , som skiljer sig från diffusionsekvationen genom en imaginär enhetsfaktor framför tidsderivatan. Många satser om lösningen av Schrödinger-ekvationen och även vissa typer av formell skrivning av dess lösningar är direkt analoga med motsvarande satser om diffusionsekvationen och dess lösningar, men kvalitativt skiljer sig deras lösningar väldigt mycket.

Allmän vy

Ekvationen brukar skrivas så här:

$\frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\varphi,\mathbf{r}) \ \nabla\varphi(\mathbf{ r},t) \big],$

där φ( r , t ) är densiteten för det diffuserande ämnet vid punkt r och vid tidpunkten t och D (φ, r ) är den generaliserade diffusionskoefficienten för densiteten φ vid punkt r ; ∇ är nabla-operatorn . Om diffusionskoefficienten beror på densiteten är ekvationen icke-linjär, annars är den linjär.

Om D är en symmetrisk positiv-definitiv operator , beskriver ekvationen anisotrop diffusion:

${\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t))=\summa _{i=1}^{3}\summa _{j=1}^{ 3}{\frac {\partial }{\partial x_{i))}\left[D_{ij}(\varphi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} , t)}{\partial x_{j))}\höger].$

Om D är konstant, reduceras ekvationen till en linjär differentialekvation:

{\frac {\partial \phi ({\mathbf {r)),t)}{\partial t))=D\nabla ^{2}\phi ({\mathbf {r)),t),

kallas även värmeekvationen .

Ursprungsberättelse

Den partiella differentialekvationen utvecklades ursprungligen av Adolf Fick 1855. [ett]

Icke-stationär ekvation

Den icke- stationära diffusionsekvationen klassificeras som en parabolisk differentialekvation . Den beskriver spridningen av ett löst ämne på grund av diffusion eller omfördelning av kroppstemperatur som ett resultat av värmeledning .

Endimensionellt fall

I fallet med en endimensionell diffusionsprocess med en diffusionskoefficient (värmekonduktivitet) har ekvationen formen: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)={\frac {\partial }{\partial x}}D{\frac {\partial }{\partial x}}{ c(x,\;t)}+f(x,\;t).

När den är konstant tar den formen: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)=D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{c(x,\ ;t)}+f(x,\;t),

där är koncentrationen av det diffuserande ämnet, a är en funktion som beskriver källorna till ämnet (värme). $c(x,\;t)$ $f(x,\;t)$

3D-fodral

I det tredimensionella fallet tar ekvationen formen:

{\frac {\partial }{\partial t))c({\vec {r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r)),\;t ))+f({\vec {r)),\;t),

var är nabla-operatören och är den skalära produkten. Det kan också skrivas som $\nabla =(\partial _{x},\;\partial _{y},\;\partial _{z})$ $(\;,\;)$

\partial _{t}c={\mathbf {div}}\,(D\,{\mathbf {grad}}\,c)+f,

och konstant tar det formen: $D$

{\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r)),\;t)=D\Delta c({\vec {r)),\;t)+f({\ vec{r}},\;t),

var är Laplace-operatören . $\Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

n -dimensionellt fall

$n$ -dimensionellt fall - en direkt generalisering av ovanstående, endast nabla-operatorn, gradient och divergens, samt Laplace-operatorn ska förstås som -dimensionella versioner av motsvarande operatorer: $n$

\nabla =(\partial _{1},\;\partial _{2},\;\ldots ,\;\partial _{n}),

\Delta =\nabla ^{2}=\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\ldots +\partial _{n}^{2}.

Detta gäller även det tvådimensionella fallet . $n=2$

Motivation

Vanligtvis uppstår diffusionsekvationen från en empirisk (eller på något sätt teoretiskt erhållen) ekvation, som hävdar proportionaliteten av flödet av materia (eller termisk energi) till skillnaden i koncentrationer (temperaturer) av områden separerade av ett tunt lager av materia av en given permeabilitet, kännetecknad av en diffusionskoefficient (eller värmeledningsförmåga):

\Phi=-\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}

(endimensionellt fall),

\mathbf j=-\varkappa\nabla c

(för alla dimensioner),

kombinerat med kontinuitetsekvationen som uttrycker bevarandet av materia (eller energi):

{\frac {\partial c}{\partial t))+{\frac {\partial \Phi }{\partial x))=0

(endimensionellt fall),

{\frac {\partial c}{\partial t))+{\mathrm {div))\,{\mathbf j}=0

(för alla dimensioner),

med hänsyn till värmekapaciteten i fallet med värmeekvationen (temperatur = energidensitet / specifik värmekapacitet).

Här utelämnas materiakällan (energin) på höger sida, men den kan givetvis enkelt placeras där om det finns ett inflöde (utflöde) av materia (energi) i problemet.
Det antas också att inga yttre krafter, inklusive gravitation (passiv förorening), verkar på flödet av en diffuserande substans (orenhet).

Dessutom uppstår det naturligtvis som en kontinuerlig gräns för en liknande differensekvation, vilket i sin tur uppstår när man överväger problemet med en slumpmässig gång på ett diskret gitter (endimensionell eller -dimensionell). (Detta är den enklaste modellen; i mer komplexa slumpmässiga vandringsmodeller uppstår även diffusionsekvationen i den kontinuerliga gränsen.) Den enklaste tolkningen av funktionen i detta fall är antalet (eller koncentrationen) av partiklar vid en given punkt (eller nära den), och varje partikel rör sig oberoende av de andra utan minne (tröghet) av sitt förflutna (i en något mer komplicerad fall, med ett tidsbegränsat minne). $n$ $c$

Lösning

I det endimensionella fallet är den grundläggande lösningen av en homogen ekvation med en konstant - oberoende av och - (under initialtillståndet uttryckt av deltafunktionen och randvillkoret ) $x$ $t$ $D$ $c_{f}(x,\;0)=\delta(x)$ $c_{f}(\infty ,\;t)=0$

c_{f}(x,\;t)={\sqrt {{\frac {1}{4\pi Dt))))\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt} }\höger).

I det här fallet kan det tolkas som sannolikhetstätheten att en partikel, som var vid den initiala tidpunkten vid startpunkten, efter tiden kommer att flytta till punkten med koordinat . Detsamma - upp till en faktor lika med antalet diffuserande partiklar - gäller för deras koncentration, förutsatt att interaktionen av diffuserande partiklar med varandra saknas eller försummas. Sedan (under sådana initiala förhållanden) medelkvadraten för avlägsnandet av diffuserande partiklar (eller motsvarande egenskap hos temperaturfördelningen) från startpunkten $c_{f}(x,\;t)$ $t$ $x$

\langle x^{2}\rangle =\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}c_{f}(x,\;t)\,dx= 2Dt.

I fallet med en godtycklig initial fördelning representeras den allmänna lösningen av diffusionsekvationen i integralform som en faltning : $c(x,\;0)$

c(x,\;t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0)c_{f}(xx',\;t) \,dx'=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0){\frac {1}{{\sqrt {4\pi Dt} }}}\exp \left(-{\frac {(xx')^{2}}{4Dt}}\right)\,dx'.

Fysiska anmärkningar

Eftersom den approximation som implementeras av ekvationerna för diffusion och värmeledning är fundamentalt begränsad till området med låga hastigheter och makroskopiska skalor (se ovan), är det inte förvånande att deras fundamentala lösning inte beter sig särskilt realistiskt på stora avstånd, vilket formellt tillåter oändlig utbredning av handlingen i rymden under en begränsad tid; Det bör noteras att storleken på denna effekt minskar så snabbt med avståndet att denna effekt i princip är omöjlig att observera (till exempel talar vi om koncentrationer som är mycket mindre än enhet).

Men om vi talar om situationer där så små koncentrationer kan mätas experimentellt, och detta är väsentligt för oss, behöver vi åtminstone inte använda en differential, utan en differensdiffusionsekvation, och bättre, mer detaljerade mikroskopiska fysikaliska och statistiska modeller för att få en mer adekvat bild av verkligheten i dessa fall.

Stationär ekvation

I fallet när problemet är inställt på att hitta en jämn fördelning av densitet eller temperatur (till exempel i fallet när fördelningen av källor inte beror på tid), kastas de tidsrelaterade termerna i ekvationen ut ur icke -stationär ekvation. Då erhålls en stationär värmeledningsekvation , som tillhör klassen elliptiska ekvationer . Dess allmänna utseende:

-(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r))))=f({\vec {r)))).

När , inte beror på , blir den stationära diffusionsekvationen Poisson-ekvationen (inhomogen) eller Laplace-ekvationen (homogen, det vill säga för ): $D$ ${\vec {r))$ $f=0$

\Delta c({\vec {r)))=-{\frac {f({\vec {r)))}{D)),

\Delta c({\vec {r)))=0.

Uttalande av problem med gränsvärden

Problem med initiala förhållanden ( Cauchy problem ) om temperaturfördelning på en oändlig linje

Om vi betraktar processen för värmeledning i en mycket lång stång, är inverkan av temperaturer vid gränserna praktiskt taget frånvarande under en kort tidsperiod, och temperaturen i det aktuella avsnittet beror endast på den initiala temperaturfördelningen.

Hitta en lösning av värmeekvationen i regionen och , som uppfyller villkoret , där är en given funktion. $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$ $u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty <x<+\infty )$ $\varphi(x)$

Det första gränsvärdesproblemet för en semi-oändlig stav

Om den sektion av staven vi är intresserade av ligger nära ena änden och är avsevärt borttagen från den andra, kommer vi till ett gränsvärdesproblem, som tar hänsyn till påverkan av endast ett av gränsvillkoren.

Hitta en lösning av värmeekvationen i regionen och , som uppfyller villkoren $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$

\left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0<x<\infty )\\u(0,\;t )=\mu (t),\quad (t\geqslant t_{0})\end{array}}\right.

var och ges funktioner. $\varphi(x)$ $\mu (t)$

Gränsvärdeproblem utan initiala förutsättningar

Om tidsögonblicket som vi är intresserade av är tillräckligt långt från det ursprungliga, är det vettigt att försumma de initiala förhållandena, eftersom deras inflytande på processen försvagas med tiden. Därmed kommer vi fram till ett problem där randvillkor är givna och det inte finns några initiala.

Hitta en lösning av värmeekvationen i regionen och , som uppfyller villkoren $0\leqslant x\leqslant l$ $-\infty<t$

\left\{{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}( t),\end{array}}\right.

var och ges funktioner. $\mu _{1}(t)$ $\mu _{2}(t)$

Gränsvärdesproblem för ett begränsat spö

Tänk på följande problem med gränsvärde:

u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T

är värmeekvationen.

Om , då kallas en sådan ekvation homogen , annars - inhomogen . $f(x,\;t)=0$

u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l

är initialtillståndet vid tidpunkten , temperaturen vid punkten ges av funktionen .

t=0

x

\varphi(x)

\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t ),\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T

— gränsvillkor. Funktionerna och ställ in temperaturvärdet vid gränspunkterna 0 och när som helst .

\mu _{1}(t)

\mu _{2}(t)

l

t

Beroende på typen av randvillkor kan problem för värmeekvationen delas in i tre typer. Tänk på det allmänna fallet ( ). $\alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)$

{\begin{array}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t ),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{ array}}

Om , då kallas ett sådant tillstånd ett tillstånd av det första slaget , om - av det andra slaget , och om och är icke-noll, då ett tillstånd av det tredje slaget . Härifrån får vi problem för värmeekvationen - de första, andra och tredje gränsproblemen. $\alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\alpha_i$ $\beta _{i}$

Maximiprincipen

Låt en funktion i rymden , uppfylla den homogena värmeekvationen , och vara ett avgränsat område. Maximiprincipen säger att en funktion kan ta extrema värden antingen vid den initiala tiden eller vid regionens gräns . $u(x,\;t)$ $D\ gånger [0,\;T],\;D\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0$ $D$ $u(x,\;t)$ $D$

Anteckningar

↑ Fick A. , Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem. - 1855. - 170 (4. Reihe 94). - s. 59-86.

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen