Landau-Lifshitz ekvation (magnetism)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 december 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Landau-Lifshitz- ekvationen är en ekvation som beskriver magnetiseringens rörelse i kontinuummodellens approximation i fasta ämnen . Först introducerad av L. D. Landau och E. M. Lifshitz 1935 .

Formulering

För ett icke- dissipativt medium och i frånvaro av en spin-polariserad ström, skrivs Landau-Lifshitz-ekvationen vanligtvis som

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)

var är densiteten av det magnetiska momentet (magnetisering), är någon fenomenologisk konstant, är det så kallade effektiva magnetfältet. $\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)$ $\gamma$ $\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)$

Ekvationen används främst för ferro- och ferrimagneter . I det allmänna fallet sammanfaller konstanten inte med det gyromagnetiska förhållandet och bör, inom ramen för den fenomenologiska teorin, betraktas som en kvantitet som bestäms från experimentet. Deras skillnad beror på bidraget från omloppsmoment . Därför, förutsatt att de magnetiska jonerna är i -tillståndet (det vill säga att det inte finns några omloppsmoment), kan det anses vara lika med det gyromagnetiska förhållandet med en hög grad av noggrannhet [1] . Detta görs för CdCr 2 Se 4 , yttriumjärngranat Y 3 Fe 5 O 12 , permalloy Fe 20+x Ni 80-x och de flesta andra ferro- och ferrimagnetiska material. $\gamma$ $S$ $\gamma$

Det effektiva magnetfältet definieras som variationsderivatan av den fria energin med avseende på det magnetiska momentet [2]

\mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)

I fallet när en magnet anses vara långt från Curie-temperaturen eller vid nolltemperatur, är den fria energin lika med den interna energin . $F$ $E$

I formulering (1) är magnetiseringsvektorns längd bevarad. Detta kan enkelt visas genom att multiplicera båda sidor av (1) skalärt med , vilket ger $\mathbf {M}$

\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)

Detta faktum ger anledning att tala om magnetiseringens precession.

En rigorös härledning av rörelseekvationen för magnetiseringen i kontinuumapproximationen är omöjlig [3] , därför postuleras ofta möjligheten till en formell övergång från rörelseekvationen för spinoperatorn ${\mathbf S}_{n}$

i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)

till ekvation (1) genom att ersätta och expandera magnetiseringsfältet nära punkten i en Taylor-serie [4] . Här är kommutatorn , är Hamiltonian , är spinnoperatorn för den n:e gitterplatsen och är dess radievektor, är gitterkonstanten , är Bohr-magneten . $\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)$ $\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})$ $\mathbf r_n$ $[\bullet,\bullet]$ $\mathcal H$ ${\mathbf S}_{n}$ $\mathbf r_n$ $a$ $\mu _{B}$

Ändringar

Redovisning av förlust, effekten av temperatur eller spinnpolariserade strömmar kräver en modifiering av den ursprungliga ekvationen (1), som vanligtvis reduceras till utseendet av ytterligare termer på höger sida av (1). Avslappningstermer kan ha olika dimensioner och olika antal parametrar. Men för en ungefärlig beskrivning av processerna i ferromagneter med en liten dissipation kan en ekvation i någon av följande former användas [5] . Var och en av dem kan konverteras till en annan.

Avslappningsterm i Landau-Lifshitz-formen

Landau och Lifshitz föreslog [6] följande ändring:

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\vänster[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\right],\qquad (5)

var är förlustparametern. Ibland tas värdet som förlustparameter . $\lambda$ $\lambda_1=|\gamma|\lambda$

Landau-Lifshitz-Hilbert-ekvationen

Hilberts avslappningsterm används ofta:

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}\left[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t} \right],\qquad (6)

var är förlustparametern. En formell övergång mellan ekvationerna (5) och (6) kan göras genom att ersätta $\alfa$

\gamma\to \frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\to \frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)

I samband med det negativa värdet på det gyromagnetiska förhållandet finns definitioner av relaxationsparametrar med motsatta tecken i (5) och (6) [7] .

Bloch-Blomergens ekvation

Ett exempel på en ekvation med dissipation som tillåter en förändring av magnetiseringsvektorns längd är den modifierade Bloch -ekvationen eller Bloch- Blomergen-ekvationen :

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff))] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff)))\qquad (8)

var är den så kallade statiska susceptibiliteten, definierad som förhållandet mellan mättnadsmagnetiseringen och det effektiva fältets absoluta värde, och är relaxationsfrekvensen. $\chi_0$ $\omega_r$

Inverkan av spin-polariserad ström

Den spinnpolariserade strömmen beskrivs vanligtvis med en ytterligare term på höger sida av (1) av formuläret . Ett av tillvägagångssätten till dess specifikation [8] är att expandera vektorn längs axlarna riktade längs , och . Här är enhetsvektorn längs magnetiseringen av referensskiktet. Om man antar att längden på magnetiseringsvektorn inte ändras kommer den första projektionen att vara lika med noll och de andra två $|\gamma|\mathbf T$ $|\gamma|\mathbf T$ $\mathbf {M}$ $[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$ $\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))]$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))],\quad \mathbf T_{ \perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)

där koefficienterna och är proportionella mot strömtätheten, beroende på parametrarna för den polariserande strukturen och vinkeln mellan och . $a_J$ $b_J$ $\mathbf {M}$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

Andra former av skrivande

För analytisk analys skrivs oftast Landau-Lifshitz-ekvationen i det sfäriska koordinatsystemets vinkelvariabler och . I detta fall kan magnetiseringsvektorn representeras som $\theta$ $\phi$

M_{x}+iM_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi },\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta ,

var är mättnadsmagnetiseringen. För att passera in (6) till vinkelvariablerna multiplicerar vi ekvationen med variationen av magnetiseringen , och uttrycker i vinkelvariablerna projektionen av vänster sida på applikataxeln. Vi får vidare genom att skriva energi- och magnetiseringsvariationerna i termer av vinkelvariationer $Fröken$ $\delta \mathbf M$

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)

Att erhålla ekvationer i vinkelvariabler som innehåller ytterligare termer görs på liknande sätt. Så för att skriva i Landau-Lifshitz-Hilbert-formen har vi

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2 \theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{ \delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)

Se även

Anteckningar

↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetiska oscillationer och vågor. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 s., - ISBN 5-02-014366-9 på s. 17.
↑ Skrotsky, G.V. Än en gång om Landau-Lifshitz ekvation. UFN Arkiverad 30 april 2011 på Wayback Machine
↑ Mer detaljerat övervägdes denna fråga till exempel i Akhiezer A.I., Baryakhtar V.G. Peletminsky S.V. Spin waves., M .: Nauka, 1967, - 368 sid. på s. 44 och Herring C., Kittel C, Om teorin om spinnvågor i ferromagnetiska medier. — Fysisk. Rev., 1951, 81 nr 5, sid. 869-880.
↑ I det här fallet är de vanligtvis begränsade till termer av den andra ordningen av litenhet, eftersom i fallet när varje nod i gittret är dess symmetricentrum, försvinner termen som innehåller den första derivatan med avseende på koordinaten.
↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetiska oscillationer och vågor. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 s., - ISBN 5-02-014366-9 på sidan 27.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Om teorin om spridning av ferromagnetiska kroppars magnetiska permeabilitet // Landau L. D. Samlade verk i 2 volymer. Ed. E. M. Lifshitz. M.: Nauka, 1969. T. 1. S. 128
↑ Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Magnetiska domäner: analys av magnetiska mikrostrukturer . - Springer, 1998. - S. 557. - ISBN 3540641084 . Arkiverad 20 augusti 2021 på Wayback Machine på sidan 151.
↑ Zvezdin A.K., et al. Generaliserad Landau-Lifshitz-ekvation och processer för spinnmomentumöverföring i magnetiska nanostrukturer . [UFN, 178, sid. 436–442 (2008) [1] Arkiverad 13 april 2010 på Wayback Machine

Litteratur

Akhiezer, A. I., Baryakhtar, V. G. Peletminsky, S. V. Spin waves., M .: Nauka, 1967, - 368 sid.
Gurevich, A. G., Melkov, G. A. Magnetiska oscillationer och vågor. M.: Fizmatlit, 1994. - 464 s., ISBN 5-02-014366-9 .
Zavislyak, I. V., Tychinsky, A. V., Fysiska grunder för funktionell mikroelektronik. K .: UMK VO, 1989, - 105. sid.
Zvezdin, A. K., Zvezdin, K. A., Khvalkovskiy, A. V. Generaliserade Landau-Lifshitz-ekvationer och processer för spinnmomentumöverföring i magnetiska nanostrukturer. UFN, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Om teorin om spridningen av den magnetiska permeabiliteten hos ferromagnetiska kroppar. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, s. 153-169.
Skrotsky, G. V. Än en gång om Landau-Lifshitz-ekvationen. UFN
Gilbert, T. En fenomenologisk teori om dämpning i ferromagnetiska material. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Magnetiska domäner: analys av magnetiska mikrostrukturer . - Springer, 1998. - S. 557. - ISBN 3540641084 .

Länkar

OOMMF - The Object-Oriented Micromagnetic Framework är ett gratis mjukvarupaket för mikromagnetisk modellering skrivet i C++ och Tcl / Tk .
ferromagnetiska domäner

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen