Navier-Stokes ekvationer

Navier-Stokes ekvationer är ett system av partiella differentialekvationer som beskriver rörelsen av en trögflytande Newtonsk vätska . Navier-Stokes ekvationer är bland de viktigaste inom hydrodynamik och används i matematisk modellering av många naturfenomen och tekniska problem. Uppkallad efter den franske fysikern Henri Navier och den brittiske matematikern George Stokes .

När det gäller en inkompressibel vätska består systemet av två ekvationer:

Inom hydrodynamik kallas Navier-Stokes ekvation vanligtvis endast för en vektorrörelseekvation [1] [2] [3] [4] [5] [6] . Navier-Stokes ekvation erhölls först av Navier (1822, inkompressibel vätska [7] ) och Poisson (1829, komprimerbar vätska [8] ), som utgick från modellkoncept för molekylära krafter. Senare gavs den fenomenologiska härledningen av ekvationen av Saint-Venant [9] och Stokes [10] .

I vektorform för en vätska skrivs de enligt följande:

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=-({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {f)),

var är nabla-operatorn , är Laplace-vektoroperatorn , är tiden, är den kinematiska viskositetskoefficienten , är densiteten , är trycket , är vektorhastighetsfältet , är vektorfältet för kroppskrafter . De okända och är funktioner av tid och koordinat , där , är ett platt eller tredimensionellt område där vätskan rör sig. $\nabla$ $\Delta$ $t$ $\nu$ $\rho$ $sid$ ${\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})$ ${\vec {f}}$ $sid$ $\vec{v}$ $t$ $x\in \Omega$ $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $n=2,\;3$

För en inkompressibel vätska bör Navier-Stokes ekvationer kompletteras med inkompressibilitetsekvationen :

\nabla \cdot {\vec {v}}=0.

Vanligtvis läggs gräns- och initialvillkor till i Navier-Stokes ekvationssystem, till exempel:

{\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,

{\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.

Ibland inkluderar systemet med Navier-Stokes ekvationer dessutom värmeekvationen och tillståndsekvationen.

När komprimerbarheten tas med i beräkningen tar Navier-Stokes ekvationer följande form:

\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}} \right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i))}+{\frac {\partial }{\partial x_{k))}\left\{\eta \left({\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}} \delta _{ik}{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right\}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}} \left(\zeta {\frac {\partial v_{l)){\partial x_{l))}\delta _{ik}\right),

var är den dynamiska viskositetskoefficienten (skjuvviskositet ) , är den "andra viskositeten ", eller bulkviskositeten , är Kronecker delta . Denna ekvation, under villkoret av konstanta viskositeter , reduceras till vektorekvationen $\eta$ $\zeta$ $\delta_{ik}$ $\eta$ $\zeta$

\rho \left({\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))\ höger)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\left(\zeta +{\frac {\eta}{3))\right)\nabla \operatörsnamn {div} {\vec { v}}.

Kontinuitetsekvationen för en komprimerbar vätska tar formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot (\rho {\vec {v)))=0.

Analys och lösning av ekvationer

Analysen av lösningar till ekvationer är kärnan i ett av de sju " millennieproblemen ", för vilket Clay Mathematical Institute har tilldelat ett pris på 1 miljon US$. Det är nödvändigt att bevisa eller motbevisa existensen av en global smidig lösning av Cauchy-problemet för de tredimensionella Navier-Stokes-ekvationerna. Att hitta en generell analytisk lösning av Navier-Stokes-systemet för ett tredimensionellt eller plant flöde är komplicerat av det faktum att det är icke-linjärt och starkt beror på initial- och randvillkoren.

Några exakta lösningar:

Stationära flöden i enkla kanaler ( Poiseuille flow , Couette-Taylor flow , Couette flow , etc.).
Solitoner och icke-linjära vågor . En vanlig solitonburk vara en lösning på systemet under mycket komplexa randvillkor. Det observerades först experimentellt i en kanal av ingenjör Scott Russell.
En lösning som existerar under en begränsad tid (de så kallade "blow-up-regimerna"). Denna hypotes lades fram av Jean Leray 1933 . Han föreslog att turbulens ( kaos ) i en vätska bildas på grund av bildandet av punkter eller en virvelfilament, på vilken någon komponent av hastigheten blir oändlig.
Ljudvibrationer . För små vågamplituder blir de också en lösning . De icke-linjära termerna i ekvationen kan förkastas eftersom de inte påverkar lösningen. Lösningen är de harmoniska funktionerna hos sinus eller cosinus, det vill säga ljudvibrationer.

Grundläggande egenskaper för Navier-Stokes-systemet

När Reynolds-talet överstiger ett visst kritiskt värde ger den analytiska exakta lösningen för ett rumsligt eller platt flöde ett kaotiskt flödesmönster (den så kallade turbulensen ). I ett särskilt fall är det förknippat med Feigenbaum-teorin eller andra scenarier för övergången till kaos. När Reynolds-talet sjunker under det kritiska värdet ger lösningen återigen en icke-kaotisk form av flöde.
Exceptionell känslighet för förändringar i ekvationens koefficienter under turbulenta förhållanden: när Re-talet ändras med 0,05 % är lösningarna helt olika varandra.

Applikation

Genom att kompletteras med ekvationerna värmeöverföring och massöverföring , såväl som motsvarande kroppskrafter, kan systemet med Navier-Stokes ekvationer beskriva konvektion , termisk diffusion i vätskor, beteendet hos flerkomponentblandningar av olika vätskor, etc.

Om emellertid Lorentzkraften introduceras i ekvationen som en kroppskraft och systemet kompletteras med Maxwells ekvationer för fältet i ett kontinuerligt medium, så tillåter modellen att beskriva fenomenen elektro- och magnetohydrodynamik . I synnerhet används sådana modeller framgångsrikt för att modellera beteendet hos plasma , interstellär gas .

Navier-Stokes ekvationssystem ligger till grund för geofysisk hydrodynamik , inklusive att användas för att beskriva flöden i jordens mantel ( "dynamoproblem " ).

Variationer av Navier-Stokes ekvation används också i dynamisk meteorologi för att beskriva rörelsen av atmosfäriska luftmassor, i synnerhet när man bildar en väderprognos. För att beskriva verkliga flöden i olika tekniska enheter kan en acceptabel noggrannhet av den numeriska lösningen endast erhållas med ett sådant beräkningsnät, vars celler är mindre än den minsta virveln. Detta kräver en mycket stor utgift av uppskattad tid på moderna datorer. Därför har olika turbulensmodeller skapats för att förenkla beräkningen av verkliga flöden.

Se även

Anteckningar

↑ Sedov L.I. Kontinuummekanik . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 sid. Arkiverad 28 november 2014 på Wayback Machine
↑ Landau, Lifshitz, sid. 73.
↑ L. Prandtl [libgen.org/book/index.php?md5=9B89B99CB6361E775F97B48B9F816F25 Fluid Aeromechanics]. - M.-Izhevsk: NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - P. 147. - 576 sid. — ISBN 5-93972-015-2 . (inte tillgänglig länk)
↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Theoretical hydromechanics . - M. : Fizmatlit, 1963. - T. 2. - S. 387. - 728 sid. Arkiverad 26 augusti 2014 på Wayback Machine
↑ Batchelor J. Introduktion till vätskedynamik / Per. från engelska. ed. G. Yu. Stepanova . - M . : Mir, 1973. - S. 194. - 760 sid. Arkiverad 26 augusti 2014 på Wayback Machine
↑ Navier-Stokes ekvationer - artikel från Great Soviet Encyclopedia . Targ S. M. .
↑ Navier. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides (franska) // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. - 1822. - Vol. 6 . Arkiverad från originalet den 7 december 2013.
↑ Poisson. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides (franska) // Journal de l'École Polytechnique. - 1831. - Vol. 13 . Arkiverad från originalet den 7 december 2013.
↑ Saint-Venant. Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 april 1834 (franska) // Comptes rendus. - 1843. - Vol. 17 , nr 22 . _ Arkiverad från originalet den 7 december 2013.
↑ Stokes. Om teorierna om inre friktion av vätskor i rörelse, och om jämvikten och rörelsen hos elastiska fasta ämnen (engelska) // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1845. - Vol. 8 . Arkiverad från originalet den 7 december 2013.

Litteratur

Temam R. Navier-Stokes ekvationer. Teori och numerisk analys. - 2:a uppl. — M .: Mir, 1981. — 408 sid.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. - 4:e upplagan, stereotypt. — M .: Nauka , 1988. — 736 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hydrodynamik och värmeöverföring under förångning. - 3:e uppl., Rev. - M . : Högre skola, 1986. - 448 sid.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Kemisk hydrodynamik. - M. : Quantum, 1996. - 336 sid. - 1500 exemplar.
Durmagambetov A. A. Navier-Stokes ekvationer—Millenniumprisproblem // Asset A. Durmagambetov, Leyla S. Fazilova Naturvetenskap. Vetenskaplig forskning ett akademiskt förlag. - 2015. - T. 7 , nr 2 . - S. 88-99 . - doi : 10.4236/ns.2015.72010 .

Länkar

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen