Diskontinuerlig Galerkin-metod

Den diskontinuerliga Galerkin-metoden ( förkortat DGM ) är en metod för att lösa operatorekvationer, främst differentialekvationer. Det är en utveckling av den klassiska finita elementmetoden (FEM), baserad på den variationsmässiga formuleringen av Galerkin .

Metodens historik

Den diskontinuerliga Galerkin-metoden föreslogs först i början av 70-talet av XX-talet som en metod för att lösa partiella differentialekvationer , 1973 föreslog Reid och Hill en variant av metoden för att lösa den hyperboliska neutrontransportekvationen. Den första formuleringen av en metod för att lösa elliptiska problem kan inte fastställas av en enda publikation, men utvecklingen av metoden var starkt influerad av Ivo Babushka (engelska) och Jacques-Louis Lions (engelska) . För ekvationer av fjärde ordningen introducerades en variant av metoden av Baker 1977. Han har också sin utveckling av metoden att tacka för publikationerna av Arnoldi, Brezzi, Cockburn och Marini.

Grundläggande definitioner

Det sista elementet är en trippel av utrymmen , där: $\Sigma$ $(K,~P,~L)$

$K$ - geometriskt ändligt element - en uppsättning punkter i rymden (ofta, när de säger "ändligt element", menar de exakt denna mängd);
$P$ - uppsättning koordinatfunktioner - grunden för utrymmet som kommer att approximera lösningen;
$L$ — uppsättningen av frihetsgrader — grunden för det dubbla rummet. . $L=P^{*}$

Idén med metoden och skillnaden från FEM

Tänk på idén om en metod för att lösa andra ordningens differentialekvationer i domänen . Till skillnad från Galerkin-metoden, där formuleringen utförs i en svag form, i DGM, utförs formuleringen i en svag svag form (ultra svag variationsformulering ) . Vi representerar den ursprungliga ekvationen i form av två första ordningens ekvationer. Beroende på ekvationernas karaktär kan detta göras på flera sätt, vilket kommer att leda till olika variationsformuleringar. Därefter bygger vi ett rutnät på beräkningsdomänen , utför Galerkin-variationssatsen för varje underdomän, och fyra utrymmen kommer att användas: två utrymmen (koordinat och projektion) för själva funktionen och två för dess derivata. Därefter summeras ekvationerna över hela regionen, och ett av de resulterande systemen av två ekvationer exkluderas på något sätt. Denna beskrivning är mycket generell och tvetydig, eftersom metoden alltid anpassas till specifika problem och att erhålla ett ultrasvagt variationspåstående beror på processens karaktär och syftet med att lösa ekvationen. $\Omega$
${\displaystyle K=\left\{K_{i}\right\}:K_{i}\cap K_{j}=\varnothing ,\Omega =\bigcup K_{i))$

Till skillnad från den klassiska FEM är metoden inte konform, det vill säga den resulterande lösningen kan vara diskontinuerlig, vilket är ett plus i problem där lösningen har skarpa hopp (det vill säga diskontinuerligt eller nära sig), dock i fallet med en smidig lösning, ytterligare ansträngningar för att göra den resulterande numeriska approximationen smidig. Metoden är också bekväm när man arbetar med inkonsekventa rutnät och med baser av olika ordning på elementen, eftersom den inte kräver ytterligare koordinering (vilket måste göras i den klassiska metoden).

Exempel på specifika typer av ekvationer

Värmeekvation

Tänk på det enklaste fallet med den stationära värmeekvationen:

$-\Delta u=f~in~\Omega$
$u=g~on~\partial \Omega$

$\lambda$ är den termiska konduktivitetskoefficienten, är den högra sidan av ekvationen. Låt oss utföra ersättningen och därigenom reducera andra ordningens ekvation till två första ordningens ekvationer: $f=f(x,y,z)$
$\nabla u=\sigma$

$\left\{{\begin{array}{lcr}\nabla u=\sigma \\-\nabla \cdot \sigma =f\\\end{array}}\right.$

På beräkningsdomänen introducerar vi Lebesgue-utrymmet med motsvarande skalära produkt: . Och motsvarande finita elementutrymmen: - utrymmet för skalära funktioner, för att approximera lösningen - utrymmet för vektorfunktioner för att approximera lösningens gradient De introducerade utrymmena är Sobolev-rum (skalär och vektor) med motsvarande norm. Från dessa utrymmen väljer vi testfunktioner och för varje ekvation vi utför Galerkin-satsen på ett separat element får vi ett ekvationssystem i en svag form [1] : $L_{2}(\Omega )$ $(u,v)=\int _{\Omega }uvd\Omega$
$V_{h}=\left\{v\in L_{2}(\Omega ):v\in P_{i},\forall K_{i}\in K\right\}$
$\Sigma _{h}=\left\{\tau \in [L_{2}(\Omega )]^{3}:\tau \in \Sigma _{i},\forall K_{i} \in K\right\}$
$v,\tau$

$\left\{{\begin{array}{lcr}\int _{K_{i}}\sigma \cdot \tau dx\ =-\int _{K_{i}}u\nabla \cdot \ tau dx\ +\int _{\partial K_{i}}{\hat {u}}_{K_{i}}(n_{K_{i}}\cdot \tau )ds\ ~\forall \tau \ i \Sigma _{i}\\\int _{K_{i}}\sigma \cdot \nabla vdx\ =\int _{K_{i}}fvdx\ +\int _{\partial K_{i}} ({\hat {\sigma }}_{K_{i}}\cdot n_{K_{i}})vds\ ~\forall v\in V_{i}\\\end{array}}\right.$

Funktioner är numeriska strömmar som kan definieras på olika sätt (som leder till olika metoder) och måste uppfylla följande villkor: ${\hat {u)),{\hat {\sigma ))$

Numeriska flöden är unika vid gränsen $\partial \Omega$
Numeriska flöden kan representeras som: , där är en jämn funktion som uppfyller de givna första randvillkoren. ${\displaystyle {\hat {u}}(v)={\Bigl .}v{\Bigl |}_{\partial \Omega },~{\hat {\sigma }}(v,\nabla v)= {\Bigl .}\nabla v{\Bigl |}_{\partial \Omega ))$ $v$

För att förenkla notationen introduceras medeloperatorn och hoppoperatorn, som bestämmer beteendet hos funktioner på gränsen för element:

Medel- och hoppoperatorer [2]
Genomsnittlig operatör	hoppoperatör	Omfattning
$\left\langle v\right\rangle =(v_{i}+v_{j})/2$	${\displaystyle [v]=v_{i}n_{i}+v_{j}n_{j))$	${\displaystyle \Gamma _{ij}=\partial K_{i}\cap \partial K_{j))$
${\displaystyle \left\langle v\right\rangle =v_{i))$	${\displaystyle [v]=v_{i}n_{i))$	$\partial \Omega$
$\left\langle \tau \right\rangle =(\tau _{i}+\tau _{j})/2$	${\displaystyle [\tau ]=\tau _{i}\cdot n_{i}+\tau _{j}\cdot n_{j))$	${\displaystyle \Gamma _{ij))$
${\displaystyle \left\langle \tau \right\rangle =\tau _{i))$	${\displaystyle [\tau ]=\tau _{i}\cdot n_{i))$	$\partial \Omega$

Nu summerar vi alla ekvationer som erhållits för varje underdomän och får två ekvationer för hela domänen:

$\left\{{\begin{array}{lcr}\int _{\Omega }\sigma \cdot \tau dx\ =-\int _{\Omega }u\nabla \cdot \tau dx\ + \sum _{K_{i}\in K}\int _{\partial K_{i}}{\hat {u}}_{K_{i}}(n_{K_{i}}\cdot \tau ) ds\ ~\forall \tau \in \Sigma _{h}\\\int _{\Omega }\sigma \cdot \nabla vdx\ =\int _{\Omega }fvdx\ +\sum _{K_{i }\in K}\int _{\partial K_{i}}({\hat {\sigma }}_{K_{i}}\cdot n_{K_{i}})vds\ ~\forall v\in V_{h}\\\end{array}}\höger.$

Låt oss använda egenskapen [3] : och som ett resultat får vi en ultrasvag variationsinställning för den ursprungliga ekvationen: $\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}v(\tau \cdot n_{K_{i}})ds\ =\summa _{K_{i}}\ int _{\partial K_{i))([v]\cdot \left\langle \tau \right\rangle +\left\langle v\right\rangle [\tau ])ds\$

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla vdx\ +\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}{[{\hat {u}}- u]\cdot \left\langle \nabla v\right\rangle ds}+\summa _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}{\left\langle {\hat {u}} -u\right\rangle [\nabla v]ds}=\int _{\Omega }{fvdx}+\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}{[v]\ left\langle {\hat {\sigma }}\right\rangle ds}+\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}{\left\langle v\right\rangle [\ sigma ]ds},~\forall v\in V_{h}$

Det återstår att bestämma de numeriska flödena. Definitionen av numeriska flöden är relaterad till uppgiften och kraven på lösningen och leder till olika metoder, till exempel:

Funktion och omfattning	IP-metod [4]	Stabiliserad IP-metod	NIPG [5]
${\hat {u))$ på $\partial \Omega$	${\hat {u}}=0$
${\hat {u))$ på ${\displaystyle \partial K_{i))$	${\hat {u}}=\langle u\rangle$		${\hat {u}}=\langle u\rangle +n_{K_{i}}\cdot [u]$
${\hat {\sigma ))$ på och på $\partial \Omega$ ${\displaystyle \partial K_{i))$	${\hat {\sigma }}=\langle \nabla u\rangle$	${\hat {\sigma }}=\left\langle \nabla u\right\rangle +c[u],~c-const$

Maxwells ekvationer i harmoniskt läge

Tillvägagångssättet för att konstruera ett ultrasvagt variationspåstående för Maxwells ekvationer kan vara annorlunda: ett system av första ordningens ekvationer kan erhållas direkt från själva Maxwell-ekvationerna eller genom att reducera dessa ekvationer till Helmholtz-ekvationen och sedan göra en ersättning liknande ersättningen för värmeekvationen, erhållande av ett första ordningens system. I det här fallet kommer vi att använda den första metoden. Maxwells ekvationssystem i harmoniskt läge med frekvens , i ett av de enklaste fallen ser ut som: $\omega$

$\left\{{\begin{array}{lcr}-i\omega \epsilon \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =0\\-i\omega \mu \mathbf { H} +\nabla \times \mathbf {E} =0\\\end{array}}\right.$

Båda ekvationerna utförs i beräkningsdomänen . Gränsvillkor: . Vi multiplicerar båda ekvationerna skalärt med testfunktioner definierade på motsvarande element . Funktioner från samma utrymme kommer att användas som grundläggande. För att bestämma dem använder vi det angränsande systemet för Maxwells ekvationer [6] : $\Omega$ $\mathbf {E} \times \mathbf {n} =-2\mathbf {g}$ $\mathbf {\xi ^{K_{i))} ,\mathbf {\psi ^{K_{i))}$ $K_{i}\in K$

$\left\{{\begin{array}{lcr}i\omega \epsilon \mathbf {\xi ^{K_{i))} +\nabla \times \mathbf {\psi ^{K_{i} )) =0\\i\omega \mu \mathbf {\psi ^{K_{i))} -\nabla \times \mathbf {\xi ^{K_{i))} =0\\\end{array }}\höger.$

Båda ekvationerna i detta system är skrivna för ett element . Genom att multiplicera varje ekvation i systemet med en testfunktion, transformera dem med en analog av Greens formel och lägga till, får vi följande uttryck: $K_{i}$

$\int _{K_{i}}{\left(\mathbf {E} \cdot {\overline {i\omega \epsilon \mathbf {\xi ^{K_{i}}} +\nabla \times \mathbf {\psi ^{K_{i}}} }}+\mathbf {H} \cdot {\overline {i\omega \mu \mathbf {\psi ^{K_{i}}} -\nabla \times \mathbf {\xi ^{K_{i))} }}\right)dx}=\int _{\partial K_{i}}{\left(\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {H} \cdot \mathbf {\xi ^{K_{i))} -\mathbf {n^{K_{i))} \times \mathbf {E} \cdot \mathbf {\psi ^{K_ {i}}} \right)ds}$

Med hänsyn till ekvationssystemet för testfunktioner förenklas detta uttryck till:

$\int _{\partial K_{i}}{\left(\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {H} \cdot \mathbf {\xi ^{K_{i} }} -\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {E} \cdot \mathbf {\psi ^{K_{i}}} \right)ds}=0$

Låt oss presentera notationen:

Vektor	matriser
$\mathbf {u^{K_{i))} ={\binom ({\Bigl .}\mathbf {E} {\Bigr \|}_{K_{i))}{{\Bigl .}\ mathbf {H} {\Bigr \|}_{K_{i))))~~\mathbf {\phi ^{K_{i))}={\binom {\mathbf {\xi ^{K_{i)) } }{\mathbf {\psi ^{K_{i))} }}$	$Z^{K_{i}}={\begin{pmatrix}0&n_{3}^{K_{i}}&-n_{2}^{K_{i}}\\-n_{3}^ {K_{i}}&0&n_{1}^{K_{i}}\\n_{2}^{K_{i}}&-n_{1}^{K_{i}}&0\end{pmatrix}}$
$\chi ^{K_{i}}={\Bigl .}L^{K_{i},+}\mathbf {u^{K_{i}}} {\Bigr \|}_{\partial K_ {i}}~~\gamma ^{K_{i}}={\Bigl .}L^{K_{i},+}\mathbf {\phi ^{K_{i}}}{\Bigr \|}_ {\partial K_{i))$ $F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})={\Bigl .}-L^{K_{i},-}\mathbf {\phi ^{K_{i}} } {\Bigr \|}_{\partial K_{i))$	$D^{K_{i}}{\begin{pmatrix}0&(Z^{K_{i}})^{T}\\Z^{K_{i}}&0\end{pmatrix}}$ $L^{K_{i},\pm }={\frac {1}{\sqrt {2\sigma ))}\left(Z^{K_{i)),~\pm \sigma (Z ^{K_{i}})^{2}\right)$

Nu är problemet ställt som att hitta vektorer för alla element som uppfyller följande ekvationer [6] : $\chi ^{K_{i))$

$\int _{\partial K_{i}}{\chi ^{K_{i}}\cdot {\overline {\gamma ^{K_{i}}}}ds}-\sum _{\Gamma _{ij}=\partial K_{i}\cap \partial K_{j}\neq \varnothing }\int _{\Gamma _{ij)){\chi ^{K_{j))\cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})}}ds}-\sum _{\Gamma _{i}=\partial K_{i}\cap \partial \Omega \neq \ varnothing }\int _{\Gamma _{i}}{\chi ^{K_{i}}\cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})))} ds }=\int _{\partial K_{i}}{\mathbf {g} \cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})))ds}~~ \ forall \gamma ^{K_{i}}$

Om de ursprungliga ekvationerna hade en högersida i den slutliga ultrasvaga formuleringen, skulle ytterligare termer dyka upp i form av integraler över själva slutelementet. Det speciella med metoden är att efter att ha erhållit lösningen av systemet är det nödvändigt att lösa en annan för att få vektorn , men efter att ha hittat den känner vi omedelbart igen värdena för de två komponenterna i det elektromagnetiska fältet : och . Detta påstående kan fortfarande transformeras genom att omedelbart få en ekvation för vektorn . $\mathbf{u}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf{u}$

Litteratur

Arnold DN, Brezzi F., Cocburn B., Mariri D. "Enhetlig analys av DCM för elliptiska problem", 2002

Anteckningar

↑ Yu. I. Shokin , E. P. Shurina , N. B. Intkina. Moderna multigrid-metoder. - NSTU, 2012. - 98 sid. - ISBN 978-5-7782-2119-2 .
↑ Funktionernas värden tas som gränsen till gränsen från områdets insida, d.v.s. var är enhetens utåtnormala. $v_{i}=v_{i}^{-}=lim_{\epsilon \to 0+}v(x-\epsilon n_{K_{i)))$ $n_{K_{i))$
↑ Arnold D.N. , Brezzi F. , Cocburn B. , Mariri D. Enad analys av DCM för elliptiska problem. – 2002.
↑ Engelska. Internstraff , internstraffmetod, Baumann-Oden-metoden
↑ Icke-symmetrisk IP-metod
↑ 1 2 T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Lösa Maxwells ekvationer med hjälp av ultrasvag variationsformulering . – 2006.

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder