Ändlig skillnadsmetod

Den finita differensmetoden är en numerisk metod för att lösa differentialekvationer baserad på ersättning av derivator med differensscheman . Det är en rutnätsmetod.

Finita skillnadsmetod för att lösa elliptiska problem

För att lösa det elliptiska problemet med finita differensmetoden byggs ett rutnät på beräkningsdomänen, sedan väljs ett differensschema och en differensekvation skrivs för varje rutnätsnod (analogt med den ursprungliga ekvationen, men med ett differensschema), då beaktas gränsvillkoren (för gränsvillkor av det andra och tredje slaget konstrueras också ett visst skillnadsschema). Det visar sig ett system av linjära algebraiska ekvationer som löser vilka i svaret de får ungefärliga värden på lösningen vid noderna.
Huvudproblemet med metoden är konstruktionen av ett korrekt skillnadsschema som kommer att konvergera till lösningen. Schemat är konstruerat utifrån egenskaperna hos den ursprungliga differentialoperatören.

Jämförelse med finita elementmetoden

En annan metod för att lösa elliptiska problem är finita elementmetoden , som har både fördelar och nackdelar jämfört med finita differensmetoden.

Fördelar med MKR	Fördelar med FEM
För enkla problem är konstruktionen av ett skillnadsschema snabbare	Metoden är projektion, det vill säga stabil Låter dig arbeta med geometriskt mer komplexa områden Lösningen är omedelbart en funktion och värdena vid vilken punkt som helst kan beräknas omedelbart (i MCS måste du först bygga en spline)

Exempel

Låt ett endimensionellt elliptiskt problem ges:

$-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]$
$u(0)=u(1)=0$

Låt oss bygga ett rutnät med ett konstant steg . För approximation kommer vi att välja en trepunktsmall, det vill säga för att approximera derivatan vid en punkt kommer vi att använda poäng . Då ser differensekvationen ut så här: $h={\frac {1}{4}}$ $x_i$ $\left\{x_{{i-1}},x_{i},x_{{i+1}}\right\}$

${\frac {-u_{{i-1}}+2u_{i}-u_{{i+1}}}{h^{2}}}=f_{i},~i=1,2,3$

Med tanke på randvillkoren kommer systemet med linjära ekvationer av formen , för att hitta en lösning, se ut så här: $Au=b$

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-16&32&-16&0&0\\0&-16&32&-16&0\\0&0&-16&32&-16\\0&0&0&0&1\\\\end{pmatrix{}}~~b=b {pmatrix}0\\f({\frac {1}{4)))\\f({\frac {1}{2)))\\f({\frac {3}{4)))\ \0\\\end{pmatrix}}$ .

Finita skillnadsmetod för att lösa icke-stationära problem

Att lösa problem med finita differensmetoden, när processen förändras i tid, är en iterativ process - vid varje iteration hittar vi en lösning på ett nytt tidslager. För att lösa sådana problem används explicita, implicita scheman och en prediktorkorrigerare (ett par speciellt utvalda explicita och implicita scheman). Explicita scheman och prediktor-korrigeringsscheman räknar helt enkelt om värdet med hjälp av information från tidigare tidslager, användningen av ett implicit schema leder till lösningen av en ekvation (eller ekvationssystem).
För paraboliska och hyperboliska ekvationer används ofta blandningsmetoder - tidsderivator approximeras med hjälp av ett differensschema, och rymdoperatorn approximeras med en finita elementformulering [1] .

Ett exempel på att lösa en vanlig differentialekvation

Låt en ekvation ges med initialvillkoret . För att lösa använder vi följande skillnadsscheman: ${\frac {du}{dt}}=u$ $u(0)=1$

Explicit Euler-schema . Differensekvation: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i}}-u_{{i-1} }}{h}}$ $u_{{i+1}}={\frac {1}{1-h}}u_{{i}}$
Implicit Euler-schema . Differensekvation: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i+1}}-u_{{i} }}{h}}$ $u_{{i+1}}=(1+h)u_{i}$

Med steg . Den exakta lösningen är exponenten : $h=0,25$ $u=e^{t}$

Resultatet av beräkningen för de första stegen
t värde	Exakt lösning	Explicit Euler-schema	Implicit Euler-schema
$0,25$	$1,28...$	$1,25$	$1.33...$
$0,50$	$1,64...$	$1,56...$	$1,77...$
$0,75$	$2.11...$	$1,95...$	$2,36...$

När steget minskar ökar noggrannheten i metoden. Eftersom den ursprungliga ekvationen är en linjär differentialekvation , erhölls för det implicita schemat också en linjär ekvation, från vilken det är möjligt att uttrycka (vilket gjordes) lösningen.

Ett exempel på att lösa en parabolisk ekvation

Detta exempel visar hur finita elementformuleringar och skillnadsscheman kombineras. Låt parabolekvationen ges:

$-\Delta u+{\frac {\partial u}{\partial t))=f({\mathbf {r)),t),~i~\Omega$
$u=g~on~\partial \Omega ,~{\Bigl .}u{\Bigr |}_{{t=0))=\chi ({\mathbf {r)))$

För approximationen i tid, med hjälp av det implicita Euler-schemat, får vi:

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {u^{{i+1}}-u^{{i}}}{\tau }}=f({\mathbf {r}} ,t^{{i+1}})$

Eftersom värdet på det föregående lagret redan är känt, då, när det överförs till höger sida, erhålls en elliptisk ekvation med avseende på : $u^{{i+1}}$

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }}u^{{i+1}}=f^{{i+1}}+{\frac {1} {\tau }}u^{{i}}$

För att lösa denna ekvation kan du tillämpa Galerkin-metoden , då kommer den resulterande SLAE att ha följande form:

$\left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{{i+1}}=b^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }} Mx^{{i}}$ .

Här: är styvhetsmatrisen, är massmatrisen, är vektorn kopplad till höger sida av den ursprungliga ekvationen, är vektorn av vikter för basfunktionerna på lagret numrerat . $G$ $M$ $b$ $x^i$ $i$

Den rumsliga lösningen kan emellertid också sökas med hjälp av ett skillnadsschema, liknande exemplet som visas ovan.

Se även

Litteratur

Samarsky A.A. , Nikolaev E.S. Metoder för att lösa grid-ekvationer. - Moskva: Nauka , 1978. - 592 s.
Stetter H. Analys av diskretiseringsmetoder för vanliga differentialekvationer. - Moskva: Mir , 1978. - 461 sid.

Anteckningar

↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finita elementmetod för skalära och vektorproblem. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 sid. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Ändlig skillnadsmetod
Allmänna artiklar	Ändlig skillnadsmetod skillnadsschema skillnadsekvation
Typer av skillnadsscheman	Euler-metoden Runge-Kutta-metoden Adams metod Werlet integration Tidsdomän ändlig skillnadsmetod

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder