Adams metod

Adams-metoden är en flerstegsmetod med ändlig skillnad för numerisk integration av första ordningens vanliga differentialekvationer . I motsats till Runge-Kutta-metoden , för att beräkna nästa värde för den önskade lösningen, använder den inte ett, utan flera värden som redan har beräknats vid tidigare punkter.

Uppkallad efter den engelske astronomen John C. Adams , som föreslog den 1855 .

Definition

Låt systemet av differentialekvationer av första ordningen ges

{\displaystyle y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0))

för vilket det är nödvändigt att hitta en lösning på ett rutnät med ett konstant steg . Beräkningsformlerna för Adams-metoden för att lösa detta system är följande: [1] $x_{n}-x_{0}=(n-1)h$

a) extrapolering - Adams- Bashforth-metoden

y_{n+1}=y_{n}+h\summa _{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda } )}

b) interpolation eller implicit - Adams -Multon-metod

y_{n+1}=y_{n}+h\summa _{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n- \lambda})}

var finns några beräknade konstanter. $u_{-\lambda },v_{-\lambda }$

För samma formel är b) mer exakt [2] , men kräver att man löser ett icke-linjärt ekvationssystem för att hitta värdet på . I praktiken hittas en approximation från a), och sedan ges en eller flera förfiningar enligt formeln $k$ $y_{n+1}$

y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\summa _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\ lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})

Egenskaper

Adams-metoderna kräver förberäkning av lösningen vid de första punkterna. För att beräkna initialvärdena används vanligtvis enstegsmetoder, till exempel 4-stegs Runge-Kutta-metoden av 4:e noggrannhetsordningen. $k$ $k$

Det lokala felet i Adams-metoderna av den e ordningen är . Felstrukturen i Adams-metoden är sådan att felet förblir begränsat eller växer mycket långsamt vid asymptotiskt stabila lösningar av ekvationen. Detta gör det möjligt att använda denna metod för att hitta stabila periodiska lösningar, i synnerhet för att beräkna himlakropparnas rörelse. $k$ $O(h^{k})$

Adams-Bashforth metoder

Explicita Adams-Bashforth-metoder [3]

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})

, ( Euler - metoden )

{\begin{aligned}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1} )-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\höger),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\vänster({ \frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1 })+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\höger),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\vänster( {\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+ 2 })+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{n })\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n + 4})-{\frac {1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {109}{30}}f(t_{n+2}, y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n },y_{n})\right).\end{aligned}}

Adams-Multon metoder

Implicita Adams-Multon-metoder [3]

y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})

, (implicit Euler-metod)

{\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+ f(t_{n},y_{n})\höger),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\vänster({\frac {5}{12}}f(t_ {n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12} }f(t_{n},y_{n})\höger),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f( t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24 }}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n +4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{ 720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right). \end{aligned}}

Anteckningar

↑ Matematisk encyklopedisk ordbok . - M . : "Ugglor. uppslagsverk" , 1988. - S. 43 .
↑ Interpolation är mer exakt än extrapolering.
↑ 12 Hairer , Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differentialequations I: Nonstiff problems (2nd ed.), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Bibliografi

Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, vol. 2, M., 1959.
Bakhvalov N. S. , Numeriska metoder, 2:a uppl. M. 1975.

Ändlig skillnadsmetod
Allmänna artiklar	Ändlig skillnadsmetod skillnadsschema skillnadsekvation
Typer av skillnadsscheman	Euler-metoden Runge-Kutta-metoden Adams metod Werlet integration Tidsdomän ändlig skillnadsmetod