Interpolation

För funktionen, se: Interpolant .

Interpolation , interpolation ( från lat. inter-polis - " utjämnad, uppdaterad, uppdaterad; transformerad ") - i beräkningsmatematik , hitta okända mellanvärden för en funktion, från en befintlig diskret uppsättning av dess kända värden, på ett visst sätt . Termen "interpolation" användes först av John Vallis i hans avhandling The Arithmetic of the Infinite (1656).

I funktionell analys är interpolationen av linjära operatorer ett avsnitt som betraktar Banach-rymden som element i en viss kategori [1] .

Många av dem som sysslar med vetenskapliga och tekniska beräkningar måste ofta arbeta på uppsättningar av värden som erhållits genom erfarenhet eller slumpmässigt urval . Som regel, på grundval av dessa uppsättningar, är det nödvändigt att konstruera en funktion , på vilken andra erhållna värden kan falla med hög noggrannhet. En sådan uppgift kallas approximation . Interpolation är en typ av approximation där kurvan för den konstruerade funktionen passerar exakt genom de tillgängliga datapunkterna.

Det finns också ett problem nära interpolation, som består i att approximera någon komplex funktion med en annan, enklare funktion. Om en viss funktion är för komplex för produktiva beräkningar kan du försöka beräkna dess värde vid flera punkter, och bygga, det vill säga interpolera, en enklare funktion från dem. Att använda en förenklad funktion tillåter dig naturligtvis inte att få samma exakta resultat som den ursprungliga funktionen skulle ge. Men i vissa klasser av problem kan vinsten i enkelhet och hastighet av beräkningar uppväga det resulterande felet i resultaten.

Vi bör också nämna en helt annan typ av matematisk interpolation, känd som "operatorinterpolation". Klassiska verk om operatorinterpolation inkluderar Riesz-Thorin- satsen och Marcinkiewicz-satsen , som är grunden för många andra verk.

Definitioner

Betrakta ett system med icke-sammanfallande punkter ( ) från något område . Låt funktionens värden vara kända endast vid dessa punkter: $x_{i}$ $i\i {0,1,\dots ,N}$ $D$ $f$

y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.

Problemet med interpolation är att hitta en sådan funktion från en given klass av funktioner som $F$

F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.

Punkter kallas interpolationsnoder , och deras helhet kallas interpolationsrutnät . $x_{i}$
Paren kallas datapunkter eller baspunkter . $(x_{i},y_{i})$
Skillnaden mellan "intilliggande" värden är steget i interpolationsrutnätet . Den kan vara både variabel och konstant. ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))$
Funktionsinterpolerande funktion eller interpolant . _ $F(x)$

Exempel

1. Antag att vi har en tabellfunktion, som den som beskrivs nedan, som för flera värden bestämmer motsvarande värden : $x$ $f$

$x$	$f(x)$
0	0
ett	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
fyra	-0,7568
5	-0,9589
6	−0,2794

Interpolation hjälper oss att ta reda på vilket värde en sådan funktion kan ha vid en annan punkt än de angivna punkterna (till exempel vid x = 2,5).

Hittills finns det många olika metoder för interpolation. Valet av den mest lämpliga algoritmen beror på svaren på frågorna: hur exakt är den valda metoden, vad kostar det att använda den, hur smidig är interpolationsfunktionen, hur många datapunkter kräver den, etc.

2. Hitta ett mellanvärde (genom linjär interpolation ).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

$?=15.5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993$

Interpolationsmetoder

Närmaste granne interpolation

Den enklaste interpolationsmetoden är närmaste granne-interpolation .

Interpolation med polynom

I praktiken används oftast interpolation med polynom . Detta beror i första hand på att polynom är lätta att beräkna, det är lätt att analytiskt hitta deras derivator och mängden polynom är tät i utrymmet av kontinuerliga funktioner ( Weierstrass sats ).

Omvänd interpolation (beräknar x givet y)

Lagrangepolynom
Invers interpolation med Newtons formel
Invers Gauss-interpolation

Interpolation av en funktion av flera variabler

Andra interpolationsmetoder

Rationell interpolation
Trigonometrisk interpolation

Relaterade begrepp

Extrapolation - metoder för att hitta punkter utanför ett givet intervall (kurvförlängning)
Retropolering - metoder för att hitta, genom kända värden för en variabel, dess okända värden i början av en tidsserie .
Approximation - metoder för att konstruera ungefärliga kurvor

Se även

Anteckningar

↑ Berg, 1980 , sid. 6-7.

Litteratur

J. Berg, J. Löfström. interpolationsutrymmen. Introduktion. — M .: Mir, 1980. — 264 sid.
Ibragimov II Metoder för interpolering av funktioner och några av deras tillämpningar. - M . : Högre skola , 1971. - 520 sid.
Walsh JL Interpolation och approximation av rationella funktioner i den komplexa domänen. -M.:Utländsk litteratur, 1961. - 508 sid.
Tribel H. Interpolationsteori, funktionella rum, differentialoperatorer. - M . : Mir , 1980. - 664 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Britannica (online) Treccani
I bibliografiska kataloger	BNF : 11978011w J9U : 987007558186905171 LCCN : sh85067492