Gauss interpolationsformel

Gauss-interpolationsformeln är en formel som använder noderna närmast interpolationspunkten som interpolationsnoder . Den är konstruerad med hjälp av Newtons interpolationsformel . $x$

Låt det bli nödvändigt att interpolera någon funktion . Om , var är någon initial punkt, , då formeln $f$ $x=x_{0}+th$ $x_{0}$ $h>0$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2 }]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ](tn)\over(2n)!},

skrivna av noder kallas Gauss-formeln för framåtinterpolation och formeln $x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \ över 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ] \över (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]( t+n)\over(2n)!},

skrivet i knop kallas Gauss formel för bakåtinterpolation . $x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh$

Båda formlerna använder ändliga skillnader definierade enligt följande:

f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^ {m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}

Fördelen med Gauss-interpolationsformeln är att detta val av interpolationsnoder ger den bästa uppskattningen av den återstående termen jämfört med alla andra val, och ordningen av noderna när de kommer närmare interpolationspunkten minskar beräkningsfelet för interpolationen.

Litteratur

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Beräkningsmetoder. Volym I. - 2:a uppl., stereotypisk - M .: Fizmatgiz . 1962.
Bakhvalov N. S. Numeriska metoder, M., 1973.