Ändliga skillnader

Finit skillnad är en matematisk term som används flitigt i beräkningsmetoder för interpolation och numerisk differentiering .

Definition

Låt interpolationsnoder med ett steg specificeras för någon punkt och värdena för funktionen vid dessa noder är kända: $x_{0}$ $n+1$ $x_{k}=x_{0}+hk,\;k=0,\ldots ,n$ $h=\mathrm {const}$ $f$

f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}.

Då är den stigande slutliga skillnaden (eller framåtskillnaden) av 1:a ordningen skillnaden mellan de -th och -th värdena vid interpolationsnoderna, det vill säga [1] $(k+1)$ $k$ $f$

\Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n- ett.

Den fallande ändliga skillnaden (eller bakåtskillnaden) av 1:a ordningen är skillnaden mellan de -th och -th värdena vid interpolationsnoderna, det vill säga [1] $k$ $(k-1)$ $f$

\nabla y_{k}=y_{k}-y_{k-1}=f(x_{k})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n.

Den centrala (eller symmetriska) ändliga skillnaden av 1:a ordningen är skillnaden mellan de -th och -th värdena vid interpolationsnoderna, det vill säga [1] $(k+1)$ $(k-1)$ $f$

\delta \,y_{k}=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),\ k=1 ,\ldots ,n-1.

Skillnader av högre ordning

Den stigande ändliga skillnaden av 2:a ordningen är skillnaden mellan -th och -th finita skillnader av 1:a ordningen, dvs. $(k+1)$ $k$

\Delta ^{2}y_{k}=\Delta (\Delta y_{k})=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2}) -2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-2.

Följaktligen är den stigande ändliga skillnaden i ordningen (för ) skillnaden mellan den -th och -th finita skillnaden i ordningen , det vill säga [1] $m$ $m\leq n$ $(k+1)$ $k$ $m-1$

\Delta ^{m}y_{k}=\Delta (\Delta ^{m-1}y_{k})=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{ m-1}y_{k},\ k=0,\ldots ,nm.

Fallande och centrala skillnader av högre ordning definieras på liknande sätt [1] :

\nabla ^{m}y_{k}=\nabla (\nabla ^{m-1}y_{k}),

\delta ^{m}y_{k}=\delta (\delta ^{m-1}y_{k}).

Genom operatörer

Om vi introducerar en skiftoperator sådan att , då kan vi definiera en stigande finit differensoperator som . För honom är relationen $\operatörsnamn {E}$ $\operatörsnamn {E}y_{k}=y_{{k+1}}$ $\Delta$ $\operatörsnamn {E} -1$

\Delta ^{k}=(\operatörsnamn {E}-1)^{k}

som kan utökas i termer av Newtons binomial . Detta sätt att representera förenklar märkbart arbetet med ändliga skillnader av högre ordning [2] . $\Delta$

Allmänna formler

En annan notation används ofta också: är den stigande ändliga ordningens skillnad för en funktion med steg , tagen vid punkten . Till exempel . På liknande sätt, för fallande skillnader, kan notationen användas och för centrala, . $\Delta _{h}^{m}(f,x)$ $m$ $f$ $h$ $x$ $\Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)$ $\nabla _{h}^{m}(f,x)$ $\delta _{h}^{m}(f,x)$

I dessa notationer kan man skriva allmänna formler för alla typer av ändliga skillnader av en godtycklig ordning med hjälp av binomialkoefficienter [3] :

\Delta _{h}^{m}(f,x)=\summa _{i=0}^{m}(-1)^{mi}C_{m}^{i}f{\ bigl (}x+ih{\bigr )},

\nabla _{h}^{m}(f,x)=\summa _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f(x -ih),

\delta _{h}^{m}(f,x)=\summa _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f\vänster (x+\left({\frac {m}{2}}-i\right)h\right).

Den allmänna formeln för används för att konstruera Newtons interpolationspolynom . $\Delta _{h}^{m}(f,x)$

Exempel

Bilden ovan visar ett exempel på beräkning av ändliga skillnader för

{\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{0}&=&0,\\n&=&3, \\h&=&1.\end{array}}

Värden finns i gröna celler , i varje efterföljande rad anges de slutliga skillnaderna i motsvarande ordning. $y_{0},\ldots ,y_{n}$

Koppling med derivator

Derivatan av en funktion vid en punkt definieras med gränsen : $f$ $x$

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

Under gränstecknet är den stigande ändliga skillnaden dividerad med steget. Därför approximerar denna fraktion derivatan i små steg. Approximationsfelet kan erhållas med Taylorformeln [4] : $\Delta _{h}^{1}(f,x)$

{\frac {\Delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.

Ett liknande förhållande gäller för skillnaden nedåt:

{\frac {\nabla _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.

Den centrala skillnaden ger en mer exakt approximation:

{\frac {\delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right),\;h \till 0.

Skillnaderna i ändlig ordning , dividerat med steget upphöjt till en potens , approximerar derivatan av ordningen . Ordningen för approximationsfelet ändras inte [5] : $m$ $m$ $m$

{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{ m}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O\vänster(h^{2}\höger).

Relaterade begrepp

Det kan ses att den ändliga skillnaden i ett fast steg är en linjär operator som kartlägger utrymmet av kontinuerliga funktioner i sig själv. En generalisering av begreppet en ändlig skillnad är begreppet en differensoperator .

Begreppen delade skillnader och kontinuitetsmodulen är också förknippade med ändliga skillnader .

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Bakhvalov et al., 2011 , sid. 65.
↑ Korn G. A., Korn T. M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 669-670.
↑ Bakhvalov et al., 2011 , sid. 66.
↑ Bakhvalov et al., 2011 , sid. 81.
↑ Bakhvalov et al., 2011 , sid. 82.

Litteratur

Bakhvalov, N. S. , Zhidkov, N. P. , Kobelkov, G. M. Numeriska metoder. - 7:e upplagan -M .: BINOM. Kunskapslaboratoriet, 2011. - 636 sid. -ISBN 978-5-9963-0449-3.
Korn G. A., Korn T. M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974.

Se även

Koefficienter för numeriska differentieringsformler
Linjär återkommande sekvens - lösningen av den enklaste typen av differensekvation
Ändlig skillnadsmetod
Newtons interpolationsformler
Delad skillnad
Binomiala transformationer