Gränselementmetod

Boundary element method ( Potential method , method of boundary integral equations ) är en metod för att lösa ett gränsvärdesproblem, där det tack vare användningen av Greens formler reduceras till en integralekvation på gränsen för beräkningsdomänen (de flesta ofta till en (generaliserad) Fredholm-integralekvation av det andra slaget).

Det användes ursprungligen för att lösa Dirichlet-problem, Neumann - Laplace-ekvationen [1] .

Sedan fick han en generalisering för elasticitetsteorins ekvationer. En analog av Greens formler i elasticitetsteorin är Bettys formler (elastiska potentialer baserade på Kelvin-Somiliana-lösningen) [2] . En annan använde Weyl (antennpotential) [3] .

VD Kupradze generaliserade formuleringen för gränsvärdesproblem i teorin om svängningar och andra. [4] [5] [6]

Fördelar

På 80-talet ansågs gränselementmetoden ( BEM ) som en möjlig konkurrent till finita elementmetoden (FEM). Den största fördelen jämfört med FEM är den exakta tillfredsställelsen av den ursprungliga differentialekvationen inom beräkningsdomänen. I problem med en oändlig gräns har BEM en fördel på grund av dess lätta övervägande.

Nackdelar

Nackdelarna med den traditionella formuleringen av metoden är:

• Gränsförhållanden av samma typ, antingen Dirichlet eller Neumann , beaktas , det blandade problemet beaktas inte. (Det är inte svårt att skriva de blandade problemekvationerna, men de har ingen teori om lösning.)
• Kanten ska vara slät. (De singulära integralerna som erhålls genom att lösa Neumann-problemet existerar inte vid hörnpunkterna för en bitvis jämn gräns.)
• Matrisen för det resulterande systemet med linjära algebraiska ekvationer (SLAE), som ersätter den integrala, är helt fylld, i motsats till FEM, där den innehåller ett stort antal nollor (även om matrisen i FEM är större med en dimensionsenhet, eftersom rutnätet av element tillämpas på hela området, och inte bara gränsen).

Svårigheter

Den tekniska komplexiteten hos MGE kan också tillskrivas nackdelarna:

• Beräkningen av singulära integraler utgör en svårighet. De kan beräknas, till exempel med Stokes formel, efter att gränsen har ersatts med en uppsättning platta element. Eller med hjälp av deras vanliga representation (Perlin P.I.).
• De lösande (generaliserade) Fredholmsekvationerna av det andra slaget ligger på gränsen till konvergenscirkeln. Det vill säga, antingen själva ekvationen eller dess allierade har sina egna lösningar (lösningar som inte är noll med en noll höger sida). Vilket i synnerhet inte tillåter att man söker efter en lösning på det externa Dirichlet-problemet baserat på dubbellagerpotentialen, eftersom lösbarhetsvillkoret inte kan formuleras - i det allmänna fallet är unionsekvationens egenfunktion okänd. (Även om det ursprungliga problemet har en unik lösning, uppfyller inte dubbelskiktspotentialen "strålningsvillkoret" [1] .) Metoden för att övergå till de modifierade ekvationerna är känd. (Om vi ​​inte går över till dem, då, till exempel, när vi löser det interna Neumann-problemet, tenderar determinanten för SLAE-matrisen till noll när den karakteristiska storleken på nätverket av gränselement minskar.)

Svårigheterna med metoden kan uppskattas genom att läsa Shermans förord ​​till D. I. till [2] .

I allmänhet

• Man kan säga att inom ramen för den traditionella formuleringen av Dirichlet- och Neumann-problemen (och motsvarande elasticitetsteorier) för en jämn gräns, löses de framgångsrikt. Du kan använda analytisk integration (inte alltid rationell med tanke på förbrukningen av maskinresurser) och metoden för successiva approximationer av lösningen av SLAE (baserad på modifierade ekvationer), för att bevisa konvergensen av vilken Fredholms teori är integral ekvationer av det andra slaget används.
• På grund av komplexiteten i implementeringen och det begränsade tillämpningsområdet har intresset för metoden minskat. Han blev åtminstone som väntat ingen ersättare för FEM.
• Det finns ett stort antal produktioner som skiljer sig från de traditionella. Inklusive i de fall då det inte finns någon matematisk teori, men ekvationerna kan skrivas ner. Till exempel en lösning baserad på Fredholmsekvationen av det första slaget, för vilken det är nödvändigt att utföra regularisering, annars är problemet illa ställt (med en liten förändring på högersidan ändras lösningen avsevärt). Ett blandat problem, där det är nödvändigt att ta hänsyn till det möjliga utseendet av en obegränsad derivata av den önskade funktionen nära ändringspunkten för gränsvillkor, även för en jämn gräns. En generalisering för en bitvis jämn gräns (i det plana fallet) kan utföras med hjälp av ekvationer för en jämn gräns, genom att introducera viktfunktioner som erhålls genom att studera asymptotiken för lösningar för kilen.
• Utomlands finns det en gemenskap av MGE-forskare - se: " boundary element method "; översatt bok: [7] Tematidskrifter ges ut.
• Utvecklingen av metoden i slutet av sovjettiden kan bedömas i [8] .
• Listan över ekvationer som metoden formulerades för finns i [9] . (Formuleringen som ges i boken skiljer sig från den traditionella, skapad av Kupradze under de sista åren av sitt liv, har betydande brister relaterade till riktigheten av problemformuleringen, som nämns i boken.)

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Sretensky L. N. Theory of the Newtonian potential.- M .: State. Förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1946, 318 sid.
2. ↑ 1 2 Parton V. Z., Perlin P. I. Integralekvationer av elasticitetsteorin. - M .: Nauka, 1977, 312 sid.
3. ↑ Weil G. Matematik. Teoretisk fysik. M.: Nauka, 1984. -510 sid.
4. ↑ Kupradze V. D. Gränsproblem för teorin om oscillationer och integralekvationer. - M .: Stat. Förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1950, 280 sid.
5. ↑ Kupradze V.D. Potential Methods in the Theory of Elasticity, M.: Gos. Förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1963, 472 sid.
6. ↑ Kupradze V. D. Tredimensionella problem med den matematiska teorin om elasticitet och termoelasticitet, M.: Nauka, 1976, 664 s.
7. ↑ Katsikadelis John T. Boundary Elements: Teori och tillämpningar. - M: DIA Publishing House, 2007 (Översättning av boken: John T. Katsikadelis Boundary elements: Theory and applications, Oxford: Elsever, 2002, 336 c.)
8. ↑ Mazya V.G. Gränsintegralekvationer. — Resultat av vetenskap och teknik. Ser. Modern prob. matta. Fundam. vägbeskrivningar. T.27. - 1988. - S. 131-228.
9. ↑ Aleksidze M.A. Grundläggande funktioner i ungefärliga lösningar av gränsvärdesproblem — M. : Nauka, Ch. ed.fys.-matte. lit., 1991. - 352 sid.