Dirichlet problem

Dirichlet-problemet  är en typ av problem som uppstår när man löser andra ordningens partiella differentialekvationer . Uppkallad efter Peter Gustav Dirichlet .

Förklaring av problemet

Dirichlet-problemet ställs på följande sätt: låt ekvationen

var  är Laplace-operatören . Med randvillkor :

Ett sådant problem kallas det interna Dirichletproblemet eller det första gränsvärdesproblemet . Själva villkoren kallas för Dirichletvillkor eller första randvillkor . Det andra namnet kan tolkas bredare, vilket betecknar alla problem med att lösa en differentialekvation, när värdet på den önskade funktionen är känt på hela gränsen för regionen. I det fall då det är nödvändigt att hitta värdena för funktionen utanför regionen kallas problemet för det externa Dirichlet-problemet .

Relaterade satser

Analytisk lösning

Analytiskt kan Dirichlet-problemet lösas med hjälp av potentialteori . Lösningen av en homogen ekvation kan representeras som [1] :

var  är Greens funktion för Laplace-operatören i domänen .

Numerisk lösning

Konstruktionen av ett analytiskt uttryck för Greens funktion i komplexa domäner kan vara svårt, så numeriska metoder måste användas för att lösa sådana problem. Varje metod har sina egna särdrag för att ta hänsyn till de första randvillkoren:

• i den finita differensmetoden för noder på gränsen av regionen skrivs ekvationen , där  är numret på motsvarande nod;
• i finita elementmetoden kallas sådana gränsvillkor för huvudgränsvillkoren och de beaktas vid matrissammansättningsstadiet; för alla vikter associerade med gränsen ersätts ekvationerna med ekvationer av formen ; sedan utförs flera steg av Gauss-metoden så att den resulterande matrisen är symmetrisk [2] .

Fysisk tolkning

Den fysiska tolkningen av Dirichlet-villkoren är beteendet för den önskade kvantiteten på gränsen:

• temperatur, om ekvationen för värmeledning beaktas ;
• hastighetsfält om Stokes ekvation beaktas ;
• magnetiskt eller elektriskt fält, om någon ekvation erhållen från Maxwells ekvationer beaktas (då kallas gränsvillkoren magnetiska respektive elektriska gränsvillkor ).

Se även

• Elliptisk ekvation
• Neumann problem
• Poisson integral
• Kelvin konvertering

Anteckningar

1. ↑ 1 2 M. M. Smirnov. Andra ordningens partiella differentialekvationer. - Moskva: Nauka, 1964. .
2. ↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finita elementmetod för skalära och vektorproblem. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 sid. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .