Helmholtz ekvation

Helmholtz-ekvationen är en elliptisk partiell differentialekvation :

(\Delta +k^{2})U=f,

var är Laplace-operatorn och den okända funktionen definieras i (i praktiken används Helmholtz-ekvationen för ). $\Delta =\nabla ^{2}$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1,2,3$

Härledning av ekvationen

Det är lätt att se att Helmholtz- ekvationen inte inkluderar tidsdifferentieringsoperatorer, därför kan lösningen förenklas genom att reducera det ursprungliga problemet i partiella derivator till Helmholtz-ekvationen. Tänk på vågekvationen :

\triangle u({\bar {x)),t)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x} },t)}{\partial t^{2))}=f({\bar {x)),t).

Låt funktionerna och tillåt separation av variabler: , och låt . Observera att i Fourier-transformernas utrymme, motsvarar differentiering med avseende på tid multiplikation med faktorn iω . Således reduceras vår ekvation till formen: $u$ $f$ $u({\bar {x)),t)=U({\bar {x)))T(t),\ f({\bar {x)),t)=F({\bar {x} })T(t)$ $T(t)=e^{{i\omega t}}$

\triangel U({\bar {x)))+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x }}),

där är kvadraten på vågvektorns modul. ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}$

Lösning av Helmholtz-ekvationen

Fallet med en homogen ekvation

Lösningen av Helmholtz-ekvationen beror på typen av randvillkor. I det tvådimensionella fallet används Helmholtz-ekvationen för att lösa problemet med ett oscillerande membran, då sätts naturligt homogena randvillkor , vilket fysiskt motsvarar fixeringen av membranet på gränsen. I det här fallet kommer lösningen att bero på formen på membranet. Så, för ett runt membran med radie i polära koordinater ( ), har ekvationen formen: $a$ $r,\,\varphi$

U_{{rr))+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{{\varphi \varphi }}+k^{2 }U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.

Med hjälp av metoden för separation av variabler kommer vi fram till ett egenvärdeproblem för den del av lösningen som endast beror på : $\varphi$

U(r,\varphi)=R(r)\Phi (\varphi),

{\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},

och en funktion som bara beror på radien kommer att uppfylla ekvationen:

\displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.

De grundläggande lösningarna för dessa ekvationer är respektive funktioner och var är roten av th ordningens Bessel funktion . $\scriptstyle \sin(\lambda \varphi ),\ \cos(\lambda \varphi )$ $\scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{{(\lambda )}}}{a}}r\right),$ $\mu _{i}^{{(\lambda )}}$ $i$ $\lambda$

Fallet med en inhomogen ekvation

Betrakta Helmholtz-ekvationen i utrymmet för generaliserade funktioner :

\triangel U+k^{2}U=\delta (x).

Låt oss visa att i det tredimensionella fallet är de grundläggande lösningarna för denna ekvation funktionerna: $(x=(x_{1},x_{2},x_{3}))$

U_{1}^{{(3)}}(x)=-{\frac {e^{{ik|x|}}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{ {(3)}}=-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{4\pi |x|}}.

Faktum är att vi använder jämlikheterna:

{\frac {\partial }{\partial x_{j))}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}

{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{{ik|x|}}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{{ik|x| }}

\triangel e^{{ik|x|}}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{{ik|x|}}

och formeln bevisad under loppet av matematisk fysik:

\triangel {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{{3/2}}}{\Gamma (3/2)))\delta (x).

Vi får:

(\triangel +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{{ik|x|}}=e^{{ik|x|}}\triangel {\frac {1 }{|x|}}+2\left(\operatörsnamn {grad}\,\,e^{{ik|x|}},\operatörsnamn {grad}{\frac {1}{|x|}}\ höger)+{\frac {1}{|x|}}\triangel e^{{ik|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{{ik| x|}}=

$=-4\pi e^{{ik|x|}}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2))}+{\frac {2ik}{| x|^{2))}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{{ik |x|}}=-4\pi \delta (x).$

Det verifieras också genom direkta beräkningar att i det tvådimensionella fallet kommer Hankel-funktionerna av det första och andra slaget att vara den grundläggande lösningen :

U_{1}^{{(2)}}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{{(1)}}(k|x|),\qquad U_{2}^ {{(2)}}={\frac {i}{4}}H_{0}^{{(2)}}(k|x|),

och i endimensionell :

U_{1}^{{(1)}}(x)={\frac {e^{{ik|x|}}}{2ik}},\qquad U_{2}^{{(1))) =-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{2ik}}.

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen