Det tredje gränsvärdesproblemet

Robins problem , Newtons problem , tredje gränsvärdesproblem , impedanstypproblem - ett slags gränsvärdesproblem för differentialekvationer . Uppkallad efter den franske matematikern Victor Robin och den brittiske fysikern Isaac Newton .

Förklaring av problemet

I sin mest allmänna form ställs problemet på följande sätt: lös en partiell differentialekvation av formen

Lu=f(\mathbf {x} )

i området av

\Omega

Under randvillkor av följande form:

\left.\left(au+b{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n}}}\right)\right|_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x } )

En sådan uppgift kallas det tredje gränsvärdesproblemet .

Fysisk tolkning

Eftersom den tredje gränsen definierar sambandet mellan den önskade funktionen och dess normalderivata på gränsen för regionen, används olika sätt att specificera och tolka den tredje gränsen beroende på problemet som löses:

För värmeledningsekvationen ges de i formen - värmeöverföring enligt Newton-Richmanns lag [1] . $-\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
För skalära ekvationer erhållna från Maxwells ekvationer , ges , i en liknande form (om ekvationen är relativt den elektriska fältstyrkan ) och betyder förhållandet mellan de elektriska och magnetiska fälten vid gränsen av regionen. $-\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta }(\mathbf {x} ))$
För vektorekvationer erhållna från Maxwells ekvationer kan de tredje gränsekvationerna skrivas, med hänsyn till sambandet, enligt följande [2] : $\mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E}$

-\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0

Analytisk lösning

En analytisk lösning på det tredje gränsvärdesproblemet kan hittas med hjälp av potentialteori .

Numerisk lösning

Varje numerisk metod för att lösa differentialekvationer har sina egna egenskaper för att ta hänsyn till den tredje gränsen, till exempel:

I den finita differensmetoden konstrueras ett differensschema av formen , där är en differensoperator, och den resulterande ekvationen läggs till systemet. $au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ $R$
I den finita elementmetoden är de tredje gränserna naturliga och beaktas på nivån för variationsformulering, tillägg erhålls till matrisen och till höger sida [1] :

{\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta \varphi _{i}(\mathbf {x} )\varphi _{j}(\mathbf {x} )dx))

är tillägget till det -th, -th elementet i matrisen;

i

j

{\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta u_{\beta }(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx))

är tillägget till det i-te elementet på höger sida.

i

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finita elementmetod för skalära och vektorproblem. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 sid. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Lösa Maxwells ekvationer med hjälp av ultrasvag variationsformulering . - 2006. - S. 46 .

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen