Kontinuitetsekvationer är en (stark) lokal form av bevarandelagar . Följande är exempel på kontinuitetsekvationer som uttrycker samma idé om en kontinuerlig förändring i någon kvantitet.
Differentialformen för den allmänna kontinuitetsekvationen är:
|
var
- divergens , - kvantitet av kvantitet per volymenhet (kvantitetsdensitet ), - tid, är kvantitetsflödestätheten (se nedan), - tillägg per volymenhet per tidsenhet. Medlemmar som lägger till ( ) eller tar bort ( ) kallas "källor" respektive "sänkor".Denna allmänna ekvation kan användas för att härleda vilken kontinuitetsekvation som helst, från den enkla kontinuitetsekvationen till Navier-Stokes ekvation.
Om är en bevarad storhet som inte kan skapas eller förstöras (till exempel energi ), då , och kontinuitetsekvationen tar formen
Inom elektrodynamik härleds kontinuitetsekvationen från Maxwells ekvationer . Den anger att divergensen av strömtätheten är lika med förändringen i laddningstätheten med ett minustecken,
Ampères lag säger:
Om vi tar avvikelsen från båda delarna av uttrycket får vi
men rotordvergensen är alltså noll
Enligt Gauss teorem ,
Genom att ersätta detta uttryck i föregående ekvation får vi den önskade kontinuitetsekvationen.
Strömtäthet är laddningens rörelse. Kontinuitetsekvationen säger att om laddningen lämnar differentialvolymen (dvs. strömdensitetsdivergensen är positiv), så minskar mängden laddning inuti volymen. I detta fall är ökningen av laddningstätheten negativ.
I teorin om vågor uttrycker kontinuitetsekvationen lagen om bevarande av energi i en elementär volym där vågor av vilken natur som helst utbreder sig. Dess differentiella form
där är vektorn för energiflödestätheten vid punkten med koordinater vid tidpunkten , är energitätheten.
Per definition är energiflödestäthetsvektorn en vektor vars modul är lika med energin som överförs genom en enhetsarea vinkelrät mot riktningen för energiöverföringen per tidsenhet, det vill säga, och dess riktning sammanfaller med energiöverföringens riktning. Då strömmar energin per tidsenhet från någon makroskopisk volym V,
Enligt lagen om bevarande av energi, , var är energin som finns i volymen V . Per definition är energitätheten energin för en volymenhet, då är den totala energin som ingår i en given volym lika med
Då tar uttrycket för energiflödet formen
Genom att tillämpa Gauss-Ostrogradsky-formeln på vänster sida av uttrycket får vi
På grund av godtyckligheten hos den valda volymen drar vi slutsatsen att integranderna är lika, från vilka vi får kontinuitetsekvationens differentialform.
I den hydrodynamiska litteraturen , till exempel, i verk av Zhukovsky [1] , Chaplygin [2] , Kochin [3] , Loitsyansky [4] kallas ekvationen som uttrycker lagen om massans bevarande kontinuitetsekvation ( kontinuitetsvillkor ) , medan i den fysiska litteraturen, till exempel, i Landau och Lifshitz [5] , Zel'dovich och Raiser [6] , rysk översättning av Feynmans kurs [7] , används termen kontinuitetsekvation . I den gamla litteraturen fanns även namnet på kontinuitetsekvationen [8] . Alla tre namnen är olika översättningar av namnet på ekvationen introducerad av Euler [9] på västeuropeiska språk ( engelsk continuity equation , franska equation de continuité och liknande).
Ekvationen uttrycker lagen om bevarande av massa i en elementär volym, det vill säga förhållandet mellan den rumsliga förändringen i massflödet av en vätska eller gas och hastigheten för förändring i densitet över tiden. Dess differentiella form
där är densiteten för vätskan (eller gasen), är hastighetsvektorn för vätskan (eller gasen) vid punkten med koordinater vid tiden .
Vektorn kallas vätskeflödestätheten . Dess riktning sammanfaller med vätskeflödets riktning och det absoluta värdet bestämmer mängden materia som strömmar per tidsenhet genom en enhetsarea placerad vinkelrätt mot hastighetsvektorn.
För homogena inkompressibla vätskor . Därför blir ekvationen
från vilken följer hastighetsfältets solenoidalitet .
För flöden i kanaler (flöden i rör, blodkärl etc.) kan kontinuitetsekvationen skrivas i termer av medelvärden över kanaltvärsnittet. Till exempel, för ett flöde i en kanal med ett känt beroende av tvärsnittsarean av koordinaten längs kanalen, har den (ungefärliga) kontinuitetsekvationen formen
där och är medelvärdena för densiteten och den axiella projektionen av hastigheten över tvärsnittet. Här antas det att kanalens tvärsnittsarea förändras ganska långsamt (den så kallade hydrauliska approximationen ), vilket gör det möjligt att, när man härleder ekvationen, ersätta medelvärdet från produkten med produkten från medelvärdena. I det speciella fallet med ett stationärt flöde ger detta kontinuitetsekvationen i formen
som har den uppenbara fysiska innebörden av massflödets konstanthet, och i fallet med ett medium med konstant densitet, ekvationen
uttrycker volymflödets konstanthet.
En liknande struktur har kontinuitetsekvationen för flöden i kanaler med fri yta, som används allmänt inom hydraulik för att beskriva kanalflöden (flöden i floder, kanaler, etc., rörelsen av lerflöden, laviner, etc.), för att beskriva flöden i filmer etc. I det enklaste fallet med vätskeflöde med konstant densitet i en kanal med rektangulärt tvärsnitt har den exakta kontinuitetsekvationen (ibland kallad Saint-Venant-ekvationen ) formen
där är vätskans djup, är vätskans medelhastighet över tvärsnittet.
I mekaniken för en deformerbar fast kropp är det ofta bekvämt att skriva kontinuitetsekvationen i form av en koppling mellan den initiala och slutliga densiteten för en materialpartikel [10] . Till exempel, i fallet med små stammar, har kontinuitetsekvationen formen
där , är materialpartikelns initiala respektive slutliga densiteter och är förskjutningsvektorn (vid små förskjutningar och deformationer kan divergensen tas med samma grad av noggrannhet både i Euler och Lagrangian variabler).
Kontinuitetsekvationen har en universell karaktär och är giltig för alla kontinuerliga medium (oavsett dess reologi ). Det finns generaliseringar av kontinuitetsekvationen för rörelser av flerfas [11] och multikomponent [10] kontinuerliga medier.
I speciella fall, till exempel, för axisymmetriska flöden av en inkompressibel vätska, erhölls kontinuitetsekvationen (i form av en partiell differentialekvation ) först av d'Alembert , i en allmän form av Euler på 1750-talet. I form av en algebraisk relation som uttrycker (för fallet med en inkompressibel vätska) volymflödets konstanthet längs strömröret, publicerades kontinuitetsekvationen först av Castelli under första hälften av 1600-talet [12] .
I icke-relativistisk kvantmekanik leder bevarandet av sannolikhet också till en kontinuitetsekvation . Låt vara sannolikhetstätheten , då kommer ekvationen att skrivas i formen
var är sannolikhetsströmmen .
Matematisk fysik | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Typer av ekvationer | |||||||||||
Typer av ekvationer | |||||||||||
Gränsförhållanden | |||||||||||
Ekvationer av matematisk fysik |
| ||||||||||
Lösningsmetoder |
| ||||||||||
Studie av ekvationer | |||||||||||
Relaterade ämnen |