Gauss teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 februari 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Gauss teorem (Gauss lag ) är en av elektrodynamikens grundläggande lagar och ingår i systemet för Maxwells ekvationer . Uttrycker sambandet (nämligen likhet upp till en konstant koefficient) mellan det elektriska fältstyrkaflödet genom en stängd yta av godtycklig form och den algebraiska summan av laddningar som finns inuti volymen som begränsas av denna yta. Används enbart för att beräkna elektrostatiska fält.

En liknande sats, också en av Maxwells ekvationer, finns också för ett magnetfält ( se nedan ).

Gauss teoremet är också sant för alla fält för vilka superpositionsprincipen och Coulombs lag eller dess analoger båda är sanna (till exempel för Newtonsk gravitation). Samtidigt anses den vara mer grundläggande än Coulomblagen, eftersom den i synnerhet tillåter att härleda graden av avstånd [1] i Coulomblagen "från första principer", och inte postulera det (eller inte hitta det empiriskt).

Detta kan ses som den grundläggande betydelsen av Gauss sats (Gauss lag) i teoretisk fysik.

Det finns analoger (generaliseringar) av Gauss teorem för mer komplexa fältteorier än elektrodynamik.

Gauss sats för styrkan hos ett elektriskt fält i vakuum

Allmän formulering : Flödet av den elektriska fältstyrkevektorn genom valfri godtyckligt vald sluten yta är proportionell mot den elektriska laddningen innesluten inuti denna yta .

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {E}}}=4\pi Q,$	$\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},$

var

$\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ är flödet av vektorn för elektrisk fältstyrka genom en sluten yta . $S$
$F$ är den totala laddningen som finns i volymen som begränsar ytan . $S$
$\varepsilon_{0}$ är den elektriska konstanten .

Detta uttryck är Gauss sats i integralform.

Anmärkning : Spänningsvektorns flöde genom ytan beror inte på laddningsfördelningen (arrangemanget av laddningar) inuti ytan.

I differentialform uttrycks Gauss sats enligt följande:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Här är volymladdningstätheten (vid närvaro av ett medium, den totala densiteten av fria och bundna laddningar), och är nabla-operatorn . $\rho$ $\nabla$

Gauss sats kan bevisas som en sats inom elektrostatik från Coulombs lag och superpositionsprincipen ( se nedan ). Formeln är dock sant även inom elektrodynamik, även om den i den oftast inte fungerar som en beprövad sats, utan fungerar som en postulerad ekvation (i denna mening och sammanhang är det mer logiskt att kalla det Gauss lag [2] ).

I krökt rum-tid uttrycks flödet av ett elektromagnetiskt fält genom en sluten yta som , där är ljusets hastighet ; betecknar tidskomponenterna för den elektromagnetiska fälttensorn ; är bestämningsfaktorn för den metriska tensorn ; är ett ortonormalt element av den tvådimensionella ytan som omger laddningen ; index och matchar inte varandra. [3] $\Phi _{\mathbf {E} }=c\oint \limits _{S}F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\mathrm {d} S_{\kappa }$ $c$ $F^{\kappa 0}$ $g$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\kappa}=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j))$ $F$ $i,j,\kappa =1,2,3$

Gauss teorem för elektrisk induktion (elektrisk förskjutning)

För ett fält i ett dielektriskt medium kan Gauss elektrostatiska sats skrivas på ett annat sätt (på ett alternativt sätt) - genom flödet av den elektriska förskjutningsvektorn (elektrisk induktion). I det här fallet är formuleringen av satsen som följer: flödet av den elektriska förskjutningsvektorn genom en sluten yta är proportionell mot den fria elektriska laddningen inuti denna yta:

GHS	SI
$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$	$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathbf {d}}{\mathbf {S}}=Q,$

Viktig kommentar

Q på höger sida av denna ekvation är inte densamma som i den grundläggande formuleringen ovan [4] i början av artikeln. Det senare kallas ofta "formuleringen för vakuumet", men detta namn är rent konventionellt, det är lika tillämpligt på fallet med ett dielektriskt medium, bara av Q här är det nödvändigt att förstå summan av den fria laddningen inuti ytan och polarisationsladdningen (inducerad, bunden) för dielektrikumet, det vill säga i ekvationen för E skulle behöva skriva en annan bokstav på höger sida: $\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$

Q_{\Sigma }=Q+Q_{b},

var

$Q_{b}=\oint \limits _{S}{\mathbf {P}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ - bunden laddning inuti ytan [5] ,
${\mathbf {P}}$ är den dielektriska polarisationsvektorn .

Vi har använt samma bokstav på höger sida här, helt enkelt för att en sådan notation är vanligast, och eftersom båda formerna av ekvationen sällan används tillsammans, så är det ingen förvirring.

För fallet med vakuum (frånvaro av ett dielektriskt medium) sammanfaller båda ekvationerna helt enkelt, sedan dess Qb \ u003d 0, medan D \ u003d E (i SI -systemet av enheter - är proportionella.

I differentiell form:

GHS	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=\rho .$

Viktig kommentar

Det är viktigt att förstå att Q och ρ i detta stycke betecknar andra kvantiteter än i den föregående: storleken på fria laddningar och tätheten av fria laddningar, det vill säga laddningar med undantag för de som induceras under polariseringen av det dielektriska mediet ( medan i föregående stycke, den totala laddningen och den totala densitetsladdningen (för mer information, se kommentaren i detta stycke lite högre). Dessa värden sammanfaller endast för fallet med vakuum (avsaknad av ett dielektriskt medium), när Ekvationerna i detta stycke blir i huvudsak ekvationerna i föregående stycke.

Gauss teorem för magnetisk induktion

Flödet för den magnetiska induktionsvektorn genom en stängd yta är noll:

\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=0,

eller i differentiell form

\nabla \cdot {\mathbf {B}}=0.

Detta motsvarar det faktum att det i naturen inte finns några "magnetiska laddningar" ( monopoler ) som skulle skapa ett magnetfält, precis som elektriska laddningar skapar ett elektriskt fält [6] . Gauss teorem för magnetisk induktion visar med andra ord att magnetfältet är (helt) virvel .

Gauss teorem för Newtonsk gravitation

För styrkan hos fältet för Newtons gravitation (acceleration av fritt fall) sammanfaller Gauss-satsen praktiskt taget med den i elektrostatik, förutom konstanter (de är dock fortfarande beroende av ett godtyckligt val av enhetssystemet) och, viktigast av allt, tecknet [7] :

\Phi _{{\mathbf {g}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {g}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=-4\pi gm,

\nabla \cdot {\mathbf {g}}=-4\pi G\rho ,

där g är gravitationsfältets styrka, M är gravitationsladdningen (det vill säga massan) inuti ytan S , ρ är massdensiteten, G är den Newtonska konstanten .

Tolkningar

När det gäller kraftlinjer

Gauss-satsen kan tolkas i termer av fältlinjer [8] enligt följande:

Ett fälts flöde genom en yta är [9] antalet kraftlinjer som penetrerar denna yta. I det här fallet beaktas riktningen - kraftlinjerna som penetrerar ytan i motsatt riktning betraktas med ett minustecken.
Fältlinjer börjar eller slutar endast på laddningar (börjar på positiva laddningar, slutar på negativa), eller så kan de fortfarande gå till oändlighet. Antalet kraftlinjer som utgår från laddningen (som börjar i den) är lika med [10] värdet av denna laddning (detta är definitionen av laddning i denna modell). För negativa laddningar är allt sig likt, bara laddningen är lika med minus antalet rader som kommer in i den (slutar på den).
Baserat på dessa två bestämmelser verkar Gauss teorem uppenbart i formuleringen: antalet linjer som utgår från en stängd yta är lika med det totala antalet laddningar inuti den - det vill säga antalet linjer som dök upp inuti den . Naturligtvis tas tecken i beaktande, i synnerhet en linje som börjar inuti ytan på en positiv laddning kan sluta på en negativ laddning även inuti den (om det finns en), då kommer den inte att bidra till flödet genom denna yta , eftersom eller till och med innan den inte når eller går ut och sedan går tillbaka (eller generellt sett korsar ytan ett jämnt antal gånger lika i framåt och motsatt riktning), vilket, när det summeras med hänsyn till tecknet, kommer att ge noll bidrag till flödet. Detsamma kan sägas för linjer som börjar och slutar utanför en given yta - av samma anledning kommer de också att bidra med noll till flödet genom den.

När det gäller flödet av en inkompressibel vätska

Gauss-satsen gäller för hastighetsfältet för en inkompressibel vätska. Detta faktum tillåter oss att använda flödet av en inkompressibel vätska som en analogi (formell modell), vilket gör det möjligt att klargöra dess innebörd och visualisera dess matematiska innehåll. [elva]

Till och med själva terminologin för vektoranalys som användes inom elektrodynamik (och i synnerhet i formuleringen av Gauss-teoremet) bildades nästan helt under inflytande av denna analogi. Det räcker med att påpeka sådana termer som fältets källa (i förhållande till laddningen) eller flödet genom ytan, som helt och exakt motsvarar begreppen i den övervägda analogin:

källan till vätskan (i betydelsen platsen där vätskan förekommer och det kvantitativa måttet på dess förekomst - volymen som inträffar per tidsenhet),
flöde (i betydelsen mängden vätska som passerar genom ytan per tidsenhet).

När det gäller flödet av en inkompressibel vätska är Gauss sats formulerad enligt följande: Vätskeflödet som utgår från en sluten yta är lika med summan av källorna inuti denna yta . Eller, mer formellt: Flödet av vätskehastighetsvektorn genom en sluten yta är lika med summan av källorna inuti denna yta . (I huvudsak är detta en integrerad version av kontinuitetsekvationen för en inkompressibel vätska, som uttrycker bevarandet av vätskans massa, med hänsyn till dess densitets konstantitet).

I denna formella analogi ersätts fältstyrkan med vätskeflödeshastigheten och laddningen ersätts av vätskekällan (negativ laddning ersätts med en "negativ källa" - "dränering").

Gauss teorem som definition av laddning

Gauss sats [12] kan betraktas som en definition av (magnitude)laddningen.

Så för en punktladdning är det uppenbart att flödet av fältstyrkan genom vilken yta som helst är lika med flödet genom en liten (oändligt liten) sfär som omger denna laddning. Sedan kan den senare (upp till kanske en konstant faktor, beroende på vårt godtyckliga val av enheter) väljas som definition av storleken på denna laddning.

Nära laddningen (oändligt nära den) ger uppenbarligen dess eget fält ett överväldigande bidrag till flödet genom en oändligt liten sfär (eftersom fältet ökar oändligt med minskande avstånd). Detta innebär att de återstående fälten (genererade av andra avgifter) kan försummas. Då kan man se att denna definition överensstämmer med den vanliga (genom Coulombs lag).

Inom modern fysik brukar man anta att definitionen genom Gausslagen är mer grundläggande (liksom själva Gausslagen jämfört med Coulomblagen – se nedan).

Gauss teorem och Coulombs lag

Gauss-satsen och Coulombs lag är nära besläktade, både formellt och fysiskt. Det finns ett förenklat uttalande att Gauss sats är en integrerad formulering av Coulombs lag, eller vice versa, att Coulombs lag är en konsekvens av Gauss sats (lag).

Faktum är att Gauss lag inte kan härledas enbart från Coulombs lag, eftersom Coulombs lag endast ger fältet för en punktladdning. För att bevisa Gauss-satsen behöver man inte bara Coulombs lag, utan även superpositionsprincipen [13] .

Coulombs lag kan inte enbart härledas från Gauss lag, eftersom Gauss lag inte innehåller information om det elektriska fältets symmetri [14] . För att bevisa Coulombs lag behöver man inte bara Gauss-lagen, utan också ett ytterligare uttalande (till exempel om fältets sfäriska symmetri eller om fältkrullens likhet till noll).

Vilket av dem som anses vara ett postulat och vilket som är en konsekvens beror på vilken axiomatisering för elektrodynamik (eller elektrostatik, om vi begränsar oss till det) vi väljer; formellt är ett eller annat val praktiskt taget lika [15] , och i fallet med elektrostatik är detta helt sant. Valet av det ena eller det andra som grund för att konstruera en teori är alltså en fråga om vårt godtyckliga val.

Den Gaussiska axiomatiseringen har dock fördelen att den Gaussiska lagen inte innehåller några godtyckliga parametrar (såsom graden av avstånd −2 i Coulomblagen), avståndsgraden i Coulomblagen uppstår automatiskt från rummets dimension.

En varning bör dock göras. Om det är naivt att anta att Coulombs lag och Gauss sats är likvärdiga, så kan vi argumentera på följande sätt: Coulombs lag följer av Gauss sats, Maxwells ekvationer för fallet elektrostatik följer av Coulombs lag, d.v.s. Maxwells andra ekvation (cirka noll elektrisk fältkurl) följer av Gauss sats och är redundant. Faktum är att när vi härleder Coulombs lag från Gauss-satsen (se nedan), använder vi dessutom den sfäriska symmetrin för fältet för en punktladdning, och vi måste också införa superpositionsprincipen, medan Maxwells ekvationer är självförsörjande.

Historiskt sett upptäcktes Coulombs lag empiriskt först. I denna (historiska) mening är Gauss teorem en konsekvens av det. Det är i samband med detta som det kallas för en sats, eftersom den ursprungligen uppstod som en sats.

Det visas direkt nedan hur Coulombs lag och Gauss lag kan erhållas inom ramen för elektrostatik [16] från varandra.

Coulombs lag som en konsekvens av Gauss lag

Vi utgår från Gauss sats och skriver det i SI- enheter [17] , "Flödet av spänningsvektorn genom ytan är proportionell mot laddningen som finns i denna yta": $\Phi _{{E,S}}$ $E$ $S$

\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

För att härleda Coulombs lag kommer vi att betrakta en enda punktladdning inom en sluten yta S , så Q här kommer att vara storleken på denna laddning.

Vi beräknar samma flöde genom direkt integration över ytan. Vi kommer att anta att påståendet om den sfäriska symmetrin i fältet för en punktladdning med avseende på laddningens position är sant (erfarenhet visar att det är exakt sant endast för en laddning i vila). Av detta drar vi slutsatsen att det elektriska fältet kommer att riktas direkt från laddningen, och dess värde kommer att vara detsamma för alla punkter som ligger på samma avstånd från laddningen. Av detta följer att det totala flödet enklast kommer att beräknas om vi väljer en sfär centrerad i laddningen som ytan S. Faktum är att fältstyrkan E kommer att vara ortogonal mot dS överallt , och det absoluta värdet av vektorn E (vi kommer att beteckna det med E ) kommer att vara detsamma överallt på denna sfär, och det kan tas ut ur integraltecknet. Så:

\Phi _{{E,S}}=\oint \limits _{S}{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\oint \limits _{S}EdS=E\oint \limits _ {S}dS=ES.

Vi har:

{\begin{cases}\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\\\Phi _{{E,S}}=ES\end{cases }}

Härifrån:

ES={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

Det återstår att här ersätta sfärens area och lösa ekvationen för E . $S=4\pi r^{2}$

Då får vi:

E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}},

det vill säga Coulombs lag.

Gauss teorem som en konsekvens av Coulombs lag

Elementärt bevis

Ett elementärt bevis bygger på två steg: att bevisa satsen för fallet med en punktladdning med hjälp av geometriska överväganden, och sedan tillämpa superpositionsprincipen, vilket resulterar i att satsen visar sig vara bevisad för ett godtyckligt antal punktladdningar ( och därmed i det allmänna fallet).

Vi utgår från Coulombs lag:

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\mathbf e}_{r}

var är enhetsvektorn i radievektorns riktning från laddningen (där vi placerade origo) till den punkt där fältstyrkan mäts , r är modulen för vektorn r , det vill säga avståndet från laddningen till denna punkt. (I det här avsnittet kommer vi bara att använda CGS- systemet , det vill säga Coulomb-konstanten är lika med en. För att byta till SI- systemet, lägg helt enkelt till en faktor. På samma sätt kommer övergången till vilket annat enhetssystem som helst att skilja sig endast i Coulomb-konstanten.) ${\mathbf e}_{r}$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf E}({\mathbf r})$

För en enda punktladdning inuti en yta

Låt oss beteckna ytan genom vilken flödet E måste beräknas med bokstaven S . Vi antar att vår laddning q är inuti denna yta.

Låt oss omge laddningen med en annan yta - en sfär S 0 med ett centrum i laddningen och en radie R 0 så liten att den är helt innanför ytan S . Låt oss beräkna flödet genom S 0 :

\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Vi väljer en liten (oändligt liten, liten, inte bara i storlek, utan också "kompakt", det vill säga så att den kan täckas av en cirkulär kon med också liten rymdvinkel), solid vinkel med en vertex i avgift. $\omega$

Låt oss bevisa att flödet genom området av ytan S , utskuret av denna rymdvinkel , är lika med flödet genom området , utskuret av det från sfären S 0 . För att göra detta kommer vi att visa det $\Phi _{{S,\omega }}\$ $\omega$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$ $S_{{0,\omega }}$

1. - flödet genom det område som skärs ut med en rymd vinkel från ytan S är lika med flödet genom det område som är utskuret med en rymd vinkel från vilket plan som helst vinkelrätt mot strålarna som ligger inuti , som vid en oändligt liten rymdvinkel , är nästan parallella, skiljer sig i riktning oändligt lite, vilket innebär att området samtidigt kommer att vara vinkelrät (strängare sett, nästan vinkelrät) mot dem alla samtidigt.

\Phi _{{S,\omega }}\ =\Phi _{{S_({\perp ,\omega }}}}\

S_{\omega }

\omega

S{\perp ,\omega },

\omega

\omega

2. - inom rymdvinkeln är flödet genom området vinkelrätt mot strålarna lika med flödet genom sfärens område .

\Phi _{{S\perp ,\omega }}=\Phi _{{S_{0},\omega }}.

\omega

S_{0}

Det första bevisas av observationen att flödet genom ett litet område dS kan representeras som Och i förhållande till vårt fall innebär det jämställdheten och . $d\Phi ={\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS))$ $d\Phi =E(dS)_{\perp }$ $(dS)_{\perp }$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S,\omega }}$

Den andra kan ses från överväganden om likhet och Coulombs lag (som anger avståndet från laddningen till skärningspunkten c S , vi ser att förhållandet mellan områden och är lika med , medan , det vill säga den reciproka av numret, som ett resultat av vilket deras produkter är desamma, och dessa är flöden och , vars jämlikhet måste bevisas. $\omega$ $S{\perp ,\omega }$ $S_{{0,\omega }}$ $r^{2}/R_{0}^{2}$ $E(r)/E(R_{0})=R_{0}^{2}/r^{2}$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S_{0},\omega }}$

Om den skär S upprepade gånger (vilket är möjligt om det senare är tillräckligt komplicerat), upprepas kort sagt alla dessa argument lika många gånger som det finns skärningar, och flödet är lika i absolut värde genom varje sådant element på ytan S är bevisat . Och med hänsyn till tecknen under tillägget (de växlar uppenbarligen; totalt sett bör antalet korsningar visa sig vara udda), visar det slutliga svaret sig vara detsamma som för fallet med en enda korsning. $\omega$

Och eftersom likheten mellan dessa flöden är uppfylld för alla små , det vill säga för varje motsvarande element S och S 0 , mellan vilka en en-till-en överensstämmelse upprättas, och på detta sätt är det möjligt att dela upp hela sfären S 0 utan rester till sådana element, då gäller likheten även för flöden genom kompletta ytor (som helt enkelt är summor av flöden genom de beskrivna elementen i ytorna S och S 0 ). (Eftersom ytan S är stängd har varje element på sfären ett motsvarande element på S — eller ett udda antal element, som beskrivits ovan, som kan kombineras, eftersom flödet genom dem alla tas med i beräkningen). $\omega$

Så vi har bevisat att för en laddning q inuti en sluten yta S , flödet genom den

\Phi _{S}=\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

För en enda punktladdning utanför ytan

Ganska liknande resonemang, utfört för fallet när q är utanför området som begränsas av ytan S , med hänsyn till tecknet vid beräkning av flödet genom varje plats, resulterar i ett flöde på noll. (den lilla rymdvinkeln kommer nu att korsa S ett jämnt antal gånger, flödena kommer att vara lika i absolut värde men motsatt i tecken) [18] .

Summeringen av elementära strömmar utförs på samma sätt som i punkt 1, såväl som deras beräkning.

Så för en laddning utanför en sluten yta är flödet genom den noll .

För valfritt antal avgifter

Det sista steget är enkelt. Den består i att tillämpa principen om överlagring.

Om för varje punktladdning skapar fältet som skapas av den (när inga andra laddningar finns) ett flöde genom ytan som uppfyller Gauss-satsen (det vill säga för varje laddning inuti ytan och 0 för var och en utanför ytan), sedan flödet från det totala fältet ${\mathbf E}_{i}$ $\Phi _{i}=4\pi q_{i}$

\Phi =\int \limits _{S}(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{3}+\dots )\cdot \mathbf {dS} =\int \limits _{S}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{3}\cdot \mathbf {dS} +\dots =\Phi _{1}+\Phi _{2}+\Phi _{3}+\prickar

är lika med summan av flödena som skapas av varje laddning i frånvaro av de andra, är helt enkelt lika med

\Sigma \Phi _{i}=4\pi \Sigma q_{i},

där summeringen endast är över laddningarna inuti ytan (var och en av de utanför bidrar med 0).

Teoremet har bevisats.

Bevis genom Gauss-Ostrogradsky-formeln

Detta bevis är mer formellt.

1. Vi fortsätter igen från Coulomb-lagen (i det här avsnittet kommer vi att använda CGS- systemet och för tydlighetens skull kommer vi att prata om satsfältet E och inte D ):

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\frac {{\mathbf r}}{r}}.

2. Coulomb-fältet uppfyller Gauss-lagens differentialform:

\nabla \cdot {\mathbf E}=4\pi \rho .

Detta kan verifieras [19] genom direkt substitution [20] av formel (1) till (2).

3. Baserat på principen om superposition tror vi att fältet som skapas av många laddningar också uppfyller denna differentialekvation (noterar i förbigående att denna ekvation är linjär, och därför är superpositionsprincipen tillämplig).

4. Med hjälp av Gauss-Ostrogradsky-formeln får vi omedelbart:

4\pi Q=\int \limits _{V}4\pi \rho dV=\int \limits _{V}\nabla \cdot {\mathbf E}dV=\oint \limits _{{\partial V} }{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\Phi _{E}

Teoremet har bevisats.

Tillämpning av Gauss sats

Att vara, tillsammans med ekvationen för nollcirkulation av det elektriska fältet, den grundläggande fältekvationen för elektrostatik , Gauss-satsen, tillsammans med uttrycket av vektorns elektriska fält i termer av dess skalära potential, leder till Poisson-ekvationen - huvud- och endast differentialekvationen för den klassiska teorin för den elektrostatiska potentialen .

Inom elektrodynamik förblir Gauss-satsen (Gauss lag) också (helt i samma form) en av huvudekvationerna - en av de fyra Maxwell-ekvationerna .

I vissa situationer kan Gauss teorem användas för att direkt och enkelt beräkna det elektrostatiska fältet direkt. Det här är situationer där problemets symmetri tillåter oss att införa sådana ytterligare villkor för den elektriska fältstyrkan att detta, tillsammans med Gauss-teoremet, räcker för en direkt elementär beräkning (utan att använda de två vanliga allmänna metoderna - att lösa en partiell differential ekvation eller frontal integration av Coulomb-fält för elementära punktladdningar).

Det är på detta sätt, med hjälp av Gauss-satsen, som själva Coulomblagen kan härledas ( se ovan ).

Specifika exempel på en sådan tillämpning av Gauss-satsen diskuteras nedan.

De använder följande kvantiteter och notation:

Bulkladdningstäthet

\rho ={\frac {dq}{dV}},

var är det (oändligt lilla) volymelementet, $dV$

Ytladdningstäthet

\sigma ={\frac {dq}{dS}},

var är ett (oändligt litet) ytelement. $dS$

Linjär laddningstäthet

\lambda ={\frac {dq}{dl}},

där är längden på ett infinitesimalt segment. (Den första används för laddningar som är kontinuerligt fördelade över volymen, den andra för de fördelade över ytan, den tredje för de fördelade längs en endimensionell linje (kurva, rät linje). $dl$

Beräkning av fältstyrkan för en sfäriskt symmetrisk laddningsfördelning

Sättet att beräkna med Gauss-satsen för någon sfäriskt symmetrisk laddningsfördelning i allmänhet är det som beskrivs ovan för fallet med en punktladdning (se stycket om Coulombs lag ).

Vi noterar här endast i förhållande till icke-punktkällor med sfärisk symmetri att (allt detta är en konsekvens av tillämpningen av metoden som beskrivs där):

En sfäriskt symmetrisk laddning med ett koncentriskt sfäriskt tomrum (eller oladdat område) i mitten skapar inte ett fält inuti detta tomrum (fältstyrkan där är noll).
I allmänhet skapas fältet på ett avstånd r från centrum endast av de laddningar som är djupare till centrum. Detta fält kan beräknas enligt Coulombs lag: , endast här ska Q förstås som den totala laddningen av ett sfäriskt område med radie r (vilket betyder att beroendet av r i slutändan skiljer sig från Coulombs, eftersom Q växer med ökande r , åtminstone tills r inte är större än radien för hela det laddade området - om det bara är ändligt i sin tur). $E=KQ/r^{2}$
För r , större än radien för det laddade området (om det är ändligt), är den vanligaste Coulombs lag uppfylld (som för en punktladdning). Detta förklarar till exempel varför den vanliga Coulomb-lagen fungerar för likformigt laddade bollar, sfärer, planeter med en struktur nära sfäriskt symmetrisk även nära deras yta (till exempel varför nära jordens yta är gravitationsfältet tillräckligt nära fältet av en punktmassa koncentrerad i jordens mitt).
I ett intressant specialfall av en likformigt laddad boll visar sig dess elektriska (eller gravitations-) fält vara proportionellt mot avståndet till mitten inuti bollen. [21]

Beräkning av fältstyrkan för ett oändligt plan

Betrakta fältet som skapas av ett oändligt likformigt laddat plan med samma ytladdningstäthet överallt . Föreställ dig mentalt en cylinder med generatorer vinkelräta mot det laddade planet, och baser ( varje område) placerade symmetriskt i förhållande till planet (se figur). $\sigma$ $\Delta S$

På grund av symmetri:

Alla fältstyrkevektorer (inklusive och ) är vinkelräta mot det laddade planet: på grund av problemets rotationssymmetri måste fältstyrkevektorn förvandlas till sig själv för varje rotation kring axeln vinkelrät mot planet, och detta är möjligt för en vektor som inte är noll endast om den är vinkelrät mot planet . Av detta följer (bland annat) att fältstyrkans flöde genom cylinderns sidoyta är lika med noll (eftersom fältet är riktat överallt tangentiellt till denna yta). $E'$ $E''$
$E'=E''=E$ .

Flödet av spänningsvektorn är lika (på grund av (1)) med flödet endast genom cylinderns baser, och det, på grund av det faktum att och är vinkelräta mot dessa baser och på grund av (2), är helt enkelt . $E'$ $E''$ $2E\Delta S$

Genom att tillämpa Gauss-satsen och med hänsyn till , får vi (i SI- systemet ): $Q=\sigma \Delta S$

2E\Delta S={\frac {\sigma \Delta S}{\varepsilon _{0}}},

Av vad

E={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}},

I CGSE- systemet är alla argument helt analoga (upp till konstanta koefficienter), och svaret skrivs som $E=2\pi \sigma .$

Beräkning av fältstyrkan för en oändlig filament

Låt oss betrakta det fält som skapas av en oändlig rätlinjig glödtråd med en linjär laddningstäthet lika med . Låt det krävas att bestämma intensiteten som skapas av detta fält på ett avstånd från tråden. Låt oss ta som en Gaussisk yta en cylinder med en axel som sammanfaller med gängan, radien och höjden . Då är spänningsflödet genom denna yta, enligt Gauss-satsen, som följer (i SI- enheter ): $\lambda$ $R$ $R$ $\Delta l$

\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0}}}.

På grund av symmetrin

fältstyrkevektorn är riktad vinkelrätt mot glödtråden, direkt bort från den (eller direkt mot den).
modulen för denna vektor är densamma vid vilken punkt som helst på cylinderns yta.

Sedan kan intensitetsflödet genom denna yta beräknas enligt följande:

\Phi _{{\mathbf {E}}}=\sum _{i}\Delta S_{i}E_{i}=E\summa _{i}\Delta S_{i}=ES=E2\pi R \Delta l.

Endast arean av cylinderns laterala yta tas med i beräkningen, eftersom flödet genom cylinderns baser är noll (på grund av riktningen för E tangentiellt till dem). Genom att likställa de två erhållna uttrycken för har vi: $\Phi _{{{\mathbf E}}}$

{\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0))}=E2\pi R\Delta l,

E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}R}}.

(I GHS- systemet är svaret: ). $E=2\lambda/R$

Andra uppgifter

Den beskrivna metoden är också användbar för att lösa vissa andra problem.

För det första, precis som för problemets sfäriska symmetri är det möjligt att beräkna inte bara fältet för en punktladdning, utan även andra källor till sådan symmetri, så är det också sant för källor till cylindrisk symmetri (man kan enkelt beräkna fältet inte bara för en oändlig tråd, utan också för en oändlig cylinder - både utanför och inuti den, rör, etc.), såväl som för källor till tvådimensionell translationssymmetri (det är möjligt att inte bara beräkna fältet av ett tunt plan, men också till exempel fältet av ett tjockt plant lager).

Vidare kan liknande problem lösas inte bara för en rymddimension lika med tre, utan också för en större eller mindre (i princip vilken som helst) rymddimension. Detta kan vara viktigt i teoretiska termer. Till exempel är det uppenbara resultatet av ett sådant tillvägagångssätt påståendet att i Coulombs lag i n -dimensionell icke-krökt rymd kommer r in i potenser av -(n-1), och lokalt (för litet r ) gäller detta också för böjda utrymmen.

Dessutom gör Gauss-satsen det möjligt att i vissa fall enkelt beräkna det elektrostatiska (eller liknande) fältet inte bara i platt rymd utan även i rymden med krökning. Ett exempel är problemet med att hitta en analog till Coulombs lag för ett tvådimensionellt rum, som är ytan av en sfär (lösningen är lätt att hitta och skiljer sig uppenbarligen från den vanliga Coulombs lag) [22] .

Konsekvenser av Gauss teorem

En konsekvens av Gauss sats är Earnshaws sats .
En annan konsekvens av Gauss-satsen är det faktum att i det statiska fallet är tätheten av överskott (det vill säga okompenserade) laddningar inuti ledaren noll. Överskottsladdningar kan endast uppträda på ytan av ledaren i ett tunt lager (i själva verket är dess tjocklek ungefär ett eller två interatomära avstånd) [23] . Strängt taget är detta sant i frånvaro av andra (icke-elektrostatiska) krafter som verkar på laddningarna. Om dessa krafter (vanligtvis kallas de yttre krafter) tas med i beräkningen, kan det även inuti ledarna finnas ett elektriskt fält. Till exempel, i ett gravitationsfält, kommer tyngre joner i en lösning att ha en högre koncentration i botten av lösningen, medan lättare kommer att tendera att stiga (på grund av Arkimedeskraften ). Det resulterande extremt lilla elektriska fältet kommer att förhindra en sådan gravitationsseparation av laddningar. Denna effekt kan vara signifikant för kolloidala system , där det finns en liten laddning på en massiv partikel jämfört med lösningen, och andra partiklar med samma laddningstecken som kolloidala partiklar saknas. Denna konsekvens är också helt falsk för mikrokosmos, där kvantmekaniska krafter verkar på elektroner. Till exempel i halvledarsolfotoceller är det det elektriska fältet som separerar elektronerna och "hålen" som uppstår i par under absorptionen av ljus ( fotodissociation ). Peltier-effekten , på vilken termoelementens verkan är baserad, är ett levande exempel på närvaron av ett elektrostatiskt fält inuti en ledare (i kontaktzonen för två olika metaller) .

Se även

Ostrogradsky formel

Anteckningar

↑ Och det låter dig göra detta inte bara för tredimensionellt utrymme, utan också för alla dimensioner av utrymme som kan påträffas i teorin.
↑ Även om i praktiken, särskilt i vardagligt tal, görs skillnaden i användningen av dessa termer ofta inte.
↑ Fedosin, SG Om den kovarianta representationen av integralekvationer av det elektromagnetiska fältet // Framsteg inom elektromagnetisk forskning C: tidskrift. - 2019. - Vol. 96 . - S. 109-122 . - doi : 10.2528/PIERC19062902 . - . - arXiv : 1911.11138 . // Om den kovarianta representationen av integralekvationerna för det elektromagnetiska fältet Arkiverad 22 maj 2021 på Wayback Machine .
↑ Här, för korthetens skull, ger vi igen endast i GHS .
↑ Dess närvaro förklaras kvalitativt av det faktum att när det dielektriska mediet är polariserat är dipolerna som utgör det orienterade så att några av dem skär ytan, och inuti den finns ändarna på dipolerna av samma tecken, vilket skapar en ytterligare "bunden" laddning Qb inuti den .
↑ Om magnetiska monopoler fanns (eller om de faktiskt existerar och kommer att upptäckas), skulle de angivna ekvationerna vara (eller borde vara): $\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q_{m} ,$ $\nabla \cdot {\mathbf {B}}=\rho _{m},$ var är den magnetiska laddningen (laddningen av magnetiska monopoler) och den magnetiska laddningstätheten. Inget förbjuder bland annat att betrakta magnetiska laddningar rent formellt, i andan av Amperes magnetiska arksats , när det är lämpligt för att lösa något problem; i detta fall uppfyller flödet som skapas av de formellt införda magnetiska laddningarna också de ekvationer som ges här. I det här fallet kommer Maxwells ekvation om lagen för elektromagnetisk induktion också att förändras. (Formen av ekvationer i ett helt rationaliserat enhetssystem är given; beroende på valet av ett visst enhetssystem kan en konstant faktor visas på höger sida, till exempel i det vanliga gaussiska enhetssystemet, den vanliga faktorn för det kommer att dyka upp där ). $Q_{m},\rho _{m}$ $4\pi$
↑ Minustecknet uppträder på grund av det faktum att sådant är tecknet i lagen om universell gravitation , en analog till Coulombs lag i Newtons gravitationsteori.
↑ En sådan tolkning går historiskt tillbaka, tydligen, till Faraday.
↑ Eller proportionell mot den med en konstant koefficient (vilket är densamma, eftersom det bara beror på modellens villkorliga specifikation).
↑ Eller proportionellt, beroende på vilka måttenheter som används och den villkorade konventionen för modellimplementeringen.
↑ Historiskt sett var denna analogi av stor betydelse för Maxwell och användes intensivt under den efterföljande utvecklingen av elektrodynamiken.
↑ För de teorier och fält när det är uppfyllt, det vill säga till exempel för elektrodynamik.
↑ "... en kraftfull "integral" teorem-konsekvens av Coulombs lag och superpositionsprincipen - Gauss teorem." A.V. Zoteev, A.A. Sklyankin. Föreläsningar om kursen allmän fysik. Mekanik. elektricitet och magnetism. Handledning. - Moscow State Universitys förlag. M.V. Lomonosov, filial av Moscow State University i Baku, 2014. - 242 s. Citat på s.99
↑ "Med andra ord är Gauss lag ensam inte ett tillräckligt villkor för symmetrin av punktkällans fält som antyds i Coulombs lag" Purcell E. Berkeley Course in Physics (i 5 volymer). T.2: Elektricitet och magnetism. Per. från engelska. T.2. 1971. 448 sid. Anmärkning på s.42
↑ Axiomatiseringen av elektrodynamiken, där Coulombs lag är primär, gör det möjligt att få en slutsats om giltigheten av Maxwells ekvationer - inklusive Gauss' teorem - för enhetliga rörelser av laddningar, men kräver ett ytterligare postulat om utvidgningen av dessa ekvationer till fallet med accelererade rörelser, medan den omvända övergången från Maxwells ekvationer till Coulombs lag inte kräver ytterligare antaganden. I denna mening är dessa två typer av axiomatiseringar inte riktigt symmetriska (och Coulombs lag förekommer i samband med flera ytterligare postulat), vilket dock inte gör dessa axiomatiseringar olikvärdiga.
↑ Här måste vi begränsa oss till elektrostatikens ramar av det skälet att Coulombs lag som sådan endast äger rum inom dess ram.
↑ Detta verkar metodologiskt vara mer lämpligt för detta stycke för detta stycke än att till exempel använda ett icke-rationaliserat GHS .
↑ Som ett resultat behövs inte ens sfären S 0 i detta fall.
↑ Du kan gissa att ekvationen borde vara exakt så här, till exempel utifrån analogin med en vätskas flöde. Det är sant att en sådan analogi omedelbart bevisar hela satsen, men detta bevis förlorar de matematiska detaljerna som vi skulle vilja spåra, så vi begränsar oss till att endast använda denna analogi som en heuristisk ledtråd (om vi överhuvudtaget är intresserade av denna fråga; annars , en enkel beräkningskontroll om vilken som anges i huvudtexten).
↑ Till exempel genom att skriva uttrycket (1) för Coulombs lag explicit i kartesiska koordinater, varefter det bara återstår att ta derivatorna med avseende på x , y och z och lägga ihop dem.
↑ Detta fält kan mätas om så önskas, om det finns en tunn brunn i bollen eller om bollen är flytande, då är det lätt att tränga in i den. Således verkar en kraft på kroppen inuti en sådan boll som i en harmonisk oscillator , och om bollen är flytande, det vill säga den stör inte testkroppens fria rörelse i någon riktning, då har vi en tre- dimensionell harmonisk oscillator.
↑ Det kan tyckas att den sista uppgiften är rent abstrakt, men i själva verket är den lätt att genomföra i praktiken: det räcker att ta ett tunt sfäriskt lager av en ledande vätska - till exempel mellan isolerande sfäriska väggar - eller bara en såpbubbla; det elektriska fältet i ett sådant lager kommer att motsvara den beskrivna situationen. Det är också möjligt att betrakta ett magnetfält i ett tunt sfäriskt tomt skikt inneslutet mellan koncentriska supraledande väggar, ett sådant system implementerar det beskrivna problemet även för ett magnetfält.
↑ I. E. Herodov. Elektromagnetism: grundläggande lagar. - 7:e uppl. - M . : Binom. Kunskapslaboratoriet., 2009. - S. 46-47.

Litteratur

Matveev A. N. Elektricitet och magnetism: Lärobok. - M .: Högre skola, 1983. - 463 s., ill. och senare upplagor.
Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. — M. . - T. III. Elektricitet. - §§ 5 - 8, 13, 53.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Britannica (online)