Earnshaws teorem

Earnshaw -satsen är en sats om det elektrostatiska fältet , formulerad på 1800-talet av den engelske fysikern Earnshaw 1842 [1] .

Det är en följd av Gauss sats .

Earnshaws teorem är en rent klassisk (icke-kvant) sats och har ingen .

Formulering

Varje jämviktskonfiguration av punktladdningar är instabil om inga andra krafter verkar på dem förutom Coulombs attraktions- och repulsionskrafter.

Det är underförstått att punktladdningar är "ogenomträngliga", det vill säga att de inte kan inta en sammanfallande position i rymden (det vill säga, det är underförstått att i detta fall, innan punktladdningarna tar en sådan position, krafter av icke-coulomb natur börja agera mellan dem, till exempel ytornas elastiska krafter - om vi betraktar en punktladdning som ett begränsningsfall av en liten kropp med ändliga dimensioner [2] ); med andra ord, uppenbara fall av jämvikt med positiva och negativa laddningar som sammanfaller i rumslig position är uteslutna från övervägande av satsens tillstånd. Detta kan motiveras på ett alternativt sätt till "ogenomtränglighet" av det faktum att sådana fall är triviala och därför inte intressanta, och även fysiskt tveksamma (antyder oändlig interaktionsenergi för laddningar i en sådan position).
"Externa" elektrostatiska fält (skapade av fasta källor) kan läggas till formuleringen av satsen.
Själva satsen säger inte att jämvikt är möjligt alls. Det är dock inte svårt att hitta exempel som visar att instabila stationära konfigurationer av punktavgifter kan finnas. Med instabilitet förstås här att varje liten avvikelse från den stationära konfigurationen leder till en ökning av instabiliteten och en kollaps av systemkonfigurationen.

Bevis

Det finns två versioner av beviset, som är helt likvärdiga inom ramen för elektrostatik och, i princip, bygger på samma fysiska (matematiska) idé, uttryckt i lite olika termer .

Den första är implementerad i termer av fältstyrka och är baserad på Gauss sats , den andra är i termer av potentialen och är baserad på Laplace ( eller Poisson ) ekvation .

Fördelen med den första metoden är att den är tillämpbar inte bara för potentiella fält , det vill säga den kräver inte att fältstyrkan uttrycks fullt ut genom en skalär potential . I det här fallet räcker det att den lyder Gauss lag [3] .

Beviset när det gäller potentialen är något enklare och geometriskt tydligt.

Bevis när det gäller fältstyrka

Tänk på en positiv punktladdning. Kraften som verkar på den riktas längs vektorn för det elektrostatiska fältet. För en stabil jämvikt vid vilken punkt som helst i rymden är det nödvändigt att, med en (liten) avvikelse från den, börjar en återställande kraft att verka på den. Det vill säga, i fallet med elektrostatik, för att en sådan punkt ska existera, är det nödvändigt att i ett litet område av denna punkt fältvektorn som skapas av alla andra laddningar riktas mot den (i dess riktning). Det vill säga att fältlinjerna måste konvergera till en sådan punkt, om den finns. Det betyder (på grund av Gauss-satsen ) att den också måste innehålla en negativ laddning. Men en sådan variant av jämvikt uppfyller inte villkoret för satsen (om vi till exempel betraktar punktladdningar som mycket små solida bollar, innan de når den beskrivna jämviktspositionen, kommer de att kollidera med ytor, det vill säga i verklig jämvikt där kommer att vara krafter av icke-elektrostatisk natur, om vi betraktar dem som matematiska punkter, kommer denna lösning att innehålla oändlig interaktionsenergi, vilket inte är fysiskt acceptabelt, och om vi betraktar det från en lite annan synvinkel är detta bortom tillämpligheten av klassisk elektrostatik).

Ur Gauss-satsens synvinkel innebär förekomsten av en återställande kraft (riktad från alla sidor till en viss punkt) att vektorn för intensiteten av yttre krafter skapar ett negativt flöde genom en liten yta som omger punkten för den påstådda jämvikt. Men Gauss sats säger att flödet av yttre krafter genom ytan är noll om det inte finns någon laddning inuti denna yta [4] . Vi får en motsägelse.

Vid negativ laddning är övervägandet helt analogt.

Bevis i termer av potential

Låt oss betrakta en av punktladdningarna i de andras område och visa att om den är i jämvikt så är den bara i en instabil. (Vi kommer att kalla denna avgift distinguished).

Låt oss anta att den frigjorda laddningen är i jämvikt (det motsatta fallet är inte intressant).

Potentialen som skapas av resten av laddningarna i närheten av vår utvalda följer Laplace-ekvationen (såvida inte en av dessa andra laddningar sammanfaller i position med positionen för den valda laddningen, vilket utesluts av formuleringen av satsen [5] ), eftersom detta är ett elektrostatiskt fält och i detta område saknar utrymmet sina källor (andra laddningar).

Laplace ekvation:

{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\phi}{\partial y^{2))}+{\ frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2))}=0

har som en konsekvens uttalandet:

eller en sekundderivata av potentialen med avseende på några av koordinaterna - eller (det vill säga en av de tre termerna på vänster sida) är mindre än noll, $\phi$ $x,y$ $z$
eller alla tre derivator är lika med noll.

I det första fallet är det uppenbart att potentialen inte har ett minimum vid en given punkt, vilket betyder att den potentiella energin för den aktuella laddningen inte har det vid denna punkt, det vill säga dess jämvikt är instabil.

Det andra fallet delas in i två alternativ:

1. Om alla tre andraderivator av potentialen är lika med noll inte bara i punkten utan också i dess ändliga grannskap (och förstaderivatan vid själva punkten är lika med noll genom antagandet om jämvikt), då potentialen i denna grannskap är en konstant och vi har uppenbarligen fallet med likgiltig jämvikt, det vill säga det är inte en stabil jämvikt. Det kan visas att för fallet med ett ändligt antal punktkällor realiseras denna variant inte alls. [6]

2. Om alla tre andraderivator av potentialen är lika med noll endast i en enda punkt (den så kallade utplattande punkten ), så kan det visas att [7] :

den betraktade punkten är fortfarande inte en extrempunkt;
detta fall i sig kan inte realiseras för någon av laddningarna som valts, till exempel realiseras det inte för extremladdningarna, för vilka andraderivatan av potentialen alltid är icke-noll [8] .

Ovanstående bevis är således ganska fullständigt för det första fallet (fallet i allmänhet) och beskriver endast de frågor som uppstår i vissa specialfall och svaren på dem.

Det enklaste sättet att besvara dessa frågor är att använda ett tillvägagångssätt baserat på Gauss sats.

Generaliseringar

Det kommer att vara trivialt att notera att satsen inte bara gäller för elektrostatik, utan också för fältet för alla krafter som beskrivs som minskande som Coulombs lag [9] (till exempel för Newtonska gravitationskrafter [10] ).
Satsen gäller även för magnetostatik när det gäller fasta dipoler och strömmar (i närvaro av inducerade magnetiska moment kan den brytas - se exemplet nedan). Nyckeln till beviset här är Gauss sats för magnetfältet . I princip kan beviset för magnetostatik reduceras till det elektrostatiska fallet med hjälp av Ampères Magnetic Sheet Theorems , men då krävs att man använder den elektrostatiska formuleringen av satsen inte för punktpartiklar, utan för utökade fasta ämnen (se nästa stycke).
Satsen är sann (i det här fallet bör formuleringen modifieras något [11] ) för stela system av punktladdningar och fasta [12] laddade fasta (absolut solida) kroppar (ogenomträngliga för varandra - i vissa av de betydelser som liknar de som anges i formuleringen för punktladdningar - det vill säga åtminstone de laddade områdena av fasta ämnen). Tanken med beviset är att överväga små translationsförskjutningar av en stel kropp (utan rotationer). Då är den potentiella energin [13] för ett stel laddningssystem helt enkelt summan av varje laddning multiplicerat med potentialen i dess närhet, taget varje gång vid en punkt på grund av kroppens totala förskjutning:

U(\delta \mathbf {R} )=\Sigma _{i}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i}+\delta \mathbf {R} ),

var är vektorn för kroppens totala förskjutning, till exempel förskjutningen av dess masscentrum.

\delta {\mathbf R}

Eftersom potentialen i närheten av varje punkt uppfyller Laplace-ekvationen (det är underförstått att laddningarna från en annan kropp är frånvarande i oändlig närhet till laddningen av den givna på grund av deras ogenomtränglighet), då deras linjära kombination (summa med koefficienter) uppfyller också den, det vill säga den uppfyller också Laplace-ekvationen [14] , vilket betyder att den inte kan ha ett minimum. $\phi ({\mathbf r}_{i}+\delta {\mathbf R})$ $U(\delta {\mathbf R})$

Tydligen är satsen också sant för fallet med elastiska, i betydelsen Hookes lag , laddningsanslutningar.
Satsen gäller för fallet med inducerade dipolmoment (i elektrostatik och magnetostatik) förutsatt att polariserbarhetskoefficienten för inducerade dipoler är positiv.
Teoremet är inte sant för fallet med dipoler inducerade av ett externt fält med negativ polariserbarhet. Ett sådant fall realiseras tydligen inte naturligt för elektriska dipoler (fallet med artificiell kontroll av dipolmomentet avses inte här, det betraktas nedan).

Men för inducerade magnetiska dipoler inträffar fallet med negativ polariserbarhet ganska ofta, till exempel för diamagnetiska eller supraledande kroppar, för vilka generaliseringen av Earnshaws sats därför inte håller , det vill säga för dem är en stabil jämvikt fullt möjlig ( W. Braunbeck , 1939 ) [15] .

Det är ganska uppenbart att Earnshaws sats inte är tillämplig på fallet med ömsesidigt permeabla fasta ämnen. Till exempel, i samspelet mellan två likformigt laddade (laddningar av samma tecken, samma eller olika i storlek) bollar (med samma eller olika diametrar, inklusive istället för en av bollarna, kan du ta en punktladdning), kommer att vara en stabil jämvikt i en position där deras centra sammanfaller. Det är sant att det praktiska värdet av en sådan teoretisk modell som ömsesidigt permeabla fasta ämnen inte är särskilt tydligt.

Tillämpningsgränser

Grundläggande-teoretiska gränser för tillämpligheten av satsen

Earnshaws teorem som sådan (och som beskrivs i den här artikeln) är en rent klassisk (inte kvantsats). Detta bestämmer den huvudsakliga grundläggande gränsen för dess tillämpningsområde.

Dessutom, även om det i vissa speciella fall är möjligt att formulera en viss kvantanalog av den, ändå, i allmänhet, och i många specifika nyckel- och fundamentala fall, är en sådan generalisering omöjlig (såvida inte, naturligtvis, satsen med motsatsen uttalande anses vara en generalisering).

I ett nötskal är poängen att i kvantfallet (det vill säga när det är omöjligt att begränsa oss till den klassiska approximationen), generellt sett, finns det ingen ömsesidig ogenomtränglighet (till exempel kan en elektron och en proton mycket väl ockupera samma plats, passera genom varandra och till och med "ignorera" varandra i detta fall, med undantag för elektromagnetisk [16] interaktion. Dessutom kommer själva konceptet med en klassisk punktpartikel i kvantfallet - det vill säga t.ex. om vi betraktar jämvikten mellan en proton och en elektron, då på en rumslig skala av storleksordningen en atomdiameter — försvinner själva begreppet en punktpartikel [17] .

Av allt detta följer en radikal förändring av situationen med möjlighet till en stabil jämvikt av laddade partiklar i kvantfallet.

I huvudsak kan vi säga att väteatomen är den stabila jämvikten mellan protonen och elektronen, som endast interagerar elektrostatiskt [18] .

Tillämpad aspekt

Inom teknik är Irnshaws teorem förknippad med vissa restriktioner för att lösa det tekniska problemet med stabil inneslutning (eller upphängning) av en viss kropp med hjälp av fält (elektriska, magnetiska, ofta i kombination med ett naturligt gravitationsfält), det vill säga utan direkt kontakt med solida och generellt materiella hållande strukturer.

Dessa begränsningar kan dock kringgås.

De viktigaste metoderna som används för detta är:

Användningen av ett magnetfält och en kropp med en negativ magnetisk känslighet (diamagnet) eller en supraledare - en idealisk diamagnet. I detta fall är det möjligt att uppnå naturlig stabilitet utan användning av några ytterligare fält (och utan energikostnader). Det är tillräckligt att korrekt välja konfigurationen av fältkällorna och formen på den diamagnetiska kroppen.
Användning av ytterligare icke-potentiella krafter. Ett exempel på en intressant enhet är levitron , som använder en roterande topp för levitation . I det här fallet är den toppformade magneten i en potentiell brunn, och gyroskopeffekten används för att övervinna lutningsinstabiliteten.
Användning av automatiska styrsystem för hållfältet och/eller elektriska eller magnetiska parametrar (laddning, elektriskt eller magnetiskt dipolmoment , etc.) hos den kropp som hålls.

Applikation

Earnshaws teorem spelade historiskt en viktig roll i teorin om atomens struktur - antagandena om atomen som ett system av statiska laddningar förkastades på grundval av dess, och atomens planetmodell introducerades för att förklara atomens stabilitet . Se dock ovan .

Det har tillämpat värde inom teknik ( se ovan ).

Anteckningar

↑ Earnshaw, Samuel (1842). Om naturen hos de molekylära krafterna som reglerar den lysande eterns konstitution. Trans. Camb. Phil. soc. 7: sid. 97-112.
↑ Det bör noteras att om vi betraktar punktladdningar som begränsningsfallet för fasta, men absolut genomsläppliga för varandras kroppar, visar sig en sådan jämvikt med (partiell) neutralisering vara möjlig, men en sådan modell av en punktladdning är förkastas när man formulerar satsen som fysiskt orealistisk (och i alla fall kommer den att ge oändliga interaktionsenergier för punktgränsen).
↑ Till exempel förblir ett sådant bevis giltigt när ett externt elektriskt virvelfält läggs till de elektrostatiska fälten (vilket kan uppstå inom elektrodynamiken, även utan att förändras under en viss tidsperiod).
↑ Vi menar inte laddningen vars jämvikt vi överväger, utan några av de andra laddningarna som skapar ett fält där jämvikten för denna laddning beaktas.
↑ För en diskussion av alla reservationer, se formuleringsstycket .
↑ Men för att generalisera satsen till fallet med fasta ämnen med en kontinuerlig laddningsfördelning, förekommer fallet med indifferent jämvikt ganska ofta (Se Generaliseringar ). Om vi betraktar fallet med ett system av punktladdningar utan överlagrade bindningar, men antar ett oändligt antal av dem och till och med en kontinuerlig fördelning av avgifter, så kan vissa av laddningarna vara i likgiltig jämvikt (till exempel en diskret punktladdning i mitten av en ihålig laddad sfär, men jämvikten för andra laddningar (extrema) kan inte vara likgiltig (vi bevisar inte detta här).
↑ Beviset för båda ges inte här. I princip, att ta hänsyn till dessa subtila egenskaper bryter något mot enkelheten i tillvägagångssättet genom att använda potentialen för ett rigoröst bevis. Även om det på den "fysiska nivån av rigor" verkligen är tydligt och enkelt.
↑ Åtminstone i versionen av satsen med ett ändligt antal diskreta laddningar. För varianten med antagande om kontinuerliga fördelningar (ett oändligt antal) av avgifter bör detta uttalande förfinas ytterligare.
↑ Eftersom tillämpningen av Earnshaws teorem på gravitation (om man inte tar hänsyn till antigravitation) inte är av intresse - se följande anteckning, så finns det bland de kända fundamentala krafterna helt enkelt inga kandidater för dess tillämpning förutom elektriska och magnetiska. Den kan dock tillämpas i alla fall där sådana krafter introduceras rent teoretiskt, såväl som i fall där krafter liknande Coulombs förekommer i någon fenomenologisk teori (till exempel inom hydrodynamik).
↑ Ett exempel på Newtonsk gravitation, även om det formellt är helt korrekt, är inte särskilt meningsfullt. Faktum är att inte bara i Newton, utan även i vilken annan gravitationsteori som helst, om den bara innebär attraktion, är det faktum att det inte finns någon (statisk) jämvikt annat än kollisionen av attraherande objekt helt uppenbart utan Earnshaws teorem.
↑ Den strikta instabiliteten hos den ursprungliga satsen måste ersättas med en icke-strikt, det vill säga fallet med likgiltig jämvikt blir acceptabelt (och i princip inte alltför sällsynt).
↑ Här betraktar vi fallet när laddningarna inte är väsentliga, spetsiga eller fördelade, stelt fast i volymen eller på ytan av fasta ämnen (eller, på ett eller annat sätt, förbundna med stela bindningar).
↑ Du kan också överväga en variant av beviset i termer av krafter och fältstyrka, som gjordes i beviset för huvudsatsen i artikeln, och inte i termer av potentiell energi och potential, vilket skulle vara helt ekvivalent. Men här, för korthet och enkelhet, begränsar vi oss till det andra alternativet.
↑ Faktum är att vid denna tidpunkt har teoremet för en stel kropp reducerats till ett teorem för punktladdningar.
↑ Encyclopedia of Physics, artikel "Earnshaws teorem".
↑ Och i samband med studiet av jämvikt diskuterar vi - främst elektrostatisk.
↑ Eller, om du vill, förändras det till oigenkännlighet. Till och med själva termen punktpartikel , som den vanligtvis används inom kvantfysiken, betyder i huvudsak helt annorlunda än i den klassiska, i stort sett kommer det inte att vara en för stor överdrift att säga att användningen av termen punktpartikel i kvantfallet är rent godtycklig och nästan oavsiktligt överensstämmande med den klassiska förståelsen av termen.
↑ Man skulle kunna hävda (tillsammans med fysiker från tiden för kvantteorins födelse) att denna jämvikt inte är helt statisk. Faktum är att en elektron i en väteatom har kinetisk energi och kvadraten av momentum. Men inom kvantmekaniken kan elektronen helt enkelt inte stanna helt, åtminstone för att stanna skulle den behöva uppta hela det oändliga utrymmet. Således kan vi säga att antingen begreppet statisk jämvikt i kvantfallet försvinner helt (blir otillämpligt) eller så återstår att komma överens om att väteatomen i marktillståndet (oexciterat) är jämvikten mellan en proton och en elektron som statisk eftersom det i allmänhet är möjligt i kvantfall.