Snyggt problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Cauchy-problemet är ett av huvudproblemen i teorin om differentialekvationer ( vanliga och med partiella derivator ); består i att hitta en lösning (integral) av en differentialekvation som uppfyller de så kallade initialvillkoren (initialdata).

Cauchy-problemet uppstår vanligtvis i analysen av processer som bestäms av evolutionens differentiallag och initialtillståndet (vars matematiska uttryck är ekvationen och initialtillståndet). Detta motiverar terminologin och valet av notation: de initiala uppgifterna ges vid , och lösningen finns vid . $t=0$ $t>0$

Cauchy-problemet skiljer sig från gränsvärdesproblem genom att det område där den önskade lösningen ska fastställas inte anges här i förväg. Ändå kan Cauchy-problemet betraktas som ett av gränsvärdesproblemen.

De viktigaste frågorna som är relaterade till Cauchy-problemet är följande:

Finns det en lösning på Cauchy-problemet?
Om det finns en lösning, vad är då domänen för dess existens?
Är lösningen den enda?
Om lösningen är unik, kommer den att vara korrekt, det vill säga kontinuerlig (i någon mening) med avseende på initialdata?

Ett Cauchy-problem sägs ha en unik lösning om det har en lösning och ingen annan lösning motsvarar en integralkurva , som i en godtyckligt liten punkterad omgivning av punkten har ett riktningsfält som sammanfaller med riktningsfältet . Punkten anger de initiala förutsättningarna. $y=f(x)$ $(x_{0},y_{0})$ $y=f(x)$ $(x_{0},y_{0})$

Olika formuleringar av Cauchy-problemet

ODE av första ordningen, löst med avseende på derivatan

\left\{{\begin{array}{lcl}y'&=&f(x,y)\\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}}\right.

Första ordningens ODE - system löst med avseende på derivat ( -th order normal system ) $n$ $n$

\left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&f_{1}(x,y_{1},\ldots,y_{n})\\&\ldots &\\y '_{n}&=&f_{n}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{{01}}\\& \ldots &\\y_{n}(x_{0})&=&y_{{0n}}\end{array}}\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}{\ mathbf {y}}'&=&{\mathbf {f}}(x,{\mathbf {y}})\\{\mathbf {y}}(x_{0})&=&{\mathbf {y_ {0}}}\end{array}}\right.

ODE av den e ordningen, löst med avseende på den högsta derivatan $n$

\left\{{\begin{array}{lcl}y^{{(n)}}&=&f(x,y,\ldots ,y^{{(n-1))))\\y(x_ {0})&=&y_{{01}}\\&\ldots &\\y^{{(n-1)}}(x_{0})&=&y_{{0n}}\end{array} }\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&y_{2}\quad (=y')\\&\ldots &\\y'_ {{n-1}}&=&y_{n}\quad (=y^{{(n-1)}})\\y'_{n}&=&f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{{01}}\quad (=y(x_{0}))\\&\ldots &\\y_{n} (x_{0})&=&y_{{0n}}\quad (=y^{{(n-1)}}(x_{0}))\end{array}}\right.

Satser om lösbarheten av Cauchy-problemet för ODEs

Låt Cauchy-problemet övervägas i domänen: $D\delmängd R_{x}\ gånger R_{y}^{n}$

$\left\{{\begin{array}{lcl}y'(x)&=&f(x,y(x))\\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}} \höger.$

var . Låt högersidan vara en kontinuerlig funktion i . Under dessa antaganden äger Peano-satsen rum , som fastställer den lokala lösbarheten av Cauchy-problemet: Låt a>0 och b>0 vara sådana att den slutna rektangeln $(x_{0},y_{0})\i D$ $\överlinje D$

$R=\{(x,y):x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a,y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b\}$

tillhör domänen D, sedan på intervallet , där , , det finns en lösning på Cauchy-problemet. $[x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]$ $\alpha =\min\{a,b/M\}$ $M=\max \limits _{{(x,y)\in R}}|f(x,y)|$

Det angivna segmentet kallas Peano-segmentet. Observera att den lokala karaktären av Peanos sats inte beror på jämnheten på den högra sidan. Till exempel, för och för lösningen finns bara på intervallet . Vi noterar också att utan ytterligare antaganden om smidigheten på den högra sidan kan det unika med lösningen av Cauchy-problemet inte garanteras. Till exempel är mer än en lösning möjlig. $f(x,y)=y^{2}+1$ $x_{0}=0,y_{0}=0$ $y(x)=\mathrm {tg} \,x$ $\left(-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right)$ $f(x,y)={\sqrt {y}},x_{0}=0,y_{0}=0$

För att formulera ett teorem om det unika med lösningen av Cauchy-problemet är det nödvändigt att införa ytterligare begränsningar på höger sida. Vi säger att en funktion f(x, y) uppfyller Lipschitz-villkoret på D med avseende på y om det finns en konstant L så att

$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|$

för alla . $(x,y_{i})\i D,i=1,2$

Låt den högra sidan f(x, y) dessutom uppfylla Lipschitz-villkoret på D med avseende på y, då kan Cauchy-problemet inte ha mer än en lösning i D.

Vi noterar också att även om detta teorem har en global karaktär, fastställer det inte existensen av en global lösning.

För att det ska finnas en global lösning är det nödvändigt att ställa villkor för tillväxten på högersidan med avseende på y: låt funktionen f uppfylla villkoret

$|f(x,y)|\leq A(|y|+1),\ (x,y)\in D$

där A>0 är en konstant oberoende av x eller y, så har Cauchy-problemet en lösning i D. I synnerhet följer det av denna sats att Cauchy-problemet för linjära ekvationer (med koefficienter kontinuerliga i x) har en global lösning.

Satser om lösbarheten av Cauchy-problemet för partiella differentialekvationer

Låt Cauchy-problemet ställas in:

$\left\{{\begin{array}{lcl}a(x){\frac {\partial u}{\partial x))=0\\u|_{S}=f(x)\ slut{array}}\höger.$ ,

där S är den initiala hyperytan, är n-dimensionella vektorer. Sedan kan det lokala lösbarhetsvillkoret för detta Cauchy-problem formuleras enligt följande: $a(x)=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

En lösning av Cauchy-problemet i närheten av en punkt ∈ S finns och är unik om egenskapen som passerar genom punkten är tvärgående mot ytan S [1] $x_{0}$ $x_{0}$

Satsen om kontinuerligt beroende av parametern för Cauchy-problemet

Betrakta följande Cauchy-problem, vars högra sida beror på parametern μ

${\begin{cases}{\dfrac {dy}{dx}}=f(y,x,\mu )&x\in (0,X]\\y(x_{0},\mu )= y^{0}(\mu )\end{cases}}$

Vi ställer följande krav på funktionen på höger sida $f$

funktionen är definierad och kontinuerlig i , och därför $f$ $D=\{(y,x,\mu ):|x-x_{0}|\leq X,|yy^{0}|\leq b,|\mu -\mu _{0}| \leq {\mathcal {M}}\}$ $|f(x,y,\mu )|\leq M$
funktion uppfyller Lipschitz-tillståndet i $f$ $D$

Under sådana förhållanden på höger sida finns den klassiska lösningen av problemet, unikt och kontinuerligt beror på parametern vid , där $\mu$ $x\in (x_{0},H]$ ${\displaystyle H=\min {\Big (}X,{\dfrac {b}{M}}{\Big )))$

Se även

Anteckningar

↑ E. A. Kuznetsov, D. A. Shapiro METODER FÖR MATEMATISK FYSIK. Del I - PDF Gratis nedladdning . docplayer.ru Hämtad: 19 januari 2020. (obestämd)

Litteratur

EN. Tikhonov, A.B. Vasilyeva, A.G. Svesjnikov. Kurs i högre matematik och matematisk fysik. Differentialekvationer. - Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0277-X .
F. Hartman. Vanliga differentialekvationer. - Världen, 1972.