Lipschitz kartläggning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 januari 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Lipschitz-mappning ( Lipschitz-mapping [1] , även -Lipschitz-mapping ) är en mappning som ökar avståndet mellan bilderna av punkter med som mest tidpunkt, där kallas Lipschitz-konstanten för den givna funktionen. Uppkallad efter Rudolf Lipschitz . $L$ $L$ $L$

Definition

En mappning från ett metriskt utrymme till ett metriskt utrymme kallas Lipschitz om det finns en sådan konstant ( Lipschitz-konstanten för denna mappning) att för någon . Detta tillstånd kallas Lipschitz-tillståndet . En karta med en (1-Lipschitz-karta) kallas också en kort karta . $f$ $(X,\;\rho _{X})$ $(Y,\;\rho _{Y})$ $L$ $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ $x,\;y\i X$ $L=1$

En Lipschitz-mappning sägs vara bi- Lipschitz om den har en invers som också är Lipschitz. $f\kolon X\till Y$ $f^{{-1}}\kolon Y\till X$

En mappning kallas colipschitz om det finns en konstant sådan att för någon och det finns sådan att . $f\kolon X\till Y$ $L$ $x\i X$ $y\i Y$ $x'\in f^{{-1}}(y)$ $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$

Historik

Mappningar med egendom:

|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|xy|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1

ansågs först av Lipschitz 1864 för verkliga funktioner som ett tillräckligt villkor för Fourierseriens konvergens till dess funktion. Därefter blev det vanligt att kalla detta tillstånd för Lipschitz-villkoret endast för , och för - Hölder-villkoret . $\alpha=1$ $\alfa<1$

Egenskaper

Varje Lipschitz-mappning är enhetligt kontinuerlig .

Överlagringen av en Lipschitz och en integrerbar funktion är integrerbar.

( Lipschitz Lemma ) En kontinuerligt differentierbar funktion på en kompakt delmängd av det euklidiska utrymmet uppfyller Lipschitz-villkoret. Det omvända påståendet är inte sant.

Rademachers teorem säger att vilken Lipschitz-funktion som helst som definieras på en öppen mängd i det euklidiska rummet är differentierbar nästan överallt på den.

Kirschbrowns förlängningssats säger att varje -Lipschitz-mappning från en delmängd av ett euklidiskt utrymme till ett annat euklidiskt utrymme kan utökas till en -Lipschitz-mappning till hela rummet. $L$ $L$

Variationer och generaliseringar

Begreppet en Lipschitz-funktion generaliseras naturligt till funktioner med en begränsad kontinuitetsmodul , eftersom Lipschitz-villkoret är ekvivalent med villkoret . $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$
Hölder exponent

Anteckningar

↑ Federer G. Geometrisk måttteori. - 1987. - 760 sid.