Kirschbrowns fortsättningssats

Kirschbrowns förlängningssats (ibland kallad Valentine's theorem ) är en teorem om förekomsten av en utvidgning av en Lipschitz-funktion definierad på en delmängd av det euklidiska rummet till hela rummet.

Formulering

Låt en godtycklig delmängd av det euklidiska rummet , då kan en godtycklig kort mappning utökas till en kort mappning ; med andra ord, det finns en kort kartläggning så att . $S$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\bar {f}}|_{S}=f$

Variationer och generaliseringar

Generaliserar naturligtvis till
- Mappningar från en delmängd av ett Hilbert-utrymme till ett Hilbert-utrymme.
- Mappningar från en delmängd av Lobachevsky- rummet till Lobachevsky-rummet av samma krökning
Ett liknande resultat för avbildningar mellan sfärer är inte sant, men satsen förblir sann för
- Mappningar från en delmängd av en sfär till en halvklot med samma krökning.
- Mappningar från en delmängd av en sfär till en sfär med samma krökning av ingen mindre dimension.
Ett liknande resultat för Banach-mellanslag är felaktigt.

Metrisk geometri

En generalisering av Kirschbrowns teorem till metriska rum gavs av Lang och Schröder [1] [2]
Varje kort mappning definierad på en delmängd av ett godtyckligt metriskt utrymme med värden i ett injektivt utrymme tillåter en kort förlängning av hela utrymmet. Detta ger ytterligare en generalisering av satsen till metriska utrymmen. Injektiva mellanslag inkluderar de verkliga linjerna och metriska träden, såväl som -mellanrum. $L^{\infty }$
För metriska utrymmen med dubbleringsegenskapen gäller en svag version av Kirschbrowns teorem. Nämligen, om är ett metriskt utrymme med dubbleringsegenskapen och och är ett Banach-utrymme, så sträcker sig all -Lipschitz-mappning till -Lipschitz-mappning , där konstanten endast beror på parametern i dubbleringsegenskapen. [3] $X$ $A\delmängd X$ $V$ $L$ $A\to V$ $C\cdot L$ $X\to V$ $C$

Historik

Det bevisades i avhandlingen av Moizhes Kirshbraun (försvarades 1930) [4] . Senare motbevisades denna teorem av Frederic Valentine [5] .

Se även

Tietzes fortsättningssats

Anteckningar

↑ Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbrauns teorem och metriska utrymmen av avgränsad krökning. Geom. Funktion. Anal. 7 (1997), nr. 3, 535-560.
↑ Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov möter Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
↑ 4.1.21 i Heinonen, Juha, et al. Sobolev-mellanslag på metriska måttutrymmen. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
↑ M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. fond. Math., (22):77-108, 1934.
↑ FA Valentine, "Om utvidgningen av en vektorfunktion för att bevara ett Lipschitz-tillstånd," Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, sid. 100-108, 1943.