Tietzes fortsättningssats

Tietze extension theorem (eller Tietze-Urysohn theorem ) ger tillräckliga förutsättningar för en funktion definierad på en delmängd av rymden och tillåter kontinuerlig utvidgning av hela rummet.

Formulering

Låt vara ett normalt utrymme och $X$

f\colon A\to \mathbb {R}

en kontinuerlig funktion med verkligt värde definierad på en sluten delmängd av . Sedan finns det en kontinuerlig funktion $A\delmängd X$

F\colon X\to \mathbb {R}

sådant för alla . $F(a)=f(a)$ $a\i A$

Dessutom, om den är begränsad, kan funktionen väljas så att den också begränsas av samma konstant. $f$ $F$

Historik

Leutzen Brouwer och Henri Lebesgue bevisade ett specialfall av satsen, för ändliga dimensionella reella vektorrum .
Heinrich Tietze generaliserade satsen till fallet med alla metriska utrymmen .
Pavel Uryson bevisade satsen, som anges här, för normala topologiska rum. [1] [2]

Variationer och generaliseringar

Denna sats motsvarar Urysohns lemma .

Om är ett metriskt utrymme , då en Lipschitz- funktion definierad på en godtycklig delmängd av , sträcker sig till en Lipschitz-funktion på hela utrymmet, med samma Lipschitz-konstant. $X$ $X$

Se även

Kirschbrowns fortsättningssats

Länkar

↑ Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Urysohn-Brouwer lemma , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Urysohn, Paul (1925), Über die Machtigkeit der zusammenhängenden Mengen , Mathematische Annalen T. 94 (1): 262–295 , DOI 10.1007/BF01208659 .