Normalt utrymme

Ett normalrum är ett topologiskt utrymme som uppfyller separationsaxiomen T 1 , T 4 , det vill säga ett sådant topologiskt utrymme där enpunktsmängder är stängda och två icke-korsande slutna uppsättningar är separerbara av grannskap (det vill säga de finns i icke-korsande öppna uppsättningar).

Egenskaper

Normala utrymmen utgör ett specialfall av helt vanliga eller Tikhonov utrymmen. Detta följer av Urysohns lemma: i ett normalt utrymme är två osammanhängande slutna uppsättningar funktionellt separerbara .
Tietzes fortsättningssats . Varje kontinuerlig reell funktion som ges på en sluten delmängd av ett normalrum sträcker sig kontinuerligt till hela rummet.
Varje stängt underrum i ett normalt utrymme är normalt.
Rum vars alla delrum är normala kallas ärftligt normala eller helt normala .
- För ärftlig normalitet är det tillräckligt att alla dess öppna delrum är normala.
- För utrymmets ärftliga normalitet är det nödvändigt och tillräckligt att två uppsättningar separeras av grannskap, varav ingen innehåller kontaktpunkter för den andra.
Ett normalt utrymme kallas perfekt normalt om varje sluten mängd i det är skärningspunkten mellan ett räknebart antal öppna mängder.
- Varje helt normalt utrymme är ett ärftligt normalt utrymme.
- Varje metriskt utrymme är helt normalt.
Ett normalt utrymme där det, för varje diskret familj av slutna uppsättningar , finns en diskret familj av öppna uppsättningar som för varje kallas kollektivt normal . ${\{F_{s}\}}_{s\in S}$ ${\{U_{s}\}}_{s\in S}$ $F_{s}\subset U_{s}$ $s\i S$
- Alla parakompakta Hausdorff - utrymmen (särskilt metriska utrymmen) är kollektivt normala.
Produkten av två normala utrymmen behöver inte vara normal, och även produkten av ett normalt utrymme och ett segment behöver inte vara normal.

Litteratur

Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.