Lokalt ändlig familj av delmängder

I allmän topologi är lokal finitet en egenskap hos en familj av delmängder av ett topologiskt utrymme . Detta begrepp är en naturlig generalisering av begreppet en finit familj och spelar en nyckelroll i studiet av parakompakthet och topologisk dimension .

Observera att termen lokal ändlighet har olika betydelser inom andra områden av matematiken.

Definition

En familj av delmängder av ett topologiskt utrymme kallas lokalt ändligt om varje punkt har ett grannskap som skär med högst ett ändligt antal element från denna familj, det vill säga för alla utom kanske ett ändligt antal index. Om någon punkt har en stadsdel som skär högst ett av elementen i denna familj, då kallas familjen diskret . $S=\{A_{i};i\in I\}$ $X$ $x\i X$ $U$ $U\cap A_{i}=\emptyset$ $i\i jag$ $x\i X$ $U$

Uppenbarligen är en finit familj lokalt finit, medan en lokalt finit familj kan ha vilken kardinalitet som helst .

Betrakta till exempel en oändlig familj av intervall på den reella linjen R (här ett godtyckligt heltal ). Varje punkt R har en stadsdel som skär högst två intervall av familjen, det vill säga familjen är lokalt ändlig. $(n,n+2)$ $n$ $x\in$

I allmänhet behöver en räknebar familj inte vara lokalt ändlig: det räcker med att betrakta en familj av intervaller på den verkliga linjen. $(-n,n)$

Egenskaper

För en lokalt ändlig familj gäller följande likhet: $\{A_{i};i\in I\}$ ${\overline {\cup _{i\in I}A_{i}}}=\cup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}$

Som bekant gäller denna egenskap för en finit familj av delmängder, men i det allmänna fallet är detta inte fallet. Det kan bara hävdas att . Som en konsekvens av den första fastigheten: ${\displaystyle \cup _{i\in I}{\overline {A_{i))}\subseteq {\overline {\cup _{i\in I}A_{i))))$

Föreningen av en lokalt ändlig familj av slutna uppsättningar är stängd.

En oändlig familj av delmängder av ett kompakt utrymme kan inte vara lokalt ändligt.

Se även

Litteratur

Aleksandryan R.A., Mirzakhanyan E.A. Allmän topologi. - M . : Högre skola, 1979