Allmän topologi

Allmän topologi ( set-theoretic topology ) är en gren av topologi som studerar begreppen kontinuitet och gräns i den mest allmänna meningen.

Den traditionella inställningen till allmän topologi är mängdteoretisk . En mängd kallas ett topologiskt utrymme när en viss familj av dess öppna delmängder ges som uppfyller axiomen. Det finns många möjliga sätt att definiera strukturen för ett topologiskt utrymme på en enda uppsättning: från diskret till icke-Hausdorff antidiskret (trivial) topologi , genom att limma ihop alla punkter.

Mängdlärans grundläggande begrepp, som mängd , funktion , ordningstal , kardinaltal , valaxiom , Zorns lemma , är inte föremål för allmän topologi, utan används aktivt av den. Allmän topologi omfattar följande avsnitt: egenskaper hos topologiska utrymmen och deras kartläggningar, operationer på topologiska utrymmen och deras kartläggningar, klassificering av topologiska utrymmen. En oberoende riktning för allmän topologi är dimensionsteori .

Till skillnad från differentiell och algebraisk topologi fokuseras allmän topologi på studiet av den mest allmänna formen av kontinuerliga kartläggningar av topologiska utrymmen in i varandra, och inte in i utrymmen som har mer komplexa strukturer, främst algebraiska .

Ordlistan för allmän topologi inkluderar sådana begrepp som grannskap , uppsättningsstängningar (liksom interiörer ), kompakthet av uppsättningar och konvergens av sekvenser och filter . Begreppet gränsen för en funktion, introducerat i allmän topologi, tillåter ytterligare generalisering inom ramen för teorin om pseudotopologiska utrymmen .

Historik

Allmän topologi uppstod i slutet av 1800-talet och tog form som en självständig matematisk vetenskap i början av 1900-talet . De grundläggande verken tillhör Felix Hausdorff , Henri Poincaré , Pavel Alexandrov , Pavel Uryson , Leutzen Brauer . I synnerhet löstes ett av huvudproblemen med allmän topologi - att hitta nödvändiga och tillräckliga villkor för metriserbarheten av ett topologiskt utrymme.

Den snabbaste utvecklingen av allmän topologi som en självständig kunskapsgren ägde rum i mitten av 1900-talet; i början av 2000-talet är det snarare en hjälpdisciplin som "tjänar" många områden av matematiken: algebraisk topologi , funktionell analys , komplex analys , grafteori .

Litteratur

• P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Huvudpunkter i utvecklingen av mängdteoretisk topologi
• Alexandrov P. S. Introduktion till mängdteori och allmän topologi - M .: Nauka , 1977
• Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Fundamentals of General Topology in Problems and Exercises - M .: Nauka , 1974
• Bourbaki N. Element i matematik. Allmän topologi. Grundläggande strukturer - M .: Nauka , 1968
• Kelly J. L. Allmän topologi -M.:Nauka, 1968
• Engelking R. Allmän topologi - M .: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementär topologi . Handledning i uppgifter (rus., eng.)
• Sosinsky A. B. Introduktion till topologi - M. : MTsNMO, 2020