Aritmetisk

Aritmetik ( annan grekiska ἀριθμητική , aritmētikḗ - från ἀριθμός , aritmós "tal") är en gren av matematiken som studerar tal , deras samband och egenskaper. Ämnet för aritmetik är begreppet ett tal ( naturligt , heltal , rationellt , reellt , komplexa tal) och dess egenskaper. I aritmetiken övervägs mätningar , beräkningsoperationer ( addition , subtraktion , multiplikation , division ) och beräkningsmetoder. Studiet av egenskaperna hos enskilda heltal är engagerad i högre aritmetik, eller talteori . Teoretisk aritmetik uppmärksammar definitionen och analysen av begreppet tal, medan formell aritmetik arbetar med logiska konstruktioner av predikat och axiom . Aritmetik är den äldsta och en av de viktigaste matematiska vetenskaperna; det är nära besläktat med algebra , geometri och talteori [1] [2] .

Anledningen till aritmetikens uppkomst var det praktiska behovet av räkning och beräkningar relaterade till redovisningsuppgifter under centraliseringen av jordbruket . Vetenskapen har utvecklats tillsammans med den ökande komplexiteten hos de problem som behöver lösas. Ett stort bidrag till utvecklingen av aritmetiken gjordes av grekiska matematiker - i synnerhet de pytagoreiska filosoferna , som försökte förstå och beskriva alla världens lagar med hjälp av siffror.

På medeltiden var aritmetiken, efter neoplatonisterna , bland de så kallade sju liberala konsterna . Huvudområdena för praktisk tillämpning av aritmetiken var då handel , navigering , konstruktion . I detta avseende fick ungefärliga beräkningar av irrationella tal , som först och främst är nödvändiga för geometriska konstruktioner, särskild betydelse. Aritmetiken utvecklades särskilt snabbt i Indien och islams länder , varifrån de senaste landvinningarna av matematiskt tänkande trängde in i Västeuropa ; Ryssland stiftade bekantskap med matematisk kunskap "både från grekerna och från latinerna."

Med början av den nya tidsåldern ställde nautisk astronomi , mekanik och allt mer komplexa kommersiella beräkningar fram nya krav på beräkningstekniker och gav impulser till vidareutvecklingen av aritmetiken. I början av 1600-talet uppfann Napier logaritmer , och sedan pekade Fermat ut talteorin som en oberoende del av aritmetiken. I slutet av århundradet bildades en idé om ett irrationellt tal som en sekvens av rationella approximationer, och under nästa århundrade, tack vare Lamberts , Eulers , Gauss verk, inkluderade aritmetiken operationer med komplexa kvantiteter, som fick ett modernt utseende .

Aritmetikens efterföljande historia präglades av en kritisk revidering av dess grunder, försök till dess deduktiva motivering. Den teoretiska motiveringen för idén om ett tal är först och främst förknippad med en strikt definition av ett naturligt tal och Peanos axiom , formulerade 1889. Konsistensen i den formella konstruktionen av aritmetik visades av Gentzen 1936.

Grunderna i aritmetiken har länge och alltid ägnats stor uppmärksamhet i grundskoleundervisningen .

Ämnet för aritmetik

Ämnet för aritmetik är numeriska mängder , egenskaper hos tal och operationer på tal [3] . Den innehåller också frågor relaterade till tekniken för räkning, mätningar [4] , ursprunget och utvecklingen av begreppet tal [1] . Aritmetiska studier, först och främst, naturliga tal och bråk [5] . På grundval av den axiomatiska strukturen av mängden naturliga tal, konstrueras andra numeriska mängder, inklusive heltal , reella och komplexa tal , och deras analys utförs [1] . Ibland betraktas även kvaternioner och andra hyperkomplexa tal inom ramen för aritmetiken . Samtidigt följer det av Frobenius-satsen att utvidgningen av talbegreppet bortom det komplexa planet utan att förlora någon av dess aritmetiska egenskaper är omöjlig [6] [7] .

De huvudsakliga operationerna på siffror inkluderar addition , subtraktion , multiplikation och division [3] , mer sällan - att höja till en potens , extrahera roten [4] och lösa numeriska ekvationer [3] . Historiskt sett inkluderade listan över aritmetiska operationer även själva beräkningen , dubblering (utöver multiplikation), division med två och division med en rest (utöver division), att hitta summan av aritmetiska och geometriska progressioner [8] . John Napier delade i sin bok The Art of Logistics in aritmetiska operationer i steg: det lägsta steget är addition och subtraktion, nästa är multiplikation och division, sedan höjning till en potens och extrahera rötter [9] . Den välkände metodologen I. V. Arnold hänvisade också logaritm till operationerna i det tredje steget [10] . Traditionellt kallas aritmetik utförandet av operationer på olika objekt, såsom: "aritmetik av kvadratiska former ", "aritmetik av matriser " [1] .

De faktiska matematiska beräkningarna och mätningarna som är nödvändiga för praktiska behov ( proportioner , procentsatser , trippelregeln ) klassificeras som lägre, eller praktisk aritmetik [3] , medan den logiska analysen av talbegreppet benämns teoretisk aritmetik [1] . Heltalens egenskaper, deras indelning i delar, konstruktionen av fortsatta bråk är en integrerad del av talteorin [1] , som länge ansågs vara högre aritmetik [3] . Aritmetik är också nära besläktat med algebra , som studerar de faktiska operationerna utan att ta hänsyn till särdrag och egenskaper hos tal [1] [11] . Aritmetiska operationer som att höja till en makt och extrahera rötter är den tekniska delen av algebra. I detta avseende, efter Newton och Gauss , anses algebra vara en generalisering av aritmetik [3] [4] . Generellt sett finns det inga tydliga gränser mellan aritmetik, elementär algebra och talteori. TSB säger : “ Algebra studerar, med hjälp av bokstavsbeteckningar, de allmänna egenskaperna hos numeriska system och allmänna metoder för att lösa problem med hjälp av ekvationer; aritmetik handlar om beräkningsmetoder med specifikt givna tal, och i dess högre områden (se Talteori) finare individuella egenskaper hos tal ” [12] .

Liksom andra akademiska discipliner står aritmetiken inför grundläggande metodologiska problem; för det är det nödvändigt att studera frågorna om konsistens och fullständighet av axiomen [3] . Logiska konstruktioner av ett formellt system av predikat och axiom för aritmetiken utförs av formell aritmetik [2] .

De enklaste begreppen

Ordinalräkning, naturliga tal

Det enklaste aritmetiska konceptet är ordningsräkning . Räkneobjektet är olika element eller uppsättningar av dem, till exempel äpplen och korgar med äpplen. Med hjälp av ordningsräkningen kan du numrera elementen och ange deras totala antal .

Ordinalräkning förknippas med räkning av grupper som innehåller ett visst lika antal element - till exempel räkna i tiotals äpplen. Vanligtvis är dessa fingrar på två händer (basen är lika med ), men i historiska källor finns grupperingar efter . Antalet element i en grupp fungerar som grund för talsystemet [11] . $tio$ $5,11,12,20,40,60,80$

Talserien som erhålls genom räkning kallas naturliga, och dess element kallas naturliga tal. Begreppet naturliga serier dök upp först i verk av den grekiske matematikern Nicomachus på 1:a århundradet e.Kr. e. och det naturliga talet - av den romerske författaren Boethius i slutet av 500-talet - början av 600-talet. Den allmänna användningen av termen börjar med d'Alemberts arbete på 1700-talet. Arkimedes påpekade i sitt arbete "Psammit" att den numeriska serien kan fortsättas på obestämd tid, men samtidigt märkte han att ett litet segment är tillräckligt för verkliga problem [13] . Uppdelningen av naturliga tal i jämna och udda tillskrivs pytagoreerna , den finns också i den egyptiska papyrusen Rinda . Pytagoreerna definierade också primtal och sammansatta tal [14] .

Addition, multiplikation, exponentiering

Aritmetiska operationer

Tillägg (+)

1:a terminen + 2:a terminen =

belopp

Subtraktion (−)

Reducerad − Subtraherad =

skillnad

Multiplikation (×)

1:a multiplikatorn × 2:a multiplikatorn =

arbete

Division (:)

Utdelning : divisor =

privat

Division med resten (mod)

Delbar mod divisor =

resten av divisionen

Exponentiering (^)

{\text{bas}}^{\text{exponent}}

grad

Rotutvinning (√)

{\sqrt[{\text{värde}}]{\text{nummer}}}

rot

Logaritm (log)

\log _{\text{bas}}

(nummer) =

logaritm

För naturliga tal är operationerna addition och multiplikation naturligt definierade. När man kombinerar två uppsättningar som innehåller ett visst antal föremål, kommer den nya uppsättningen att ha lika många föremål som de två första uppsättningarna hade tillsammans. Om den första uppsättningen innehöll ett föremål och den andra uppsättningen innehöll ett föremål , kommer deras summa att innehålla föremålen. Denna åtgärd kallas addition och är den enklaste binära operationen [4] . För att kontrollera summans riktighet är det inte nödvändigt att känna till additionstabellen, det räcker med att räkna objekten [15] . $3$ $2$ $3+2=5$

Multipel addition av element av flera identiska mängder beror inte på ordningen på dessa mängder, vilket gjorde det möjligt att definiera en annan binär operation - multiplikation [4] . Förutom multiplikation fanns det i forna tider en separat aritmetisk operation - dubblering eller multiplikation med två [16] .

I analogi med definitionen av multiplikation genom addition, låter multipel multiplikation dig definiera operationen för att höja till en potens.

Grundläggande aritmetikslagar

Om egenskaperna hos dessa operationer formuleras fem lagar, som anses vara aritmetikens grundläggande lagar [17] :

Kommutativitet: den kommutativa additionslagen säger att summan inte ändras från att ändra platsen för termerna . En liknande lag är känd för multiplikation, men den talar förstås om faktorer och produkter. Dessa lagar kan uttryckas i algebraisk form med hjälp av bokstavsbeteckning:

a+b=b+a

a\cdot b=b\cdot a

Associativitet: Den associativa lagen för addition säger att genom att lägga till flera termer kan du gruppera dem i valfri ordning . En liknande lag för multiplikation talar om multiplikation av faktorer. Dessa lagar kan också uttryckas i algebraisk form:

(a+b)+c=a+(b+c)

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

Distributivitet: Den fördelande lagen säger: för att multiplicera en summa med ett tal, kan du multiplicera varje term med det talet och sedan lägga till de resulterande produkterna . I algebraisk form:

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

Förutom aritmetikens grundläggande lagar gäller även lagarna för monotoni addition och multiplikation [18] [19] för naturliga tal, som skrivs i algebraisk form enligt följande:

a+b>a+c

vid ;

b>c

a\cdot b>a\cdot c

vid och .

b>c

a>0

Termen "kommutativ" för den kommutativa lagen introducerades 1814 av den franske matematikern Servois . Termen "associativ" för den associativa lagen introducerades 1853 av Hamilton [17] .

Poincare betraktade alla aritmetiska operationer och lagar ur intuitionens synvinkel . Genom att hävda att lagarna uppenbarligen gäller för små tal, och använda induktionsregeln , kan man dra slutsatsen att de gäller för alla tal. Med ett annat tillvägagångssätt anses inte alla, utan bara de enklaste lagarna intuitivt genomförbara, medan ytterligare bevis är kopplade till logiska konstruktioner [20] . Kommutativa och associativa lagar accepterades som självklara [17] . Den distributiva eller distributiva lagen i hans "Principer" bevisade till och med Euklid, genom att använda den geometriska metoden [21] .

Exponentieringsoperationen är inte längre kommutativ och inte associativ, den har sina egna regler. De grundläggande reglerna för att utföra denna operation med positiva krafter följer på ett uppenbart sätt från dess definition [4] . I algebraisk form kan de skrivas på följande sätt:

Distributivitet är en distributiv lag för exponentieringsoperationen:

{\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m))

den, i fallet med subtraktion, tar formen av en bråkdel:

a^{nm}={a^{n} \över {a^{m}}},\quad n>m

Upprepad exponentiering avslöjas som multiplikationen av potenser:

\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}

Omvända operationer

Alla aritmetiska operationer har inverser: addition har subtraktion, multiplikation har division, exponentiering har aritmetisk rot och logaritm. Det faktum att addition och multiplikation har en invers operation, trots sin binaritet, förklaras av deras kommutativitet.

Subtraktion: negativa tal

Subtraktion är den omvända operationen av addition: skillnaden mellan två tal och kommer från ekvationen [4] . Subtraktionsoperationen betecknas med tecknet "−" och skrivs som . För att utföra operationen användes två metoder: att räkna från det minskande antalet enheter av subtrahenden eller välja ett tal vars tillägg till subtrahenden skulle ge det reducerade [16] . $5$ $2$ $x$ $2+x=5$ $5-2=3$

Subtraktionsoperationen, om den tillämpas på alla par av naturliga tal, och inte bara på de som kan vara summan och termerna inom ramen för additionsoperationen, låter dig gå bortom den naturliga serien, det vill säga skillnaden mellan två naturliga tal är inte nödvändigtvis ett naturligt tal - vid subtraktion kan det resultera i noll eller till och med ett negativt tal. Negativa tal kan inte längre betraktas som antalet objekt, de är placerade till vänster om noll på talaxeln. Den taluppsättning som erhålls genom att addera negativa tal och talet noll till de naturliga talen kallas för heltalsuppsättningen. Noll och mängden naturliga tal kallas icke-negativa heltal [4] . När du multiplicerar, för att avgöra om produkten av siffror kommer att vara positiv eller negativ, använd "teckenregeln" [22] .

Negativa tal ansågs vara falska och meningslösa av många matematiker fram till 1800-talet, vilket dock inte hindrade deras utbredda formella användning. För första gången dök begreppet negativa tal upp i Indien, där de tolkades som "skuld" (positiva tal - "egendom"). Men negativa siffror blev utbredda först på 1600-talet [23] . Termen "subtraktion" dök upp i Boethius , termerna "subtraherad" och "reducerad" introducerades av Wolf 1716, "skillnad" - Widman 1489 [16] . Den moderna beteckningen med tecknen "+" och "−" infördes också av Widmann i slutet av 1400-talet.

Division: rationella tal

Inversen av multiplikationsoperationen är divisionsoperationen. Den första definitionen av division är att hitta talet som är i utdelningen lika många gånger som det finns 1:or i divisorn. En sådan definition ges i läroböckerna i aritmetik från XIV-talet - till exempel . Uppdelningen ansågs vara en mycket komplex och krånglig operation. Den moderna indelningsmetoden, med hjälp av partiella produkter av divisorn med de individuella siffrorna i kvoten ( kolumnindelning ), presenteras i ett italienskt manuskript från 1460 [16] . $20:4=5$

För naturliga tal som inte är en multiplikator och en produkt är operationsdivisionen med en rest känd (och definitionen av den faktiska resten från division kallas även modulo division ). Det finns också många sätt att förenkla division i olika specialfall eller att kontrollera delbarhet med ett visst tal. Till exempel:

ett tal utan rest är delbart med två om dess sista siffra i decimalnotation är delbart med två;
ett tal utan rest är delbart med tre om summan av alla dess siffror i decimalnotation är delbart med tre;
Ett tal är delbart med tio utan rest om dess sista siffra i decimalnotation är noll.

Divisionsoperationen, om du delar inte bara de siffror som kan erhållas genom att multiplicera naturliga tal, och samtidigt inte väljer resten, samt subtraktion, låter dig gå bortom uppsättningen naturliga tal. Vid delning kan fraktioner erhållas som inte kan reduceras till en helhet utan en rest. De tal som motsvarar sådana bråk kallas rationella. På grund av medvetenheten om divisionsbaserade rationella tal, finns det ytterligare en utökning av listan över kända typer av tal. Historiskt sett dök begreppet bråk först upp och sedan ett negativt tal [24] . Samma ordning antas i skolkursen [25] .

Två former av skrivbråk används - i form av en täljare och en nämnare, separerade med ett horisontellt eller snedstreck och ofta reducerat till minimala tal, och i form av bråksiffror, placerade efter avgränsaren för heltals- och bråkdelarna i positionsbeteckning för ett tal . Till exempel kan resultatet av att dividera 10 med 20 skrivas som . ${\frac {10}{20}}=10/20=5/10=1/2=0{,}5$

Extrahera roten: irrationella och komplexa tal

En av de två omvända operationerna för att höja till en potens är att extrahera roten eller att hitta ett tal som, när det höjs till lämplig potens, ger ett känt resultat. Det vill säga, om man talar algebraiskt, är detta sökandet efter en rot för en ekvation av formen . Den andra inversa operationen är sökningen efter logaritmen (roten till en ekvation av formen ). Aritmetik inkluderar som regel endast beräkningen av roten av andra graden - kvadratroten . $x^{a}=b$ $a^{x}=b$

Operationen att beräkna roten, om den utförs inte bara för de siffror som kan erhållas genom att höja naturliga tal till en potens, såväl som andra inversa operationer, låter dig gå bortom uppsättningen naturliga tal. De tal som blir resultatet av detta kan ofta inte representeras som finita rationella bråk och kallas därför irrationella. Den uppsättning siffror som erhölls genom att lägga till irrationella tal till rationella tal kallades reella eller reella .

Även i det antika Grekland var det känt om förekomsten av inkommensurabla segment , åtminstone på exemplet med sidorna och diagonalen på en kvadrat med en sida som en enhet, och försök gjordes att få exakta numeriska värden för dem, vilket återspeglades i Euklids " principer " . Verkliga siffror blev föremål för forskning först på 1600-1700-talen. Under andra hälften av 1800-talet formulerade Dedekind , Cantor och Weierstrass sina egna konstruktiva sätt att definiera ett reellt tal [26] .

För operationen att extrahera roten är följande regel känd [4] :

a^{n \over m}={\sqrt[{m}]{a^{n))}

Ytterligare expansion av taluppsättningen berodde på omöjligheten att extrahera kvadratroten ur ett negativt tal. Ett liknande problem möttes under antiken när man löste andragradsekvationer , och sådana ekvationer ansågs helt enkelt olösliga. Under första hälften av 1500-talet började man uttrycka lösningar av sådana ekvationer i termer av rötter från negativa tal och kallade sådana rötter "imaginära", "omöjliga", "imaginära" etc. [27]

Praktisk aritmetik

Den praktiska sidan av aritmetiken inkluderar metoder, scheman och algoritmer för att utföra exakta aritmetiska operationer, inklusive användning av beräkningsmaskiner och andra enheter, såväl som olika metoder för ungefärliga beräkningar som har dykt upp på grund av omöjligheten att få ett korrekt resultat med vissa mätningar och låter dig bestämma den ordning, det vill säga de första signifikanta siffrorna [28] .

De enklaste räkneanordningarna
romersk kulram
kinesisk suanpan
Inkas Yupana
Rysk kulram

Exakta metoder

Sedan 1400-talet har olika algoritmer föreslagits för att utföra aritmetiska operationer på tal med flera värden, vilka skiljer sig åt i karaktären av registrering av mellanberäkningar [1] . Aritmetiska algoritmer är byggda på det nuvarande positionstalssystemet , när alla positiva reella tal är unikt representerade i formen $x$

x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots )_{b}=\summa _{k= -\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}

, där är nästa siffra i numret , är basen i talsystemet, är antalet siffror i heltalsdelen av talet .

a

x

b

n

x

Alla operationer på tal använder tabeller för addition och multiplikation upp till tio och grundläggande aritmetiska lagar. Som en illustration ger den berömda vetenskapens populariserare Klein följande exempel:

7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,

som använder fördelnings- och kombinationslagar [29] .

Behovet av snabba och exakta beräkningar ledde till skapandet av de enklaste räkneanordningarna: abacus , suanpan , yupans eller account . Nästa steg var skapandet av Oughtred 1622 av glidregeln , som tillåter multiplikation och division [30] .

Datoraritmetik

Knuth ansåg aritmetiska operationer vara " datorernas lott " [31] . De första datorerna , som gjorde det möjligt att mekanisera fyra aritmetiska operationer, konstruerades på 1600-talet. Shikkards aritmetiska maskin , som han själv kallade den, byggdes 1623. Additions- och subtraktionsoperationer utfördes genom att rotera cylindrar, specialcylindrar var också för multiplikation och division. Dessutom kunde maskinen bära dussintals. Pascals maskin utvecklades av honom 1642 för att hjälpa sin far med ekonomiska beräkningar. Den hade samma funktionsprincip som Shikkard-maskinen. Huvuddelen av maskinen var tiotalsöverföringsmekanismen. Samtidigt förblev hantverkstillverkningen av sådana maskiner fortfarande olönsam [32] . Försöken att förbättra adderingsmaskinen fortsatte under hela 1700-talet, men först på 1800-talet blev användningen av adderingsmaskiner utbredd [33] .

På 1900-talet ersattes tilläggsmaskiner med elektroniska datorer. De är baserade på algoritmer som använder det minsta antalet elementära operationer för att utföra aritmetiska operationer [1] . Datoraritmetik inkluderar algoritmer för att utföra operationer på flyttal , bråktal och mycket stora tal [31] .

Dimension

Utöver objekt som är föremål för omräkning finns det objekt som kan mätas – för det första är dessa längd och massa [34] .

Precis som med räkning var de första längdmåtten hos människor fingrar. Sedan började de mäta avståndet i steg, dubbelsteg, mil (tusen dubbelsteg), etapper . Dessutom användes alnar, palmer, famnar , tum för att mäta längden . I olika regioner etablerades deras egna åtgärdssystem, som sällan var en multipel av tio [35] . Särskilt mångfalden av åtgärder gjorde det möjligt att avstå från användningen av fraktioner [36] [37] . Handelsaritmetik inkluderade förmågan att arbeta med värden (monetära enheter, måttenheter och vikter) i ett icke-decimalt talsystem [38] .

I slutet av 1700-talet antog den franska revolutionära regeringen det metriska måttsystemet på grundval av en tillfällig och sedan arkiverande (genom lag av den 10 december 1799) mätare ( Frankrike bytte slutligen till det från den 1 januari 1840). Tillsammans med mätaren definierades även kilogram . Det metriska systemet är baserat på decimalsystemet. Det var denna omständighet som gjorde att den spred sig till nästan hela världen (med undantag för Storbritannien och USA ). Genom dekret från en speciell internationell byrå för vikter och mått , belägen i Paris , 1888, tillverkades en internationell mätare och ett internationellt kilogram av en legering av platina och iridium - standarder för mått och vikter. Förutom mått på tid och vinkel är alla andra måttenheter också associerade med decimalsystemet [39] .

Ungefärliga metoder

Historiskt sett uppstod ungefärliga beräkningar när man sökte efter längden på diagonalen för en enhetskvadrat, men blev utbredd när man bytte till ett decimalsystem och använde finita decimalbråk istället för irrationella tal och tal uttryckta med ett oändligt periodiskt bråktal [40] .

För utvärderingsberäkningar används först och främst monotonitetens lagar. Till exempel, för att bestämma produktens ordning , kan du använda följande uppskattning: [29] . $567\cdot 134$ $560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140$

Talteori

Talteori , eller högre aritmetik, är vetenskapen om heltal som uppstod från aritmetiska problem relaterade till tals delbarhet [41] . Elementär talteori behandlar problem som löses med elementära metoder, vanligtvis utan användning av imaginära tal. Det inkluderar teorin om delbarhet, teorin om jämförelser, obestämda ekvationer , uppdelning i termer , approximationer av rationella tal, fortsatta bråk [42] . Aritmetikens grundsats - om uppdelningen av ett tal i primtal på ett unikt sätt - är också en del av den elementära talteorin [43] .

Separata underklasser av heltal, såsom primtal, sammansatta, kvadratiska , perfekta tal , identifierades av de gamla grekerna . De härledde formler för att bestämma Pythagoras trippel, den största gemensamma divisorn , visade oändligheten av antalet primtal. Diophantus genomförde en systematisering av problem relaterade till heltal. Diophantus verk fortsattes av Fermat på 1600-talet och av Euler på 1700-talet. Fermat var engagerad i att lösa ekvationer i heltal och formulerade utan bevis Fermats små och stora satser . Euler, som fortsatte Fermats forskning, visade ett litet teorem och ett specialfall av Fermats stora teorem. Han var den första att tillämpa matematisk analys för att lösa problem inom talteorin och skapade analytisk talteori. Euler definierade genereringsfunktionerna , på grundval av vilka den cirkulära metoden och metoden för trigonometriska summor [41] byggdes .

För närvarande, förutom elementär och analytisk talteori, finns det sådana avsnitt som additiv , algebraisk , probabilistisk , metrisk talteori [41] .

Teoretisk aritmetik

I modern matematik är konstruktionen av en teori ett val av grundläggande egenskaper, eller axiom , från vilka det krävs för att härleda alla bestämmelser i teorin, eller satser , med hjälp av allmänt accepterad logik [44] . Den teoretiska konstruktionen av aritmetik arbetar med algebraiska begrepp. Komplexiteten i att lyfta fram de grundläggande definitionerna av aritmetik är förknippad med enkelheten i dess initiala positioner. Peano , som fruktade en falsk associativ serie när han använde ord, genomförde bevis uteslutande på symbolspråk och förlitade sig endast på de preliminära bestämmelser som antogs av honom. Cantor och Dedekind kopplade ihop tal med mängder och abstrakta relationer över dem [20] . Mängdlära betraktar aritmetiska operationer som speciella relationer mellan tripletter av element, där ett element bestäms i termer av två andra, eller algebraiska operationer [45] . När han talade om teorin om mängder, noterade Klein att med detta tillvägagångssätt blir utvecklingen av teorin "abstrakt och knappast tillgänglig" [20] .

Naturliga tal

År 1810 definierade den tjeckiske matematikern Bolzano operationen av addition för naturliga tal. Oberoende av honom gavs en liknande definition av de tyska matematikerna Grassmann 1861 och Hankel 1869 [46] . Encyclopedia of Elementary Mathematics erbjuder följande definition av addition av naturliga tal [47] :

Definition. Tillägget av naturliga tal är en sådan överensstämmelse som matchar varje par av naturliga tal och matchar ett och endast ett naturligt tal som har följande egenskaper: $a$ $b$ $a+b$

$a+1=a'$ för vem som helst , $a$
$a+b'=(a+b)'$ för alla och . $a$ $b$

Tillägget av naturliga tal är alltid möjligt och entydigt [47] .

Multiplikation, liksom addition, bestämdes oberoende av Bolzano, Grassmann och Hankel [46] . "Encyclopedia of Elementary Mathematics" erbjuder följande definition av multiplikation av naturliga tal [48] :

Definition. Multiplikationen av naturliga tal är en sådan överensstämmelse som matchar varje par av naturliga tal och matchar ett och endast ett naturligt tal (eller ), som har följande egenskaper: $a$ $b$ $ab$ $a\cdot b$

$a\cdot 1=a$ för vem som helst , $a$
$a\cdot b'=a\cdot b+a$ för alla och . $a$ $b$

Multiplikation av naturliga tal är alltid möjligt och unikt [48] .

År 1891 introducerade Peano axiom för naturliga tal (andra källor nämner också 1889) [11] [46] . Sedan dess har axiomen förändrats väldigt lite.

Definition. De naturliga talen är elementen i vilken icke-tom mängd som helst , där det för vissa element och det finns en " följer "-relation , för vilken följande axiom gäller [49] : $\mathbb {N}$ $a$ $b$ $b$ $a$

Det finns ett nummer som inte följer något nummer, det vill säga för vilket nummer som helst . $ett$ $a'\neq 1$ $a$
För vilket nummer som helst finns det ett nästa nummer och bara ett, det vill säga det följer av . $a$ $a'$ $a=b$ $a'=b'$
Varje nummer följer högst ett nummer, det vill säga från följer . $a'=b'$ $a=b$
Vilken uppsättning naturliga tal som helst som har egenskaperna: tillhör och om talet tillhör , så tillhör nästa tal också , innehåller alla naturliga tal, det vill säga sammanfaller med . $M$ $ett$ $M$ $a$ $M$ $a'$ $M$ $\mathbb {N}$

Heltal

Encyclopedia of Elementary Mathematics erbjuder följande definition av subtraktion av naturliga tal [50] :

Definition. Subtraktionen av naturliga tal är en sådan korrespondens som matchar varje par naturliga tal med ett tal som har följande egenskap: $a$ $b$ $ab$

$(ab)+b=a$ .

Subtraktion av naturliga tal är endast möjligt när , om skillnaden finns, då är den unik [50] . Utvidgningen av naturliga tal på grund av egenskaperna addition och subtraktion leder till begreppet heltal [51] . $a>b$

Definition. En ring av heltal är en minimal ring som innehåller mängden av alla naturliga tal och som har följande egenskaper [52] : $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

Addition och multiplikation av naturliga tal sammanfaller med operationer med samma namn på dessa tal i ringen ; $\mathbb {Z}$
Ringen innehåller inte en annan subring som innehåller uppsättningen . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

Elementen i en ring kallas heltal. $\mathbb {Z}$

Ringen finns och är unik upp till isomorfism , och vart och ett av dess element är lika med skillnaden mellan naturliga tal. När man konstruerar en ring används en uppsättning par naturliga tal av formen . För par definieras ekvivalens , addition och multiplikation enligt följande [52] : $\mathbb {Z}$ $(a,\;b)$

$(a,\;b)$ är likvärdigt om och endast om $(CD)$ $a+d=b+c,$
$(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),$
$(a,\;b)\cdot (c,d)=(ac+bd,\;ad+bc).$

Rationella tal

"Encyclopedia of Elementary Mathematics" erbjuder följande definition av division av naturliga tal [50] :

Definition. Uppdelningen av naturliga tal är en sådan korrespondens som matchar varje par naturliga tal med ett tal som har följande egenskap: $a$ $b$ $a:b$

$(a:b)\cdot b=a$ .

Uppdelningen av naturliga tal är endast möjlig när ( multipel ), om kvoten finns, då är den unik [50] . Utvidgningen av heltal genom begreppen multiplikation och division leder till definitionen av rationella tal [51] . Redan 1710 uttalade Wolf kravet att de redan kända lagarna för att utföra aritmetiska operationer med heltal inte direkt kan tillämpas på bråk och måste motiveras. Själva motiveringen utvecklades först på 1800-talet med hjälp av principen om formella lagars beständighet [53] . $a\,\vdots \,b$ $a$ $b$

Definition. Fältet med rationella tal är det minimala fältet som innehåller ringen av heltal och har följande egenskaper [25] : $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

addition och multiplikation av heltal sammanfaller med operationer med samma namn på tal i fältet ; $\mathbb {Z}$
fältet innehåller inte ett annat underfält än sig självt, som innehåller . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

Elementen i fältet kallas rationella tal. $\mathbb {Q}$

Fältet existerar och är unikt upp till isomorfism, och vart och ett av dess element är lika med en kvot av heltal. När det gäller heltal, när man konstruerar fältet för rationella tal, används en uppsättning par , men nu redan heltal, medan . För par definieras ekvivalens, addition och multiplikation enligt följande [25] : $\mathbb {Q}$ $(a,\;b)$ $b\neq 0$

$(a,\;b)$ är likvärdigt om och endast om $(CD)$ $ad=bc,$
$(a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),$
$(a,\;b)\cdot (c,d)=(ac,\;bd).$

Reella tal

Under andra hälften av 1800-talet introducerades tre olika teoretiska konstruktioner av de reella talen . Den mest populära är Dedekind- konstruktionen . Kantor använde teorin om gränser i sin konstruktion [54] .

Definition. Fältet med reella tal är ett kontinuerligt fält som innehåller fältet för rationella tal som ett underfält. Elementen i fältet kallas reella tal [55] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Fältet existerar och är unikt upp till isomorfism , och var och en av dess element är lika med gränsen för sekvensen av rationella tal [55] . $\mathbb {R}$

Komplexa tal

Definition. Fältet med komplexa tal är det minimala fältet som innehåller fältet med reella tal och ett element så att , som har följande egenskaper [56] : $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $i$ $i^{2}=-1$

addition och multiplikation av heltal sammanfaller med operationer med samma namn på tal i fältet ; $\mathbb {R}$
fältet innehåller inte ett annat underfält än sig självt, som innehåller . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Elementen i fältet kallas komplexa tal. $\mathbb {C}$

Fältet är algebraiskt stängt . När man konstruerar ett fält av komplexa tal används en uppsättning ordnade par . För par definieras ekvivalens, addition och multiplikation enligt följande: $\mathbb {C}$ $(a,\;b)$

$(a,\;b)$ är likvärdigt om och endast om och , $(CD)$ $a=c$ $b=d$
$(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),$
$(a,\;b)\cdot (c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad).$

Formell aritmetik

Den logiskt-matematiska konstruktionen kallas formell aritmetik [57] . Övergången till logik är förknippad med tillvägagångssättet från Hilbert- skolan , som ansåg abstraktioner istället för siffror och antog att de grundläggande aritmetiska lagarna var sanna för dem [20] . För att motivera aritmetiken har flera varianter av axiomatik föreslagits. Förutom Peanos axiomsystem, som definierar både addition och multiplikation, finns det Presburgers axiomsystem , som endast definierar addition, och axiomen som definierar addition, multiplikation och exponentiering. Ofta ingår alla egenskaper hos operationer som axiom [58] [59] . Alla dessa axiomatiska teorier är baserade på mängden heltal och inkluderar inte mängdlärans paradoxer . Andra forskningsmetoder härleder aritmetik från mängdteorin eller matematisk logiks axiom [44] . För forskningens bekvämlighet är axiomen skrivna på ett speciellt formellt språk av matematisk logik [57] . Den innehåller , numeriska variabler, symboler ( ) och logiska bindemedel ( ), postulat är postulat av kalkylpredikat [2] . Induktionens axiom är en oändlig uppsättning axiom som inte kan ersättas av någon finit uppsättning [57] . $0$ $=,+,\cdot ,'$ $\And ,\leftarrow ,\forall ,\exists ,\lor ,{\mathcal {e))$

Helst bör den grundläggande uppsättningen av axiom ha tre egenskaper [11] :

konsistens - axiom bör inte komma i konflikt med varandra;
oberoende - bland axiomen bör det inte vara överflödigt, logiskt härledas från andra axiom;
fullständighet - uppsättningen av axiom måste vara tillräcklig så att varje korrekt formulerad sats kan bevisas eller motbevisas.

Aritmetiken av naturliga tal är av stor betydelse för underbyggandet av matematiska teorier: från dess konsistens följer konsistensen av aritmetiken av reella tal, vilket i sin tur gör det möjligt att, med hjälp av modellmetoder, visa överensstämmelsen mellan euklidisk geometri och Lobatsjovskij. s geometri [11] [44] . Beviset för aritmetikens konsistens i Peano-systemet och relaterade axiomatiska system eftersträvades utan framgång av Hilbert i början av 1900-talet. Efter upptäckten av Gödels ofullständighetsteorem 1930 stod det klart att detta inte var möjligt i så enkla system. Ett bevis på konsekvens utfördes 1936 av Gentzen med en variant av transfinit induktion [57] .

För att studera oberoende ersätts varje axiom i sin tur av sin motsats, och sedan byggs en modell där den resulterande uppsättningen av axiom är uppfylld. Om det ersatta axiomet är beroende, det vill säga följer logiskt från andra axiom, leder det uppenbarligen till ett inkonsekvent system av axiom att ersätta det med det motsatta, och att bygga en modell är omöjligt. Således, om modellen kan byggas, då är motsvarande axiom oberoende [60] . På detta sätt bevisades att alla Peanos axiom är oberoende av varandra [61] .

Med hjälp av formell aritmetik, som bygger på Peanos axiom, kan man skriva talteoretiska satser som bevisas utan att använda matematiska analysverktyg, samt rekursiva funktioner och deras egenskaper [2] . Det motsvarar Zermelo-Fraenkels axiomatiska mängdlära utan oändlighetens axiom . Samtidigt visade Godels fullständighetssats , bevisad 1929, att Peanos axiomatik är ofullständig, det vill säga det finns aritmetiska satser som varken kan bevisas eller motbevisas. Medan aritmetiken är komplett med avseende på formlerna finns det formlers satser som uttrycker en sann proposition, men de kan inte härledas [57] . Det var också möjligt att hitta specifika exempel på satser: Goodstein -satsen , Paris–Harrington-satsen och andra. $\exists x_{1}\dots \exists x_{k}(P=Q)$ $\forall x_{1}\dots \forall x_{9}(P\neq Q)$

Historisk översikt

Forntida matematiska texter och talsystem

Egyptiska matematiska texter ägnade särskild uppmärksamhet åt beräkningar och de svårigheter som härrör från detta, på vilka metoderna för att lösa problem till stor del berodde. De matematiska papyrierna från det forntida Egypten sammanställdes för utbildningsändamål [62] , de innehöll problem med lösningar, hjälptabeller och regler för operationer på heltal och bråk , det finns aritmetiska och geometriska progressioner , samt ekvationer [11] . Egyptierna använde decimaltalssystemet [63] . Egyptierna kunde sådana aritmetiska operationer som addition, dubblering och addering av bråk till ett. Varje multiplikation med ett heltal och division utan en återstod utfördes med hjälp av multipla upprepningar av dubbleringsoperationen, vilket ledde till besvärliga beräkningar som involverade vissa medlemmar av sekvensen [15] . I Egypten användes endast alikvotfraktioner , eller bråkdelar av en enhet ( ), och alla andra fraktioner sönderdelades till summan av alikvoter [64] . När man bestämde arean av en kvadrat , volymen av en kub , eller hittade sidan av en kvadrat efter dess area, ställdes egyptierna inför att höja sig till en makt och extrahera en rot, även om det inte fanns några namn för dessa operationer ännu [15] . $1,2,4,8,16...$ $1/n$

Babyloniska matematiska kilskriftstexter använde det sexagesimala talsystemet , karakteristiskt för sumererna [65] , och var läromedel som inkluderar multiplikationstabeller för tal från till , såväl som tabeller med reciprokala , tabeller med kvadrater och kuber av naturliga tal, tabeller för beräkning procentsatser , fraktioner med bas [11] [63] . När babylonierna löste aritmetiska problem förlitade sig de på proportioner och progressioner. De kände till formeln för summan av medlemmarna i en aritmetisk progression, reglerna för att summera en geometrisk progression och löste problem för procentsatser [66] . I Babylon kände de till många Pythagoras trippel , för sökandet som de förmodligen använde en okänd allmän teknik för. I allmänhet hör problemet med att hitta heltals och rationella lösningar till en ekvation till talteorin [67] . Geometriska problem ledde till behovet av ungefärlig extraktion av kvadratrötter , vilket de utförde med hjälp av regeln och iterativa metoder för att ytterligare approximera resultatet [com. 1] . $ett$ $59$ $60$ $n$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ${\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2a}}$

De äldsta grekiska matematiska texterna går tillbaka till 1300-700-talen f.Kr. e. [69] Ursprungligen använde grekerna den attiska numreringen , som så småningom ersattes av en kompakt bokstav, eller jonisk [70] . Utvecklingen av antik grekisk aritmetik hör till den pytagoreiska skolan . Pytagoreerna trodde först att förhållandet mellan två segment kan uttryckas genom förhållandet mellan heltal, det vill säga geometri var aritmetiken för rationella tal. De betraktade endast positiva heltal och definierade ett tal som en samling av ettor. Studera egenskaperna hos siffror, delade de upp dem i jämna och udda (som ett tecken på delbarhet med två), primtal och sammansatta , fann en oändlig uppsättning pythagoras trippel [71] . År 399 f.Kr. e. en allmän teori om delbarhet dök upp, som tydligen tillhör Theaetetus , en student av Sokrates . Euclid tillägnade bok VII och en del av bok IX " Begynnelser " till henne. Teorin bygger på Euklids algoritm för att hitta den största gemensamma delaren av två tal. Konsekvensen av algoritmen är möjligheten att sönderdela vilket tal som helst i primtalsfaktorer, såväl som det unika med en sådan nedbrytning [72] .

Samtidigt äger pytagoreerna beviset på inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av enhetskvadraten. Denna upptäckt innebar att förhållandena mellan heltal inte räcker för att uttrycka förhållandena för några segment och på grundval av detta är det omöjligt att bygga en metrisk geometri [73] . Den första läran om irrationalitet tillhör Theaetetus. Euklids algoritm tillåter en att bestämma ofullständiga partiella expansioner av ett rationellt tal till en fortsatt bråkdel. Samtidigt uppstod inte begreppet en fortsatt fraktion i antikens Grekland [72] . Under III-talet började Diophantus byggandet av algebra baserat inte på geometri, utan på aritmetik. Diophantus utökade också den numeriska domänen till negativa tal [74] .

Det romerska numreringssystemet var inte väl anpassat för beräkningar. Romerska siffror föregick alfabetets utseende och är inte härledda från bokstäverna. Man tror att siffrorna från till till en början indikerades med motsvarande antal vertikala linjer, och deras genomstrykning betydde det tiofaldiga talet (därav siffran ). Följaktligen, för att få numret , ströks pinnen över två gånger. Därefter förenklades systemet [75] . För närvarande används det främst för att beteckna ordningstal. $ett$ $9$ $X$ $100$

Fram till 1300-talet var kinesisk matematik en uppsättning beräkningsalgoritmer för att lösa på en räknebräda [76] . De aritmetiska operationerna med addition och subtraktion som utfördes på räknebordet krävde inga ytterligare tabeller, men för multiplikation fanns en tabell från till . Operationerna med multiplikation och division utfördes med början från de högsta siffrorna, medan mellanresultat togs bort från tavlan, vilket gjorde verifiering omöjlig. Till en början var multiplikation och division oberoende operationer, men sedan noterade Sun Tzu deras inbördes invers [77] . I Kina visste de hur man löser problem med hjälp av regeln om två falska positioner [78] , och negativa tal introducerades för att lösa system med linjära ekvationer . Först användes de bara i räkningsprocessen och togs bort från tavlan i slutet av beräkningarna, sedan började kinesiska forskare tolka dem som en skuld eller brist [79] . $1 gånger 1$ $9 gånger 9$

Aritmetik under medeltiden

Positionsnummersystemet (tio siffror inklusive noll ) introducerades i Indien . Det gjorde det möjligt att utveckla relativt enkla regler för att utföra aritmetiska operationer [11] . De viktigaste aritmetiska operationerna i Indien ansågs addition, subtraktion, multiplikation, division, kvadratur och kub, extrahering av kvadrat- och kubrötter, för vilka regler utvecklades. Beräkningar utfördes på en räknebräda med sand eller damm, eller helt enkelt på marken, och registrerades med en pinne [80] . Indianerna kände till fraktioner och visste hur man utför operationer på dem, proportioner, progressioner [81] . Redan från 700-talet e.Kr. e. de använde negativa tal, tolkade dem som skuld, såväl som irrationella tal [82] .

I början av 800-talet skrev Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi boken "Om det indiska kontot". Läroboken innehöll lösningar på praktiska problem "av olika slag och slag" och var den första boken som skrevs med hjälp av ett positionstalssystem, innan dess användes siffror endast för beräkningar på räknebordet [83] [84] . På 1100-talet gjordes två översättningar av boken till latin av Adelard och John av Sewel [85] . Dess original har inte bevarats, men 1857 publicerades en funnen latinsk översättning under titeln "Alkhoresmi on the Indian Number" [83] . Avhandlingen beskriver utförandet av aritmetiska operationer som addition, subtraktion, dubblering, multiplikation, bifurkation, division och att ta kvadratroten med hjälp av indiska siffror på räknebordet [86] . Multiplikation av bråk, som division, ansågs använda proportioner: multiplicera med var liktydigt med att hitta sådana att . Denna teori låg till grund för arabisk aritmetik. Men det fanns också en annan fraktionskalkyl som representerade vilken fraktion som helst som summan av alikvotfraktioner [87] . För att lösa problem använde araberna trippelregeln , som kom från Indien och beskrevs tillsammans med en rad andra tekniker i Al-Birunis "Book of Indian Rashiks", regeln om två falska positioner, som kom från Kina och fick teoretiska motivering i "Boken om regeln om dubbel falsk position" Bushes ibn Lukka [88] . $a$ $b$ $q$ $q:a=b:1$

Genom Spanien och Sicilien på 900-talet började vetenskapliga band mellan Europa och arabvärlden etableras. Vid denna tid besökte den lärde munken Herbert, som senare blev påve Sylvester II , Katalonien . Han är krediterad för skrifter som The Book of Dividing Numbers och The Rules for Counting on the Abacus. I båda böckerna skrivs siffror i ord eller romerska siffror [89] . Herbert kallade kulramsräknare för "abacister". Under 1100- och 1200-talen dök det upp latinska översättningar av arabiska böcker om aritmetik i Europa. Anhängare av den decimala positionsnumreringen som presenteras i böckerna började kallas "algorister" efter namnet på den arabiske matematikern al-Khwarizmi i latinsk form [90] . I början av 1200-talet fanns det två talsystem i Västeuropa: det gamla, baserat på kulramen och med stöd av Herbert, och det nya, positionella indiska systemet, med stöd av Leonardo Fibonacci. Gradvis tog det nya systemet över [85] [91] . Dess främsta fördel är förenklingen av aritmetiska operationer. I Tyskland, Frankrike och England användes dock inte nya nummer förrän i slutet av 1400-talet. En mer fullständig förskjutning av den gamla numreringen inträffade först på 1500-1600-talen [91] .

År 1427 beskrev al-Kashi systemet med decimalbråk , som blev utbrett efter Stevins skrifter 1585 [ 11] . Stevin ville sprida decimalsystemet så brett som möjligt. Det var därför han skrev sina kompositioner på franska och flamländska , och inte på latin. Dessutom blev han en energisk förkämpe för införandet av decimalsystemet av mått [37] .

Modern aritmetik

På 1600-talet ställde nautisk astronomi , mekanik och mer komplexa kommersiella beräkningar nya krav på aritmetik för beräkningsteknik och gav impulser till vidareutveckling. Talbegreppet har genomgått en betydande förändring. Om tidigare, för det mesta, endast positiva rationella tal tillskrevs siffrornas område, sedan 1500-talet erkändes irrationella och negativa tal alltmer. Newton delar i sina föreläsningar in tal i tre typer: heltal (mätt med en enhet), bråktal (flera bråkdelar av en enhet) och irrationell (ojämförbar med en enhet). Sedan 1710 har denna definition av tal varit fast inkluderad i alla läroböcker [92] .

I början av 1600-talet uppfann Napier logaritmer . Användningen av logaritmer och decimalbråk, inkluderingen i aritmetiken av begreppet ett irrationellt tal som en sekvens av rationella approximationer utökade aritmetikens omfattning i slutet av 1600-talet och bestämde vetenskapens grundläggande betydelse för studiet av kontinuerliga kvantiteter [11] .

Processen med kritisk översyn av matematikens grunder, som skedde på 1800-talet, är kopplad till Lobatsjovskijs arbete med geometri . Redan på 1700-talet började man försöka ge teoretiska motiveringar för föreställningar om antal. Leibniz var den första som satte uppgiften att deduktivt konstruera aritmetik och visade i synnerhet behovet av att bevisa likheten "två plus två är lika med fyra" i hans Nya experiment på mänskligt sinne 1705. Wolf 1770, Schultz 1790, Ohm 1822, Grassmann 1861 och slutligen Peano 1889 [93] presenterade sina axiom i ett försök att lösa denna fråga .

År 1758, i The First Foundations of Arithmetic, Geometry, Plane and Spherical Trigonometry, and Perspective, argumenterade Kestner för rättfärdigandet av alla aritmetiska begrepp i termer av hela talet. Således definierade han, i ordning i boken, naturliga tal, bråk, negativa tal, decimaler, irrationella tal, och först därefter relationsteorin [94] . Vid bildandet av teorin om negativa tal var huvudproblemet påståendet att ett negativt tal är mindre än noll, det vill säga mindre än ingenting [95] .

En fullständig geometrisk tolkning av komplexa tal föreslogs av Caspar Wessel i "An Essay on the Analytic Representation of Direction and its Applications, Principally to the Solution of Plane and Spherical Polygons" 1799. Wessel försökte generalisera teorin till tredimensionell rymd, men han lyckades inte. Frågan förblev öppen tills Hamilton konstruerade teorin om kvaternioner , vars multiplikation inte håller den kommutativa lagen. Samtidigt visade studierna av Weierstrass, Frobenius och Pierce att någon av de aritmetiska lagarna skulle behöva överges för varje utvidgning av talbegreppet bortom gränserna för komplexa tal [96] .

Aritmetik i utbildningen

Bildandet av aritmetiska begrepp är nära relaterat till processen att räkna. Den är baserad på sådana element av mental aktivitet som förmågan att känna igen ett föremål; särskilja föremål; dela upp en uppsättning objekt i element som är lika i räkning (med andra ord, använd en räkneenhet); förmågan att ordna element sekventiellt , att ordna dem, vilket leder till räkning av objekt av olika kvalitet och bildandet av begreppet antal. Liknande processer kan observeras i barns assimilering av begrepp [11] .

Boethius om aritmetik [97]

Så vilken av disciplinerna ska studeras först, om inte den som är början och fungerar som en mamma i förhållande till andra [discipliner]? Det är bara aritmetik. Det går före alla andra, inte bara för att Gud själv, skaparen av detta universum, tog henne först som en modell för sin tanke och, enligt hennes [princip], ordnade allt som, genom siffror, genom kraften av det skapande sinnet, fann harmoni i den etablerade ordningen, men också för att aritmetik förklaras vara det föregående att om de entiteter som föregick av deras natur elimineras, elimineras de efterföljande omedelbart. Om de efterföljande går under, ändras ingenting i statusen för det tidigare ämnet.

Primärutbildningsstandarder innebär att räkna och jämföra tal upp till en miljon, arbeta med grundläggande måttenheter och relationer mellan dem, utföra fyra grundläggande aritmetiska operationer (muntligt upp till 100 och skriftligt upp till 10 000), samt division med en återstod, söka efter värdet av ett numeriskt uttryck som består av flera aritmetiska operationer [98] [99] . Skolmaterial presenteras med hjälp av visuella representationer. I första klass hanterar barn sifferbilder och mängder av föremål, räkningen går upp till 20. I andra klass introducerar de decimalsystemet, positionssystem, multiplikationstabellen, räkningen går upp till 100. I tredje klass, de studera aritmetiska operationer med flervärdiga tal. Nästa steg är övergången till bokstavsbeteckningar, med andra ord från det konkreta till det abstrakta. Det är med detta, enligt Klein, som matematiken börjar [100] . Svårigheten att studera aritmetik i grundskolan ligger i det faktum att det är nödvändigt att utföra beräkningen abstrakt utifrån objektens natur [101] .

Utbildning i gymnasieskolan är förknippad med expansionen av begreppet tal, införa bråk och åtgärder på dem, negativa tal, irrationella tal [102] . Reella och komplexa tal, såväl som Euklids algoritm och aritmetikens grundläggande sats, klassificeras som fullständig gymnasieutbildning. Enligt den ryska federala statliga utbildningsstandarden , "Innehållet i den aritmetiska sektionen tjänar som grund för ytterligare studier av matematik av elever, bidrar till utvecklingen av deras logiska tänkande, bildandet av förmågan att använda algoritmer och förvärvet av praktiska färdigheter som behövs i vardagen” [103] .

I den moderna världen är matematisk läskunnighet ett av de viktigaste målen för utbildning. Det inkluderar i synnerhet förmågan att utföra aritmetiska operationer, att utföra beräkningar och mätningar [104] . Organisationer som UNICEF och UNESCO [105] [106] behandlar frågor om matematisk läskunnighet hos barn och vuxna .

Samtidigt, under lång tid, reducerades undervisning i aritmetiska operationer till mekanisk utförande av prover. I det antika Kina ägnades mycket uppmärksamhet åt undervisning i matematik, inklusive godkända prov. Matematik studerades vid Imperial Academy i sju år. Men klassiska matematiska avhandlingar behandlades som dogmer och trycktes om utan ändringar [107] .

I Europa föreslogs systematiska övningar för addition, subtraktion, multiplikation och division av Tartaglia på 1500-talet, men de kom inte till användning på länge [108] . Dessutom fanns det på medeltiden regler för att lösa ett stort antal privata räkneproblem. I vissa läroböcker finns det upp till 26 sådana regler, och de kanske inte sammanfaller från lärobok till lärobok [109] . Vissa regler har inte förlorat sin relevans till denna dag. Dessa inkluderar proportioner (fraktioner ansågs som förhållanden av två tal, vilket ledde till övervägande av proportioner för att utföra operationer), procentsatser [110] .

Aritmetik är den fjärde av de sju liberala konsterna när det gäller lärande. Den föregås av ett trivium som består av grammatik , retorik och dialektik , och är själv den seniora vetenskapen i kvadriviumet , som också inkluderar geometri , musik och astronomi . Med tillkomsten av de första europeiska universiteten undervisades matematik i de konstvetenskapliga fakulteterna som ett kvadrivium och var en hjälpdisciplin. De första föreläsningarna om aritmetik hölls av mästaren vid universitetet i Wien Johann av Gmunden 1412 [112] .

Aritmetik i filosofi och konst

Efter att pytagoreerna använde heltalsförhållandena för att uttrycka de geometriska förhållandena mellan segment, såväl som liknande samband i harmoni och musik, kom de till slutsatsen att alla världens lagar kan beskrivas med siffror, och aritmetik behövs för att att uttrycka relationer och bygga en modell för fred [113] . Samtidigt är en av pytagoreernas upptäckter att förhållandena mellan heltal inte räcker till för att uttrycka förhållandena för några segment (diagonalen och sidan av kvadraten är omöjliga), och på denna grund är det omöjligt att bygga metrisk geometri [73] . Problemen med att konstruera ett ändligt mått och bestämma det verkliga antalet avslöjade en vetenskaplig kris på 500-talet f.Kr. e., från vilken alla filosofiska skolor i det antika Grekland var inblandade. Zeno av Elea lyckades visa alla svårigheter som uppstår för att lösa dessa problem i sina paradoxer, eller aporias [114] .

Marcianus Capella skapade i sin avhandling "The Marriage of Philosophy and Mercury" visuella bilder av alla sju konster, inklusive aritmetik. Konsten personifierades av kvinnor med lämpliga attribut, som åtföljdes av välkända representanter för sfären. Aritmetic håller i sina händer en tablett inskriven med siffror, eller en kulram. Pythagoras [115] följer med henne .

Att räkna var ett av Buddhas tester . Efter tävlingar i bågskytte , löpning och simning beordrade matematikern Arjuna honom att namnge alla numeriska grader högre . Buddha namngav tjugotvå grader till (endast de udda graderna hade namn), och detta var bara den första räkningen, i den andra räkningen fortsatte Buddha att . Nästa uppgift för Buddha var att räkna antalet atomer i en mil, och sedan i universum [116] . Liknande "nummerstegar" finns upprepade gånger i indisk religiös poesi, medan orden för siffror kan variera. Syftet med sådana stegar är att höja sig över den dödliga världen. Den indiska boken "Lilavatistara" beskriver konkurrensen mellan friarna till jordens dam, den vackra Gopa, i skrift , aritmetik, brottning och konsten att kasta pilar. En betydande del av arbetet [117] ägnas åt prov i aritmetik . $10^{9}$ $10^{53}$ $10^{{421}}$

Liksom i Indien talar de mycket stora siffrorna som konstgjorts av Mayaprästerna om en önskan att klättra högre upp på den "numeriska stegen", närmare gudarna [118] .

Anteckningar

Kommentarer

↑ Låt det vara nödvändigt att hitta roten till , - den första approximationen med en nackdel, - approximationen med ett överskott. Den andra approximationen bildas av den aritmetiska medelformeln , och motsvarar den , och så vidare) [68] . $N=a^{2}+r$ $a$ $b=N/a$ $a_{1}=(a+b)/2$ $b_{1}=N/a_{1}$

Använd litteratur och källor

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinogradov I. M. Arithmetic // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 1.
↑ 1 2 3 4 Vinogradov I. M. Formell aritmetik // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 1.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Aritmetik, vetenskap // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MacDuffee CC Aritmetik . Encyclopædia Britannica. Hämtad 20 mars 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012. (obestämd) (Engelsk)
↑ ARITMETIK . Stora ryska encyklopedin . Hämtad 15 juni 2017. Arkiverad från originalet 27 juni 2017. (ryska)
↑ Arnold, 1938 , sid. 3-5.
↑ Pontryagin, 1986 , sid. 4-6.
↑ Belyustin V. Kapitel 12. Antalet och ordningen på handlingar, tecken och definitioner // Hur människor gradvis kom till riktig aritmetik . - M . : K. L. Menshovs tryckeri, 1909.
↑ Depman, 1965 , sid. 195-199.
↑ Arnold, 1938 , sid. 151-156.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Aritmetik // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Algebra // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Depman, 1965 , sid. 21-25.
↑ Depman, 1965 , sid. 129-130.
↑ 1 2 3 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 23-24.
↑ 1 2 3 4 Depman, 1965 , sid. 212-232.
↑ 1 2 3 Depman, 1965 , sid. 204.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 142.
↑ Klein, 1987 , sid. 23-26.
↑ 1 2 3 4 Klein, 1987 , sid. 26-35.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 77-79.
↑ Klein, 1987 , sid. 37-44.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 157.
↑ Klein, 1987 .
↑ 1 2 3 Arithmetika, 1951 , sid. 172-178.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 188-201.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 227.
↑ Klein, 1987 , sid. 35-36.
↑ 1 2 Klein, 1987 , sid. 23-25.
↑ ARITHMETICS // Collier's Encyclopedia. — Öppet samhälle. — 2000.
↑ 1 2 Knuth , sid. 216.
↑ History of mathematics, volym II, 1970 , sid. 66-67.
↑ History of mathematics, volym III, 1972 , sid. 42-45.
↑ Klein, 1987 , sid. 45-49.
↑ Depman, 1965 , sid. 263-267.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , Aritmetik och logistik.
↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 57-71.
↑ Knuth , sid. 216, 221.
↑ Depman, 1965 , sid. 275-285.
↑ Klein, 1987 , sid. 49-57.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Talteori // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 5.
↑ Vinogradov I. M. Elementär talteori // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 5.
↑ Arnold, 1938 , sid. 413-415.
↑ 1 2 3 Axiomatisk metod // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 100-107.
↑ 1 2 3 Depman, 1965 , sid. 117-126.
↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 135-138.
↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 139-142.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 133.
↑ 1 2 3 4 Arithmetika, 1951 , sid. 150-151.
↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 172-179.
↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 160-167.
↑ Depman, 1965 , sid. 258-262.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 188.
↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 202.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 228.
↑ 1 2 3 4 5 Formell aritmetik // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Avigad, 2003 , sid. 260.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 52-53.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 48.
↑ Nechaev, 1975 , sid. 68-72.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 19-20.
↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 49-52.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 25.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 34.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 40.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. femtio.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 46-47.
↑ Depman, 1965 , sid. 53-54.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 62.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 68-69.
↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 74-76.
↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 73.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 144-146.
↑ Depman, 1965 , sid. 57-58.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 178.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 160-161.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 163-164.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 167-169.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 183-185.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 185.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 190-191.
↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 72-78.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 209-210.
↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 90-94.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 211-212.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 212-214.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 218-219.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 254-256.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 256-257.
↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 50-57.
↑ History of mathematics, volym II, 1970 , sid. 34-36.
↑ History of mathematics, volym III, 1972 , sid. 47-49.
↑ History of mathematics, volym III, 1972 , sid. 49-52.
↑ History of mathematics, volym III, 1972 , sid. 52-56.
↑ History of mathematics, volym III, 1972 , sid. 61-66.
↑ Boethius. I, 1 // Aritmetikens grunder .
↑ Ungefärligt grundläggande utbildningsprogram för en läroanstalt. Grundskola (otillgänglig länk) . Federal statlig utbildningsstandard. Hämtad 5 december 2012. Arkiverad från originalet 7 december 2012. (obestämd)
↑ Ungefärligt grundläggande utbildningsprogram för en läroanstalt. Grundskola /komp. E. S. Savinov. - 4:a. - M . : Utbildning, 2013. - S. 32-35. — 223 sid. — ISBN 9785090264167 . Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Datum för åtkomst: 6 december 2012. Arkiverad från originalet den 24 augusti 2013. (obestämd)
↑ Klein, 1987 , sid. 20-23.
↑ Depman, 1965 , sid. 1-3, 103-109.
↑ Klein, 1987 , sid. 37.
↑ Ungefärliga program för akademiska ämnen. Matematik (otillgänglig länk) . Federal statlig utbildningsstandard. Hämtad 5 december 2012. Arkiverad från originalet 7 december 2012. (obestämd)
↑ Läskunnighet, matematisk förmåga och problemlösningsförmåga i ett tekniskt avancerat samhälle (otillgänglig länk) . National Research University Högre Handelshögskolan. Hämtad 5 december 2012. Arkiverad från originalet 7 december 2012. (obestämd)
↑ Definiera kvalitet i utbildning (engelska) (otillgänglig länk) . UNICEF . Hämtad 5 december 2012. Arkiverad från originalet 15 oktober 2012.
↑ Utbildning för alla mål . UNESCO . Hämtad 5 december 2012. Arkiverad från originalet 7 december 2012.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 157.
↑ Depman, 1965 , sid. 199-203.
↑ Depman, 1965 , sid. 305.
↑ Depman, 1965 , sid. 306.
↑ Liberal Arts . Encyclopædia Britannica. Hämtad 20 mars 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012. (obestämd) (Engelsk)
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 259-260.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 67.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 88-89.
↑ Seven Liberal Arts (otillgänglig länk) . Simbolarium. Hämtad 20 mars 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012. (obestämd)
↑ Menninger, 2011 , sid. 176-179.
↑ Arithmetic, 1951 , sid. 49.
↑ Menninger, 2011 , sid. 82.

Litteratur

Arnold IV Teoretisk aritmetik. - M . : Statens pedagogiska och pedagogiska förlag, 1938. - 481 sid.
Depman I. Ya. Aritmetikens historia . - M . : Utbildning, 1965. - 400 sid.
Klein F. Elementär matematik ur högre synvinkel. - M . : Nauka, 1987. - T. I: Aritmetik. Algebra. Analys. — 432 sid.
Knut D. E. Aritmetik // Konsten att programmera. - M. - T. II. — 830 sid.
Menninger K. Siffrornas historia. Siffror, symboler, ord. - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - 543 sid. — ISBN 9785952449787 .
Nechaev V. I. Numeriska system. - M . : Utbildning, 1975. - 199 sid.
Pontryagin L. S. Generaliseringar av siffror . — M .: Nauka, 1986. — 120 sid. - ( Bibliotek "Quantum" ).
Serre J.-P. Räknekurs / per. från franska A. I. Skopin, red. A.V. Malysheva. - M . : Mir, 1972. - 184 sid.
Matematikens historia: i 3 volymer / redigerad av A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Från gamla tider till början av New Age.
Matematikens historia: i 3 volymer / redigerad av A. P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1970. - T. II: 1600-talets matematik.
Matematikens historia: i 3 volymer / redigerad av A. P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1972. - T. III: Matematik från XVIII-talet.
Encyklopedi av elementär matematik. Boka ett. Aritmetik / redigerad av P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich och A. Ya. Khinchin. - M. - L .: Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1951. - 448 sid.
Avigad, Jeremy. Talteori och elementär aritmetik // Philosophia Mathematica. - 2003. - Vol. 11, nr 3 . - s. 257-284. (Engelsk)
Boyer CB, Merzbach UC A History of Mathematics . — John Wiley & Sons, 2010. — 640 sid. (Engelsk)

Länkar

Aritmetik på mathworld.wolfram.com _

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Stor ukrainare Brockhaus och Efron runt världen Litet Brockhaus och Efron Britannica (online) Treccani Moderna Ukraina
I bibliografiska kataloger	GND : 4002919-0 J9U : 987007294694905171 LCCN : sh85007163 NDL : 00570203 NKC : ph118605

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"

Sju liberala konster
Trivium Grammatik Retorik Dialektik ( logik ) quadrivium Aritmetisk Geometri Astronomi musik