Homologisk algebra

Homologisk algebra är en gren av algebra som studerar algebraiska objekt lånade från algebraisk topologi .

Homologisk algebra spelar en viktig roll i algebraisk topologi; den används i många grenar av algebra, såsom gruppteori, algebrateori, algebraisk geometri, Galois-teori.

Historik

De första homologiska metoderna i algebra användes på 40-talet av XX-talet av Dmitry Konstantinovich Faddeev , Samuel Eilenberg och Saunders MacLane i studien av gruppförlängningar.

Kedjekomplex

Ett kedjekomplex är en graderad modul med differential , , som sänker graderingen för ett kedjekomplex, , eller höjer graderingen för ett samkedjekomplex , .

Ett av de grundläggande begreppen i homologisk algebra är kedjekomplexet. Kedjekomplex uppstår i olika grenar av matematiken: i algebraisk topologi, kommutativ algebra och algebraisk geometri. Studiet av allmänna egenskaper hos komplex är en av huvuduppgifterna för homologisk algebra.

Upplösning

Den projektiva upplösningen av en modul kallas vänsterkomplexet , där alla är projektiva och vars homologi är lika med noll, utom noll.

Projektiva upplösningar används för att beräkna Tor n ( A , C ) och Ext n ( A , C ) funktioner. Upplösningsmedel uppstod i algebraisk topologi för att beräkna homologierna för en topologisk produkt från homologierna för faktorerna med användning av Künneth-formeln.

Härledda funktioner

Litteratur

• A. Cartan, S. Eilenberg , "Homologisk algebra", 1960.
• S. McLane , "Homology", 1966
• R. Godeman "Algebraic topology and the theory of sheaves", 1961.
• Bourbaki , "Homologisk algebra", 1987.