Differentialkalkyl

Calculus är en gren av matematisk analys som studerar begreppen derivata och differential och hur de kan tillämpas på studier av funktioner . Bildandet av differentialkalkyl är förknippat med namnen på Isaac Newton och Gottfried Leibniz . Det var de som tydligt utgjorde huvudbestämmelserna och pekade på differentieringens och integrationens ömsesidiga karaktär. Skapandet av differentialkalkyl (tillsammans med integral) öppnade en ny era i utvecklingen av matematik. Besläktade med detta är sådana discipliner som serieteorin, teorin om differentialekvationeroch många andra. Metoder för matematisk analys har funnit tillämpning inom alla grenar av matematiken. Tillämpningsområdet för matematik inom naturvetenskap och teknik har blivit mycket utbrett.

Differentialkalkylen är baserad på sådana viktiga begrepp inom matematik, vars definition och studie är föremål för introduktion till matematisk analys: reella tal (tallinje), funktion, gräns, kontinuitet. Alla dessa begrepp fick en modern tolkning under utvecklingen och motiveringen av differential- och integralkalkyl.

Grundtanken med differentialkalkyl är att studera en funktion i det lilla. Närmare bestämt tillhandahåller differentialkalkyl en apparat för att studera funktioner vars beteende i en tillräckligt liten omgivning av varje punkt är nära beteendet hos en linjär funktion eller ett polynom. Sådana apparater är de centrala begreppen i differentialkalkyl: derivata och differential .

Differentialkalkyl för funktioner för en variabel

Derivat

Låt en funktion definieras i en stadsdel och för valfri > 0 finns det så att $g(h)$ $h=0$ $\epsilon$ $\delta$

|g(h)/h^{n}|<\epsilon

, bara

|h|<\delta ,

då säger vi att det är en oändlig ordning . $g(h)$ $o(h^{n})$

Låta vara en verkligt värderad funktion definierad på segmentet . Denna funktion kallas oändligt differentiabel på intervallet if $f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\dots {\frac {1}{ n!}}f^{{(n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

för vem som helst och vem som helst . Således, lokalt, i närheten av någon punkt i segmentet, är funktionen godtyckligt väl approximerad av ett polynom . Funktioner som är jämna på ett segment bildar en ring av jämna funktioner . $x\in(a,b)$ $n$ $(a,b)$ $C^{\infty }(a,b)$

Odds $f^{{(n)}}(x)$

f^{{(m)}}(x+h)=f^{{(m)}}(x)+f^{{(m+1)))(x)h+\dots {\frac {1 }{n!}}f^{{(m+n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

Dessa funktioner kallas derivator av funktionen . Den första derivatan kan beräknas som en limit $f(x)$

f'(x)=\lim \limits _{{h\to 0}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

Operatorn som mappar en funktion till dess derivata betecknas som $f(x)$ $f'(x)$

D={\frac {d}{dx))

Dessutom, för två smidiga funktioner f och g,

D(f+g)=Df+Dg

och

D(fg)=fDg+gDf

En operator med dessa egenskaper kallas en härledning av en ring med jämna funktioner.

Varje analytisk funktion som är holomorf på intervallet är en jämn funktion, men det omvända är inte sant. Den största skillnaden mellan analytiska och smidiga funktioner är att de förra helt bestäms av deras beteende i närheten av en punkt, medan de senare inte är det. Till exempel kan en jämn funktion vara konstant i ett område med en punkt, men inte konstant överallt. Elementära funktioner i deras (öppna) definitionsdomän är analytiska och följaktligen smidiga funktioner. Men till skillnad från analytiska funktioner kan jämna funktioner definieras på olika intervall av olika elementära uttryck. $(a,b)$

Tangent linje

Hetero

y=f(c)+f'(c)(xc)

korsar kurvan

y=f(x)

vid en punkt på ett sådant sätt att uttryckets tecken $(c,f(c))$

f(x)-f(c)-f'(c)(xc)={\frac {1}{2}}f''(c)(xc)^{2}+o((xc)^{ 2})

tillståndet förblir detsamma hela tiden, så kurvan $f''(c)\not =0$

y=f(x)

ligger på ena sidan av linjen

y=f(c)+f'(c)(xc)

En rät linje med den angivna egenskapen kallas tangent till kurvan i en punkt (enligt B. Cavalieri ). Den punkt där kurvan $x=c$ $x=c$

y=f(x)

ligger inte på samma sida av en linje

y=f(c)+f'(c)(xc)

kallas böjningspunkt , medan linjen fortfarande kallas tangent. För enhetlighet introduceras begreppet tangent i sig ofta olika så att båda fallen faller under det.

Extrema poäng

En punkt kallas en lokal maximum ( minimum ) punkt if $x=c$

f(c)-f(c+h)>0\kvadrat (f(c)-f(c+h)<0)

för alla tillräckligt små modulo . Från relationen $h$

f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0

det är omedelbart klart att det är ett nödvändigt villkor för ett maximum och är ett tillräckligt villkor för ett maximum. Villkoret framhäver maximi-, minimum- och böjningspunkterna. $f'(c)=0$ $f''(c)<0$ $f''(c)=0$

Kontinuerliga funktioner

Låt definieras och i ändarna av intervallet ; det sägs vara kontinuerligt på om det finns något sådant $f$ $[a,b]$ $[a,b]$ $\epsilon$ $\delta$

|f(x)-f(x+h)|<\epsilon

, bara

|h|<\delta ,

och punkterna går inte över intervallets gränser . Weierstrass-satsen säger att en funktion som är jämn på ett intervall når sina minimi- och maxvärden på ett intervall. Begreppet kontinuitet för en funktion är vanligtvis kopplat till begreppet gränsen för en funktion . Funktioner kontinuerliga på ett intervall bildar en ring av kontinuerliga funktioner . $x,\,x+h$ $[a,b]$ $[a,b]$ $Cab]$

Historik

På 1100-talet var matematikern Sharafuddin at-Tusi i den turkisk-mongoliska delstaten Hulagu den första att hitta derivatan av en kubisk funktion, ett viktigt resultat i differentialkalkyl. En "Treatise on Equations" skrevs där begrepp relaterade till differentialkalkyl utvecklades, såsom derivatan av en funktion och maxima och minima för kurvor, för att lösa kubiska ekvationer som inte kan ha en positiv lösning.

Fundamentala satser för differentialkalkyl

Ringen av funktioner kontinuerligt på och jämn på har ett antal viktiga egenskaper: $[a,b]$ $(a,b)$

Rolles sats : om , så finns det en max- eller minimumpunkt där den försvinner. $f(a)=f(b)$ $c\in(a,b)$ $f'$
Lagranges teorem : det finns en sådan punkt att $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Cauchys teorem : om på , så finns det en punkt sådan att $g'\not=0$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))

Från Lagrange-satsen härleder man Taylor-formeln med en restterm i Lagrange-formen: på vilket segment som helst finns det punkter som $(a',b')\delmängd (a,b)$ $c_n$

f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a' )^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{{(n)}}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}

var

R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(c_{n})(b'-a')^{{n+1 }}

Med den här formeln kan du ungefär beräkna värdena för en funktion vid en punkt från de kända värdena för funktionen och dess derivator vid en punkt . $b'$ $a'$

Från Cauchys teorem härleds L'Hopitals regel : om eller , och på , då $f(b)=g(b)=0$ $f(b)=g(b)=\infty$ $g'\not=0$ $(a,b)$

\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

och förekomsten av den andra gränsen innebär att den första finns.

Se även

Variationskalkyl
Analys av funktioner för många variabler
Integralkalkyl
För en historisk översikt och bibliografi, se artikeln Calculus .
Differentialkalkyl över kommutativa algebror

Litteratur

Grav D.A. ,. Differentialkalkyl // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
Vinogradov I.M. (red.) Encyclopedia of Mathematics . Volym 2. Moscow : Soviet Encyclopedia , 1977
Bronshtein IN , Semendyaev KA , Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid tekniska högskolor . Moskva: Nauka, 1981.