Cauchy medelvärdessats

Cauchys medelvärdessats är en generalisering av formeln för finita inkrement .

Formulering

Låt två funktioner och ges så att: $f(x)$ $g(x)$

$f(x)$ och är definierade och kontinuerliga på intervallet ; $g(x)$ $[a,b]$
derivator och är definierade och ändliga på intervallet ; $f'(x)$ $g'(x)$ $(a,b)$
derivatan försvinner inte på intervallet (därav, enligt Rolles sats , ). $g'(x)$ $(a,b)$ $g(a)\neq g(b)$

Sedan finns det som är sant: $\xi \in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi ))) .

Anteckningar

Efter att uttryckligen ha krävt det , kan vi försvaga villkor 3 och kräva endast det och inte försvinna samtidigt på intervallet . $g(a)\neq g(b)$ $f'(x)$ $g'(x)$ $(a,b)$
Du kan utelämna villkor 3 helt genom att skriva om formeln enligt följande: ${\big (}f(b)-f(a){\big )}\cdot g'(\xi )={\big (}g(b)-g(a){\big )} \cdot f'(\xi)$ .
Geometriskt kan påståendet omformuleras enligt följande: om och rörelselagen på planet är satt (det vill säga abskissan och ordinatan bestäms genom parametern ), då på vilket segment av en sådan kurva, specificerat av parametrarna och , det finns en tangentvektor kolinjär till förskjutningsvektorn från till . $f$ $g$ $x$ $a$ $b$ ${\displaystyle {\big (}f(a),g(a){\big )))$ ${\displaystyle {\big (}f(b),g(b){\big )))$

Bevis

För att bevisa detta introducerar vi funktionen

\varphi (x)={\big (}f(b)-f(a){\big )}{\big (}g(x)-g(a){\big )}-{\ stor (}g(b)-g(a){\big )}{\big (}f(x)-f(a){\big )}.

Det är lätt att se att villkoren för Rolles sats är uppfyllda för det. Med hjälp av detta teorem får vi att det finns en punkt där derivatan av funktionen är lika med noll: $\xi \in(a,b)$ $\varphi$

\varphi '(\xi )={\big (}f(b)-f(a){\big )}g'(\xi )-{\big (}g(b)-g(a ){\big )}f'(\xi )=0.

Om vi flyttar den andra termen i denna likhet åt höger får vi en formel från den mest allmänna formuleringen av satsen.

I den ursprungliga formuleringen återstår att dividera jämställdheten med och . Båda dessa siffror kommer att vara icke-noll även om krav 3 lättas upp till frånvaron av gemensamma nollor för och : detta krävs uttryckligen, och om , då $g'(\xi )$ $g(b)-g(a)$ $f'(x)$ $g'(x)$ $g(b)-g(a)$ $g'(\xi )=0$

{\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(\xi )=0

Men eftersom det följer att det är en motsägelse med villkoret. $g(a)\neq g(b)$ $f'(\xi )=0$

Litteratur

Cauchys medelvärdessats vid Encyclopedia of Mathematics